股票指數(shù)期權(quán)、貨幣期權(quán)和期貨期權(quán)課件

1、1,第十章 股票指數(shù)期權(quán)、貨幣期權(quán)和期貨期權(quán),2,Black-Scholes公式的擴(kuò)展,支付已知連續(xù)紅利股票的歐式期權(quán) 考慮連續(xù)紅利率為年率q的股票，紅利的支付使得股票價(jià)格的降低等于紅利的數(shù)量 因此，股票價(jià)格的增長(zhǎng)率比不支付紅利時(shí)減少了q 如果支付連續(xù)紅利率q的股票價(jià)格從t時(shí)刻的S增加到T時(shí)刻的ST，沒有紅利支付時(shí)的股票價(jià)格將從t時(shí)刻的S增加到T時(shí)刻的STeq(T-t). 或者，股票價(jià)格將從t時(shí)刻的Se-q(T-t)增加到T時(shí)刻的ST.,3,以上的分析說明，在以下兩種情況下，我們得到T時(shí)刻股票價(jià)格的相同的概率分布 股票價(jià)格開始為S，該股票連續(xù)支付紅利，紅利率為q 股票價(jià)格開始為Seq(T-t)

2、，該股票不支付紅利. 于是，當(dāng)我們?yōu)橛行跒門-t、支付已知紅利收益率q的股票的歐式期權(quán)進(jìn)行估值時(shí)，可將股票價(jià)格將從S減少到的Se-q(T-t)，然后就像不支付紅利那樣估值.,4,期權(quán)價(jià)格的上下限 支付已知紅利收益率q的股票的歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下限為:,證明:構(gòu)造組合 組合A:一個(gè)歐式看漲期權(quán)加上金額為Xe-r(T-t)的現(xiàn)金 組合B: e-r(T-t)股股票，其中的紅利又投資于該股票 在T時(shí)刻，組合A的價(jià)值是max(ST,X)，組合B的價(jià)值是ST，組合A的價(jià)值總是大于組合B的價(jià)值 在無套利機(jī)會(huì)的條件下，在今天，組合A的價(jià)值大于組合B的價(jià)值,5,因此,有: 結(jié)論得證.,支付已知紅利收益率q的股

3、票的歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下限為:,構(gòu)造組合: 組合C:一個(gè)歐式看跌期權(quán)加上e-q(T-t)股股票，其中的紅利又投資于該股票 組合D:金額為Xe-r(T-t)的現(xiàn)金,6,類似,有:,看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間的評(píng)價(jià)關(guān)系 支付已知紅利收益率q的股票,構(gòu)造組合: 組合:一個(gè)歐式看漲期權(quán)加上Xe-r(T-t)的現(xiàn)金 組合:一個(gè)歐式看跌期權(quán)加上e-q(T-t)股股票,其中的紅利又投資于該股票,7,在到期日，兩個(gè)組合的價(jià)值為:,因此，在今天它們的價(jià)值就應(yīng)該相等從而：,8,基于連續(xù)支付紅利率為q的股票的歐式看漲期權(quán)c和看跌期權(quán)的價(jià)格p為:,定價(jià)關(guān)系,9,d1和d2分別為:,紅利：除權(quán)日由紅利支付引起的股票的減少額

4、。 如果在期權(quán)有效期內(nèi)紅利率不是恒定的，只要令q等于期權(quán)有效期內(nèi)年平均紅利率。,10,風(fēng)險(xiǎn)中性估值,任何基于支付紅利股票的衍生證券的價(jià)格f必須滿足的微分方程，可類似Black-Scholes方程得到 該微分方程不包含任何受風(fēng)險(xiǎn)偏好影響的變量 可用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)過程 在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界，股票的全部收益率是r，紅利率是q，股票價(jià)格的預(yù)期增長(zhǎng)率是r-q。因此設(shè)定股票價(jià)格的預(yù)期增長(zhǎng)率是r-q，然后以r貼現(xiàn)率貼現(xiàn)預(yù)期盈利，可得定價(jià)方程。,11,附錄:基于支付連續(xù)紅利股票衍生證券價(jià)格所滿足的微分方程推導(dǎo),構(gòu)造組合:,12,如果是該證券組合的價(jià)值,那么,在t時(shí)間內(nèi),持有該證券組合的投資者獲得資本利得,紅利為,1

5、3,定義W是證券組合持有者在t內(nèi)財(cái)富的變化,因此,由于該表達(dá)式獨(dú)立于維納過程，該證券組合是瞬時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)的。因此,14,代入前面兩個(gè)表達(dá)式,可得,因此,這是f必須滿足的偏微分方程,15,行情報(bào)價(jià): S&P500指數(shù)期權(quán)是歐式期權(quán) S&P100指數(shù)期權(quán)是美式期權(quán) 其它主要指數(shù)期權(quán)是美式期權(quán) 所有指數(shù)期權(quán)用現(xiàn)金結(jié)算；即執(zhí)行期權(quán)時(shí)，看漲期權(quán)的持有者收入S-X的現(xiàn)金；看跌期權(quán)的持有者收入X-S的現(xiàn)金；期權(quán)的出售者支付現(xiàn)金 現(xiàn)金支付的依據(jù)是執(zhí)行時(shí)收盤指數(shù)值 合約價(jià)值是指數(shù)值的100倍,股票指數(shù)期權(quán),16,例：8月份到期的執(zhí)行價(jià)格為460點(diǎn)的S&P100看漲期權(quán)的價(jià)格是$45.5 由于一份合約的價(jià)值是指數(shù)的1

6、00倍，所以該合約的總價(jià)值是$4550 在某交易日S&P100指數(shù)收盤值是498.52，所以期權(quán)處于實(shí)值狀態(tài) 如果期權(quán)合約在這一天執(zhí)行，期權(quán)的持有者收入(498.52-460)*100=$3852的現(xiàn)金,17,證券組合保險(xiǎn) 資產(chǎn)組合管理者可以用指數(shù)期權(quán)控制價(jià)格風(fēng)險(xiǎn) 假設(shè)一種指數(shù)的價(jià)值為S 一種完全分散化的證券組合,該證券組合的=1.0 對(duì)于證券組合中每100S美元,管理者買入一份執(zhí)行價(jià)格為X的看跌期權(quán)合約,可以避免指數(shù)低于X時(shí)的損失,18,例 假設(shè)證券組合價(jià)值為$500,000，指數(shù)值為250點(diǎn).500,000/250=2,000. 買進(jìn)20份執(zhí)行價(jià)格為240點(diǎn)的看跌期權(quán)。 則三個(gè)月內(nèi)，證券組

7、合的價(jià)值不小于$48,000.,19,證券組合不為1的情況 若S是指數(shù)值，對(duì)于證券組合中每100S美元購(gòu)買份看跌期權(quán) 執(zhí)行價(jià)格是當(dāng)證券組合價(jià)值達(dá)到保險(xiǎn)時(shí)指數(shù)所期望的值 例:證券組合現(xiàn)價(jià)$1,000,000，=2.0，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為12%，證券組合和指數(shù)的紅利收益率預(yù)計(jì)為4%，指數(shù)的現(xiàn)價(jià)為250點(diǎn)。保險(xiǎn)價(jià)值為$900,000，對(duì)應(yīng)指數(shù)240點(diǎn) 100S=$25,000，組合價(jià)值是1百萬美元 1,000,000/25,000=40，而=2.0 策略：購(gòu)買80份執(zhí)行價(jià)格為240點(diǎn)的看跌期權(quán),20,看看指數(shù)下降到230點(diǎn)時(shí)的情況 如表，組合價(jià)值是0.82百萬美元 看跌期權(quán)的盈利=80*100*(240

8、-230)=$80,000 =0.8百萬美元 0.82+0.08=0.9百萬美元,21,說明:表中數(shù)據(jù)的計(jì)算過程(以指數(shù)260點(diǎn)時(shí)為例) 指數(shù)變化所得收益 每三個(gè)月10/250=4% 指數(shù)紅利 每三個(gè)月0.25*4%=1% 指數(shù)總收益 每三個(gè)月4%+1%=5% 無風(fēng)險(xiǎn)利率 每三個(gè)月0.25*12%=3% 指數(shù)收益-無風(fēng)險(xiǎn)利率 每三個(gè)月5%-3%=2% 組合收益-無風(fēng)險(xiǎn)利率 每三個(gè)月()2*2%=4% 組合收益 每三個(gè)月3%+4%=7% 組合紅利 每三個(gè)月0.25*4%=1% 組合價(jià)值總增加率 每三個(gè)月7%-1%=6% 組合的總價(jià)值 1*1.06=1.06百萬 組合收益ri=rf+(rM-rf)

9、,22,定價(jià) 在為股票指數(shù)期權(quán)定價(jià)時(shí)，通常假設(shè)股票指數(shù)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。 借鑒股票期權(quán)定價(jià)公式 定價(jià)公式中的紅利率取期權(quán)有效期中的平均年紅利收益率(連續(xù)復(fù)利)也成立。 在某些情況下，在到期日前執(zhí)行美式指數(shù)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)是最優(yōu)的。,23,行情報(bào)價(jià) 定價(jià) 記S為即期匯率，即用美元表示的每一單位外幣的價(jià)值 假設(shè)匯率服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，是匯率變動(dòng)波動(dòng)率，rf是外國(guó)的無風(fēng)險(xiǎn)利率 外幣與一種支付已知紅利收益的股票類似，外幣的持有者的紅利率為外幣的無風(fēng)險(xiǎn)利率rf 于是,貨幣期權(quán),24,25,T時(shí)刻的遠(yuǎn)期匯率為:,26,期貨期權(quán)合約：合約執(zhí)行時(shí)交割一份標(biāo)的期貨合約 如果執(zhí)行一份期貨看漲期權(quán)，期權(quán)持有者獲得期

10、貨合約的多頭頭寸外加一筆等于期貨當(dāng)前價(jià)格減去執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)金 如果執(zhí)行一份期貨看跌期權(quán)，期權(quán)持有者獲得期貨合約的空頭頭寸外加一筆等于執(zhí)行價(jià)格減去期貨當(dāng)前價(jià)格的現(xiàn)金,期貨期權(quán),27,例：投資者擁有執(zhí)行價(jià)格為每磅70美分的25,000磅黃銅九月份期貨看漲期權(quán)，假設(shè)當(dāng)前九月份交割的黃銅期貨價(jià)格為80美分 如果執(zhí)行該期權(quán)，投資者得到$2,500= 25,000*(0.8-0.7)和九月份25,000磅黃銅期貨合約的多頭頭寸 例：投資者擁有執(zhí)行價(jià)格為每蒲式耳200美分的5,000蒲式耳玉米十二月份期貨看跌期權(quán)。假設(shè)當(dāng)前十二月份交割的玉米期貨價(jià)格為180美分。如果執(zhí)行該期權(quán)，投資者得到$1,000 =25,000*0.02和十二月份5,000蒲式耳玉米期貨合約的空頭頭寸,28,廣泛使用期貨期權(quán)的原因 交割期貨合約比交割標(biāo)的資產(chǎn)本身更便宜和方便 在同一個(gè)交易所中，方便對(duì)沖、套利和投機(jī) 交易費(fèi)用較低 Black模型,29,期貨價(jià)格的預(yù)期增長(zhǎng)率(風(fēng)險(xiǎn)中性) 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，支付紅利率是 q 的股票的預(yù)期增長(zhǎng)率為r-q，因?yàn)檫\(yùn)