傅立葉變換在圖像處理中的應(yīng)用

1、傅立葉變換在圖像處理中的應(yīng)用摘 要 傅立葉變換研究是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方向，一個(gè)多世紀(jì)以來，傅立葉變換作為數(shù)學(xué)工具被迅速的應(yīng)用到圖像和語音分析等眾多領(lǐng)域。傅立葉變換（FT）作為數(shù)字圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)，通過在時(shí)空域和頻率域來回切換圖像，對(duì)圖像的信息特征進(jìn)行提取和分析，簡(jiǎn)化計(jì)算工作量，被譽(yù)為描述圖像信息的第二種語言。本文首先簡(jiǎn)述了傅立葉變換的原理及應(yīng)用領(lǐng)域，分析了其變換的數(shù)學(xué)原理和方法。接著介紹了幾個(gè)基本的濾波器的理論基礎(chǔ)。然后討論了傅立葉變換在圖像處理中的作用，其中著重介紹了圖像增強(qiáng)及其原理和方法，并詳細(xì)描述了在實(shí)驗(yàn)中圖像增強(qiáng)的實(shí)驗(yàn)步驟和如何運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)圖像進(jìn)行圖像增強(qiáng)的實(shí)驗(yàn)方法。關(guān)鍵

2、字： 圖象處理 傅立葉變換 低通濾波器 高通濾波器 圖像增強(qiáng) 一、引言 傅立葉變換是信號(hào)處理中最重要，應(yīng)用最廣泛的變換。從某種意義上來說,傅立葉變換就是函數(shù)的第二種描述語言。傅里葉變換理論及其物理解釋兩者的結(jié)合，對(duì)圖像處理領(lǐng)域諸多問題的解決提供了有利的思路，它讓我們從事物的另一側(cè)面來考慮問題，這樣在分析某一問題時(shí)就會(huì)從空域和頻域兩個(gè)角度來考慮問題并來回切換，可以在空域或頻域中思考的問題，利用頻域中特有的性質(zhì)，可以使圖像處理過程簡(jiǎn)單，有效，對(duì)于迂回解決圖像處理中的難題非常有幫助，被廣泛應(yīng)用于數(shù)字圖像處理中。 傅里葉變換在物理學(xué)、電子類學(xué)科、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、

3、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。尤其在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成幅值分量和頻率分量。隨著傅里葉變換在不同領(lǐng)域不同范圍內(nèi)的延伸以及涉及的范圍之廣，其發(fā)展趨勢(shì)也愈顯“數(shù)字化”，更是與計(jì)算機(jī)技術(shù)密不可分。目前，在信號(hào)處理與通訊領(lǐng)域里，使用最活躍的當(dāng)屬在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中的MATLAB。其在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指，而當(dāng)前傅里葉變換在通信領(lǐng)域中的應(yīng)用又是基于這一數(shù)學(xué)軟件，稱做快速傅里葉變換。并且除了數(shù)字信號(hào)處理之外，其出色的圖形處理功能使其在數(shù)字圖像處理技術(shù)上解決了傅里葉變換在這些應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)的特定類型的問題，使傅里葉變換在通信中得以更好的應(yīng)用與發(fā)展。 二、理論基礎(chǔ)2.

4、1傅里葉變換定義：?jiǎn)巫兞窟B續(xù)函數(shù)的傅里葉變換定義為等式其中。相反，給定，通過傅里葉逆變換可以獲得，即這兩個(gè)等式組成了傅里葉變換對(duì)。這些等式擴(kuò)展到兩個(gè)變量，即類似地，逆變換為：對(duì)于離散函數(shù)來說：相應(yīng)的，逆變換為：同樣地，將離散傅里葉變換推廣到兩個(gè)變量，即其中。同樣，二維離散傅里葉逆變換如下：其中。通常在進(jìn)行傅里葉變換之前用乘以輸入的圖像，由于指數(shù)的性質(zhì)，很容易得到：這個(gè)等式說明，用乘以可將原點(diǎn)變換到頻率坐標(biāo)下的，二維傅里葉變換設(shè)置的區(qū)域的中心。如果是實(shí)函數(shù)，則它的傅里葉變換必然為對(duì)稱的，即其中“*”表示對(duì)復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)共軛操作。由此，它遵循其中，傅里葉變換的頻率譜為對(duì)稱的。2.2幾個(gè)基本的濾波器 我

5、們將考慮三種濾波器：理想濾波器、巴特沃斯濾波器和高斯濾波器。巴特沃斯濾波器有一個(gè)參數(shù)，成為濾波器的“階數(shù)”。當(dāng)參數(shù)的值比較高時(shí)，很接近理想濾波器。因此巴特沃斯濾波器可看成是另外兩種濾波器的過渡。在頻域里，濾波器分為低通濾波器、高通濾波器等。接下來我們將詳細(xì)介紹低通濾波器，而由相應(yīng)的理想低通濾波器、巴特沃斯低通濾波器和高斯低通濾波器很容易就得到相應(yīng)的高通濾波器，這里不做過多介紹。 邊緣和其他劇烈變化的圖像在灰度級(jí)中主要處于傅里葉變換的高頻部分，因此，平滑(模糊)可以通過衰減指定圖像傅里葉中高頻成分的范圍來實(shí)現(xiàn)：其中是被平滑的圖像傅里葉變換。目標(biāo)是選擇一個(gè)濾波器變換函數(shù)，以通過衰減的高頻成分產(chǎn)生。

6、2.2.1理想低通濾波器 低通濾波是要保留圖像中低頻分量去除高頻分量。高頻分量處在距變換遠(yuǎn)點(diǎn)的距離比指定距離遠(yuǎn)很多的位置。這種為二維理想低通濾波器(ILPF)，其變換函數(shù)為：其中是指定的非負(fù)數(shù)值，是距離頻率矩形中心的距離。如果要研究的圖像的尺寸為，則1如上圖所示，完整的濾波器可以將此橫截面繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)。其中成為“截止頻率”。理想低通濾波器的這種陡峭的截止頻率雖然可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，但是，不能用電子部件來實(shí)現(xiàn)，所以理想濾波器是不實(shí)用的。2.2.2巴特沃斯低通濾波器 階巴特沃斯低通濾波器（BLPF）的傳遞函數(shù)（截止頻率距原點(diǎn)的距離為 ）定義如下： 其中不同于ILPF,BLPF變換函數(shù)在通帶與被

7、濾除的頻率之間沒有明顯的截?cái)唷?duì)于有平滑傳遞函數(shù)的濾波器，定義一個(gè)截止頻率的位置并使幅度降到其最大值的一部分。當(dāng)時(shí)，（從最大值降到它的一半）。一階的巴特沃斯濾波器沒有振鈴，在二階中振鈴?fù)ǔ：芪⑿?，這是因?yàn)榕c理想低通濾波器相比，它的通帶與阻帶之間沒有明顯的跳躍，在高低頻率間的過渡比較光滑。巴特沃斯低通濾波器的處理結(jié)果比理想濾波器的要好，但是,階數(shù)增高時(shí)振鈴便很明顯。綜上所述,二階的BLPF是在有效的低通濾波和可接受的振鈴效應(yīng)之間的折中。2.2.3高斯低通濾波器 二維高斯低通濾波器的形式如下式：其中是距離頻率矩形中心的距離。表示高斯曲線的擴(kuò)展程度，使，可以將濾波器寫成以下形式：其中，是截止頻率。當(dāng)

8、時(shí)，濾波器下降到它最大值的0.607倍處。 高斯低通濾波器的傅里葉反變換也是高斯的，由于它是沒有振鈴現(xiàn)象的，所以有高斯低通濾波器經(jīng)傅里葉反變換得到的空域高斯濾波器也是沒有振鈴的。三、傅立葉變換在圖像處理中的作用1. 圖像增強(qiáng)與圖像去噪 絕大部分噪音都是圖像的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻噪聲；邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強(qiáng)原始圖像的邊緣。2. 圖像分割之邊緣檢測(cè) 提取圖像高頻分量。3. 圖像特征提取 形狀特征：傅里葉描述子； 紋理特征：直接通過傅里葉系數(shù)來計(jì)算紋理特征； 其他特征：將提取的特征值進(jìn)行傅里葉變換來使特征具有平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)不變性。4. 圖像壓縮 可以直接通

9、過傅里葉系數(shù)來壓縮數(shù)據(jù)；常用的離散余弦變換是傅立葉變換的實(shí)變換。傅立葉變換在圖像處理中的應(yīng)用很多，在這里我們不再一一做詳細(xì)介紹，接下來我們將著重討論一下圖像增強(qiáng)。3.1圖像增強(qiáng)3.1.1圖像增強(qiáng)的原理和方法在實(shí)際應(yīng)用中，由于很多場(chǎng)景條件的影響，圖像的視覺效果很差，使圖像的信息無法被正常讀取和識(shí)別。例如，在采集圖像過程中由于光照環(huán)境或物體表面反光等原因造成圖像光照不均，或是圖像采集系統(tǒng)在采集過程中由于機(jī)械設(shè)備的緣故無法避免的加入采集噪聲，或是圖像顯示設(shè)備的局限性造成圖像顯示層次感降低或顏色減少等等。因此研究快速且有效地圖像增強(qiáng)算法成為推動(dòng)圖像分析和圖像理解領(lǐng)域發(fā)展的關(guān)鍵內(nèi)容之一。圖像增強(qiáng)從處理的

10、作用域出發(fā)可分為空間域和頻域兩大類。其中，頻域增強(qiáng)是將原空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到其他空間，然后利用該轉(zhuǎn)換空間的特有性質(zhì)進(jìn)行圖像處理，最后在轉(zhuǎn)換回到原空間，得到處理后的圖像，是一種間接增強(qiáng)的算法。圖像增強(qiáng)作為圖像處理的重要組成部分，促進(jìn)了圖像增強(qiáng)方法研究的不斷深入。目前主要由以下處理方法：傳統(tǒng)的圖像增強(qiáng)的處理方法可以分為空域和頻域圖像增強(qiáng)兩大類，其中頻域圖像增強(qiáng)的方法是對(duì)圖像經(jīng)傅里葉變換后的頻譜成分進(jìn)行操作，然后進(jìn)行傅里葉逆變換得到所需結(jié)果，如低通濾波器、高通濾波器、帶通和帶阻濾波，同態(tài)濾波等。有時(shí)候只采用一種方法往往得不到想要的結(jié)果，并且還沒有出現(xiàn)一種方法能滿足人們的任意需要，比如理想低通和

11、高通濾波器并不是很實(shí)用，但是作為濾波概念發(fā)展的一部分，用來研究濾波器的特性非常有意義，一階的巴特沃斯低通濾波器沒有振鈴現(xiàn)象，二階的振鈴?fù)ǔＮ⑿。请S著階數(shù)的增高振鈴便成為一個(gè)主要因素，高斯低通濾波器不會(huì)產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象，但是，在需要嚴(yán)格控制低頻和高頻之間截止頻率的過渡的情況下，巴特沃斯濾波器更為合適，所以有時(shí)候就需要使用幾種增強(qiáng)技術(shù)的組合方法。3.1.2圖像增強(qiáng)的實(shí)驗(yàn)步驟后期處理輸入圖像預(yù)處理傅里葉變換濾波傅里葉反變換輸出圖像其中，圖像的預(yù)處理一般為： 對(duì)圖像進(jìn)行中心變換；后期處理是用乘以傅里葉反變換后的結(jié)果。3.1.3圖像增強(qiáng)的實(shí)驗(yàn)方法利用MATLAB提供的低通濾波器函數(shù)配合程序語言對(duì)圖像進(jìn)行

12、處理，并且針對(duì)每種濾波器的處理結(jié)果進(jìn)行分析，針對(duì)高斯低通濾波器提出改進(jìn)方案，并對(duì)每種濾波器處理后的結(jié)果之間進(jìn)行比較，由此可以看出每種濾波器的優(yōu)點(diǎn)及不足，記錄和整理實(shí)驗(yàn)報(bào)告。四、總結(jié)數(shù)字圖像處理技術(shù)是近年來蓬勃發(fā)展的一門新興學(xué)科，在數(shù)字?jǐn)z影測(cè)量，遙感圖像處理，地理信息系統(tǒng)中得到應(yīng)用廣泛。傅立葉變換是線性系統(tǒng)分析的一個(gè)有力工具，它使我們能夠定量地分析諸如數(shù)字化系統(tǒng)，采樣點(diǎn)，電子放大器，卷積濾波器，噪聲，顯示點(diǎn)等地作用（效應(yīng)）。傅立葉變換（FT）是數(shù)字圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于圖像變換，圖像編碼與壓縮，圖像分割，圖像重建等。MATLAB語言簡(jiǎn)潔，可讀性強(qiáng)，工具箱涉及的專業(yè)領(lǐng)域廣泛且功能強(qiáng)大。因此，基于MATLAB的圖像傅里葉變換具有很強(qiáng)的實(shí)用性。 本文還論述了頻域圖像增強(qiáng)方法和一些基本原理。分析比較出他們中的優(yōu)缺點(diǎn)。圖像的頻域增強(qiáng)是圖像增強(qiáng)的基礎(chǔ)。而頻域圖像增強(qiáng)在當(dāng)代社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛運(yùn)用：醫(yī)學(xué)上進(jìn)行拍片分析病癥，地理學(xué)上空中遙感星球表面分析，海洋遙感，現(xiàn)實(shí)犯罪指紋取證都用到圖片圖像分析。圖像的頻域增強(qiáng)起著關(guān)鍵作用，但是現(xiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用問題還會(huì)有更多困難有待我們?nèi)タ朔?。只有充分透徹地理解，綜合考慮現(xiàn)實(shí)因素，才能在完善現(xiàn)有增強(qiáng)方法的基礎(chǔ)上創(chuàng)新提出新的增強(qiáng)方法。五、參考文獻(xiàn)1 Rafael C.G