Lesbesgue積分的定義及性質(zhì)

1、第二節(jié) lesbesgue積分的定義及性質(zhì),第五章 積分理論,1.積分的定義,設(shè) 是 ( ei可測且兩兩不交） 上非負簡單函數(shù)，定義 為 在e上的lebesgue積分,非負簡單函數(shù)的積分,例：若e1, e2, en是0,1中的可測集，0,1中每一點至少屬于上述集合中的k個(kn),則在e1, e2, en中必有一個點集的測度大于或等于k/n,非負可測函數(shù)的積分,若f(x)是e上的可測函數(shù),則f(x)總可表示成一列簡單函數(shù) 的極限 ，而且還可辦到,積分的性質(zhì),零集上的任何函數(shù)的積分為0,例 設(shè)fn(x)為e上非負可測函數(shù)列，,1.levi逐項積分定理,只要證明大于等于，但一般而 言fn(x)不會

2、跑到f(x)上方,所以 我們有必要先把f(x)下移一點。,若fn(x)為e上非負可測函數(shù)列，,說明：小于等于顯然成立， 因為fn(x)總在f(x)的下方,levi逐項積分定理的證明,引理1：設(shè)en是遞增集列， 是rn上的非負可測簡單 函數(shù)，則,引理2：設(shè)f(x)是e上的非負可測函數(shù)，a是e中可測子集，則,證明：由條件知fn(x)為e上非負可測函數(shù)遞增列，,有定義，且從函數(shù)列的漸升性知道,下證大于等于號,levi逐項積分定理的證明,證明：令c滿足0c1， 是rn上的非負可測 簡單函數(shù)，且,則en是遞增集列，,由引理1知,levi逐項積分定理的證明,再由的積分定義知,于是從（應用引理2）,注：le

3、vi定理的重要性在于對非負上升可測函數(shù)列，其極限運算與積分運算的次序可以交換。而任何非負可測函數(shù)可由上升的非負簡單函數(shù)列來逼近，因此非負可測函數(shù)的積分性質(zhì)可通過逼近方式從簡單可測函數(shù)的積分性質(zhì)來獲得。,2.lebesgue逐項積分定理（級數(shù)形式）,然后利用levi逐項 積分定理即可,對應于測度的可數(shù)可加性,若fn(x)為e上非負可測函數(shù)列， 則,對比:積分的線性 (有限個函數(shù)作和),4.fatou引理,若fn(x)為e上非負可測函數(shù)列，則,一般可測函數(shù)的積分,積分的幾何意義：,注：當 有限時，稱f(x)在e上 l可積,（要求 不同時為 ） 為f(x)在e上的lebesgue積分（有積分）,設(shè)f

4、(x)為e上的可測函數(shù)，定義,積分的性質(zhì),1）零集上的任何函數(shù)的積分為0,（2）,積分的絕對連續(xù)性,說明：若|f(x)|m,則只要取=/m即可，所以我們要 把f(x)轉(zhuǎn)化為有界函數(shù)。,若f(x)在e上可積，則 及任何可測子集 有,即：當積分區(qū)域很小時，積分值也很小.,積分的絕對連續(xù)性的證明,證明：由于f(x)可積，故|f(x)|也可積,故對任意，存在e上的簡單函數(shù)(x) ，,使在e上,由于(x)為簡單函數(shù)，故存在m，使得|(x)|m,例 設(shè)0,1上的函數(shù)f(x)在cantor集p上定義為0，在cantor集余集中長度為1/3n的構(gòu)成區(qū)間上定義為n(n=1,2,3，) ，求f(x)在0,1上的lebesgue積分值,解：令gn為cantor集p的余集中長度為1/3n的構(gòu)成區(qū)間的并，由條件知f(x)是0,1上的非負可測函數(shù)，根據(jù)積分的可數(shù)可加性知,5.lebesgue控制收斂定理,證明：顯然f(x)為e上可測函數(shù) （可測函數(shù)列的極限函數(shù)是可測函數(shù)）,設(shè)fn(x)為e上可測函數(shù)列， a.e.于e，且存在非負可積函數(shù)f(x)，使得|fn(x)| f(x) a.e.于e，,且由|fn(x)| f(x) a.e.于e，知|f(x)| f(x) a.e.于e， 所以fn(x)， f(x)都為e上可積函數(shù),則f(x)在e上可積且,由|fn(x)| f(x) a.e.于e， 知f(x)