高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃練習(xí)題(含詳細(xì)解答)

1、第 1 頁 共 11 頁 線性規(guī)劃線性規(guī)劃練習(xí)練習(xí) 1.已知變量, x y滿足約束條件 2 4 1 y xy xy ，則3zxy的最大值為() ( )A 12( )B 11( )C ()D 2. (2012 年高考遼寧卷 理 8)設(shè)變量, x y滿足 -10 0+20 015 x y x y y ，則2 +3xy的最大值為 A20B35C45D55 3若, x y滿足約束條件 10 30 330 xy xy xy ，則3zxy的最小值為。 4. 設(shè)函數(shù) ln ,0 ( ) 21,0 xx f x xx ，D是由x軸和曲線( )yf x及該曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線所圍成的封 閉區(qū)域，則2zxy

2、在D上的最大值為 5.某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過 50 計(jì)，投入資金不超過 54 萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的 產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表 為使一年的種植總利潤(rùn)（總利潤(rùn)=總銷售收入 總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位： 畝）分別為（） A50，0B30，20C20，30D0，50 6. 某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品. 已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品 1 桶需耗A原料 1 千克、B原料 2 千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品 1 桶需耗A原料 2 千克，B原料 1 千克. 每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是 300 元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是 400 元. 公司 在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過 12

3、千克. 通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每 天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是（） A、1800 元B、2400 元C、2800 元D、3100 元 7.若, x y滿足約束條件： 0 23 23 x xy xy ；則xy的取值范圍為_ . 8約束條件 24 41 xy xy ，則目標(biāo)函數(shù) z=3xy 的取值范圍是 A 3 2 ，6B 3 2 ，1C1，6D6， 3 2 年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià) 黃瓜4 噸1.2 萬元0.55 萬元 韭菜6 噸0.9 萬元0.3 萬元 第 2 頁 共 11 頁 9設(shè), x y滿足約束條件： ,0 1 3 x y xy xy ；則2zxy的取值范

4、圍為. 10.設(shè)不等式組 x1 x-2y+30 yx 所表示的平面區(qū)域是 1 ,平面區(qū)域是 2 與 1 關(guān)于直線3490 xy對(duì)稱,對(duì) 于 1 中的任意一點(diǎn) A 與 2 中的任意一點(diǎn) B,|AB的最小值等于() A. 28 5 B.4C. 12 5 D.2 11. 設(shè)不等式組 20 , 20 y x ，表示平面區(qū)域?yàn)?D，在區(qū)域 D 內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大 于 2 的概率是 A 4 B 2 2 C 6 D 4 4 12.若實(shí)數(shù) x、y 滿足 10 , 0 xy x 則 y x 的取值范圍是（） A.(0,1)B.0,1C.(1,+)D.1, 13. 已知正數(shù)a b c，滿足：

5、4ln53lnbcaacccacb ，則 b a 的取值范圍是 14.設(shè)平面點(diǎn)集 22 1 ( , ) ()()0 ,( , ) (1)(1)1Ax yyxyBx yxy x ， 則AB所表示的平面圖 形的面積為 A 3 4 B 3 5 C 4 7 D 2 15.在平面直角坐標(biāo)系xOy，已知平面區(qū)域( , )|1,Ax yxy 且0,0xy，則平面區(qū)域(,)|( , )Bxy xyx yA的面積為（） A2B1C 1 2 D 1 4 16. 若A為不等式組 0 0 2 x y yx 表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從2 連續(xù)變化到 1 時(shí)，動(dòng)直線xya掃過A 中的那部分區(qū)域的面積為. 17. 若不等式組

6、 0 34 34 x xy xy 所表示的平面區(qū)域被直線 4 3 ykx 分為面積相等的兩部分，則k的 第 3 頁 共 11 頁 值是 （A） 7 3 （B） 3 7 （C） 4 3 （D） 3 4 高 18.若0, 0ba，且當(dāng) 1 , 0 , 0 yx y x 時(shí)，恒有1byax，則以a,b 為坐標(biāo)點(diǎn)( , )P a b所形成的平面區(qū)域的 面積等于_. 19. 在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組 10 10 10 xy x axy （為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于 2， 則a的值為 A. 5B. 1C. 2D. 3 20.若直線 x y2上存在點(diǎn)),(yx滿足約束條件 mx yx yx

7、032 03 ，則實(shí)數(shù)m的最大值為（） A 2 1 B1C 2 3 D2 21. 設(shè)二元一次不等式組 2190 80 2140 xy xy xy ， ， 所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)(01) x yaaa，的圖象 過區(qū)域M的a的取值范圍是（） A1，3B2，10C2，9D10，9 22. 設(shè)不等式組 110 330 530 xy xy xy9 表示的平面區(qū)域?yàn)?D，若指數(shù)函數(shù) y= x a的圖像上存在區(qū)域 D 上的點(diǎn)， 則 a 的取值范圍是 A(1，3B2，3C(1，2D 3， 23. 設(shè)m為實(shí)數(shù)，若 250 ( , )30 0 xy x yx mxy 22 ( , )|25x yxy，則m的

8、取值范圍是_. 24. 若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組 330, 230, 10, xy xy xmy 且xy的最大值為 9，則實(shí)數(shù)m （） A2B1C 1D 2 第 4 頁 共 11 頁 25.若 x，y 滿足約束條件 1 1 22 xy xy xy ，目標(biāo)函數(shù)2zaxy僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值，則 a 的取值 范圍是（） A （1，2）B （4，2）C( 4,0D( 2,4) 26. 設(shè) m1，在約束條件下， 1yx mxy xy 目標(biāo)函數(shù) z=x+my 的最大值小于 2， 則 m 的取值范圍為 A)21 , 1 (B),21 (C （1，3）D), 3( 27. 設(shè) x，y 滿足約束條件

9、0, 0 02 063 yx yx yx ，若目標(biāo)函數(shù)(0,0)zaxby ab的值是最大值為 12， 則 23 ab 的最小值為（） A. 6 25 B. 3 8 C. 3 11 D.4 28. 設(shè), x y滿足約束條件 220 840 0 , 0 xy xy xy ，若目標(biāo)函數(shù)0,0zabxy ab的最大值為 8，則ab 的最小值為_. 第 5 頁 共 11 頁 線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題 答案解析答案解析 1、選B【解析】約束條件對(duì)應(yīng)ABC內(nèi)的區(qū)域(含邊界)，其中 5 3 (2,2), (3,2),( , ) 2 2 ABC畫出可行域， 結(jié)合圖形和 z 的幾何意義易得38,11zxy 2、

10、選 D； 【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖知目標(biāo)函 數(shù)過點(diǎn)5,15A時(shí)，2 +3xy的最大值為 55，故選 D. 3、答案：1 【解析】利用不等式組，作出可行域，可知區(qū)域表示的為三角形，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)(3,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最 大 ，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)(0,1)時(shí)最小為1. 4、答案 2； 【解析】當(dāng) x 0 時(shí)， x xf 1 ， 11 f， 曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線為1 xy，則根據(jù)題意可畫出可行域 D 如右圖： 目標(biāo)函數(shù)zxy 2 1 2 1 ， 當(dāng)0x，1y時(shí)，z 取得最大值 2 5、選 B； 【解析】本題考查線性規(guī)劃知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)學(xué)建模的思想方法以及實(shí)踐

11、能力.設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為 x、y 畝，總利潤(rùn)為 z 萬元， 則目標(biāo)函數(shù)為 (0.55 41.2 )(0.3 60.9 )0.9zxxyyxy.線性約束條件為 50, 1.20.954, 0, 0. xy xy x y 即 50, 43180, 0, 0. xy xy x y 作出不等式組表示的可行域, 易求得點(diǎn)0,50 ,30,20 , 0,45ABC. 平移直線0.9zxy， 可知當(dāng)直線0.9zxy，經(jīng)過點(diǎn)30,20B， 即30,20 xy時(shí) z 取得最大值，且 max 48z（萬元）. 故選 B. 點(diǎn)評(píng)：解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟可歸納為： (1)審題仔細(xì)閱讀，明確有哪些限制條

12、件，目標(biāo)函數(shù)是什么？ (2)轉(zhuǎn)化設(shè)元寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù); (3)求解關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關(guān)系； (4)作答就應(yīng)用題提出的問題作出回答 6、答案 C 【解析】 設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品 X 桶，乙種產(chǎn)品 Y 桶，公司共可獲得利潤(rùn)為 Z 元/天，則 第 6 頁 共 11 頁 由已知， 得 Z=300X+400Y， 且 0 0 122 122 Y X YX YX ， 畫可行域如圖所示， 目標(biāo)函數(shù) Z=300X+400Y 可變形為 Y= 400 z x 4 3 這是隨 Z 變化的一族平行直線，解方程組 12y2x 12yx2 ， 4y 4x ，即 A（4,4） 28

13、0016001200 max Z 7、答案 3,0； 【解析】約束條件對(duì)應(yīng)ABC內(nèi)的區(qū)域(含邊界)，其中 3 (0,3), (0, ),(1,1) 2 ABC，畫出可 行域，結(jié)合圖形和 t 的幾何意義易得 3,0txy 8、選 A； 【解析】 作出可行域和直線l：03 yx，將直線l平移至點(diǎn))0 , 2(處有最大值，點(diǎn))3 , 2 1 (處 有最小值，即6 2 3 z.應(yīng)選 A. 9、 答案3， 3；【解析】 約束條件對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)樗倪呅蜲ABC內(nèi)及邊界， 其中(0,0), (0,1), (1,2),(3,0)OABC ， 則2 3,3zxy 10、選 B ； 【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)

14、劃以及兩個(gè)圖形間最小距離的求解、基本公式（點(diǎn)到 直線的距離公式等）的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。 【解析【解析】由題意知，所求的|AB的最小值，即為區(qū)域 1 中的點(diǎn)到直 線3490 xy的距離的最小值的兩倍， 畫出已知不等式表示的平 面區(qū)域，如圖所示，可看出點(diǎn)（1，1）到直線3490 xy的距離 最小，故|AB的最小值為 |3 1 4 1 9| 24 5 ，所以選 B。 評(píng)注：在線性約束條件下，求分別在關(guān)于一直線對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)域內(nèi)的兩點(diǎn)距離的最值問題，通常轉(zhuǎn)化 為求其中一點(diǎn)(x，y)到對(duì)稱軸的距離的的最值問題。結(jié)合圖形易知，可行域的頂點(diǎn)及可行域邊界線上的點(diǎn) 是求距離最值的關(guān)鍵點(diǎn). 11、選 D；

15、 【解析】題目中 20 20 y x 表示的區(qū)域?yàn)檎叫?，如圖所示，而動(dòng)點(diǎn) M 可 以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分， 因此 4 4 22 2 4 1 22 2 P，故選 D. 第 7 頁 共 11 頁 12、選 C； 【解析】如圖，陰影部分為不等式所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域， y x 表示平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)( , )x y與原點(diǎn) (0,0)O之間連線的斜率，由圖易知， y x 1,，選 C. 評(píng)注：在線性約束條件下，對(duì)于形如( ,) yb za bR xa 的目標(biāo)函數(shù)的 取值問題，通常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)( , )x y、( , )a b之間連線斜率的取值. 結(jié)合圖形 易知，可行域的頂點(diǎn)是求解斜率

16、取值問題的關(guān)鍵點(diǎn). 在本題中，要合理運(yùn)用 極限思想，判定 y x 的最小值無限趨近于 1. 13、答案 7e，； 【解析】條件 4ln53lnbcaacccacb ， 可化為： 35 4 a c ab cc ab cc b e c . 設(shè)= ab xy cc ，則題目轉(zhuǎn)化為：已知xy，滿足 35 4 00 x xy xy ye xy ， ，求 y x 的取值范圍. 作出（xy，）所在平面區(qū)域（如圖） ，求出= x y e的切線的斜 率e，設(shè)過切點(diǎn) 00 P xy，的切線為=0y exm m， 則 00 000 = yexmm e xxx ，要使它最小，須=0m. y x 的最小值在 00 P

17、xy，處，為e. 此時(shí)，點(diǎn) 00 P xy，在 = x y e上,A B之間.當(dāng)（xy，）對(duì)應(yīng)點(diǎn)C時(shí)， =45 =205 =7=7 =534 =2012 yxyx y yx yxyxx ， y x 的最大值 在C處，最大值為 7. y x 的取值范圍為 7e， 即 b a 的取值范圍是 7e， 14、選D； 【解析】由對(duì)稱性： 22 1 ,(1)(1)1yx yxy x 圍成的面積與 22 1 ,(1)(1)1yx yxy x 圍成的面積相等，得：AB所表示的平面圖形的面積為 22 ,(1)(1)1yx xy圍成的面積既 2 1 22 R 第 8 頁 共 11 頁 15、選 B； 【解析】令,

18、axy bxy，則 11 (),() 22 xabyab， 代入集合 A， 易得0,0,1ababa， 其所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部 分，則平面區(qū)域的面積為 2 1 211，選 B. 評(píng)注：本題涉及雙重約束條件，解題的關(guān)鍵是采用換元的思想去尋求平 面區(qū)域B所對(duì)應(yīng)的約束條件，從而準(zhǔn)確畫出相應(yīng)的平面區(qū)域. 16、答案 7 4 ； 【解析】如圖，陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域A， 其中： 12 :,:2,:1l xya lxylxy . 當(dāng)a從2 連續(xù)變化到 1 時(shí)，動(dòng)直線l掃過的平面區(qū)域即為 1 l與 2 l之 間的平面區(qū)域，則動(dòng)直線l掃過A中的那部分平面區(qū)域的面積即為四邊 形BOCD的面積，由

19、圖易知，其面積為： 7 4 ABOADC SSS . 評(píng)注： 本題所求平面區(qū)域即為題設(shè)平面區(qū)域 A 與動(dòng)直線xya在 a從2 連續(xù)變化到 1 時(shí)掃過的平面區(qū)域之間的公共區(qū)域， 理解題意， 準(zhǔn) 確畫圖是解題的關(guān)鍵. 17、選 A； 【解析】不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分ABC 由 34 34 xy xy 得 A（1，1） ，又 B（0，4） ，C（0， 4 3 ） S ABC= 144 (4) 1 233 ，設(shè)ykx與34xy的交點(diǎn)為 D， 則 由 12 23 BCD SS ABC 知 1 2 D x ， 5 2 D y ， 5147 , 2233 kk，選 A. 18、答案 1； 【解析

20、】如圖，陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域， 要使得恒 有1byax成立，只須平面區(qū)域頂點(diǎn),A O B的坐標(biāo)都滿足不等式 1byax，易得01,01,ab所以( , )P a b所形成的平面區(qū)域的 面積等于 1. 評(píng)注：本題是線性規(guī)劃背景下的不等式恒成立問題，只須考慮可行域的頂點(diǎn)即可. 作為該試卷客觀題 的最后一題，熟悉的題面有效避免了學(xué)生恐懼心理的產(chǎn)生，但這并不等于降低了對(duì)數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想方 法的考查，真可謂簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單. 19、選 D； 【解析】 作出不等式組 10 10 10 xy x axy 所圍成的平面區(qū)域. 如圖所示，由題 意可知，公共區(qū)域的面積為 2；|AC|=4，點(diǎn) C 的坐標(biāo)

21、為（1，4）代入10axy A x D y C O y=kx+ 4 3 第 9 頁 共 11 頁 ）（ 3 , 0 ）（ 0 , 3 ），（ 2 3 -0 )3 ,(mm xy2 得 a=3，故選 D. 點(diǎn)評(píng)：該題在作可行域時(shí)，若能抓住直線方程10axy 中含有參數(shù) a 這個(gè)特征，迅速與“直線 系”產(chǎn)生聯(lián)系，就會(huì)明確10axy 可變形為1yax 的形式，則此直線必過定點(diǎn)(0，1)；此時(shí)可 行域的“大致”情況就可以限定，再借助于題中的其它條件，就可輕松獲解. 20、選 B；分析分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為含參的線性規(guī)劃，需要畫出 可行域的圖形， 含參的直線要能畫出大致圖像. 解答解答： 可行域如圖：

22、 所以，若直線xy2上存在點(diǎn)),(yx滿足約束條件 mx yx yx 032 03 ，則 m m23，即1m。 評(píng)注： 題設(shè)不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域隨參數(shù) m 的變化而變化， 先局部后整體是突破的關(guān)鍵. 21、選 C； 【解析】區(qū)域M是三條直線相交構(gòu)成的三角形（如圖）, 其中(1,9), (3,8),(2,10)ABC， 使函數(shù)(01) x yaaa，的圖 象過區(qū)域M,由圖易知1a ，只須區(qū)域 M 的頂點(diǎn),A B不位于函 數(shù) x ya圖象的同側(cè)，即不等式 3 (9) (8)0aa(a0，a1) 恒成立，即29.a 評(píng)注： 首先要準(zhǔn)確畫出圖形； 其次要能結(jié)合圖形對(duì)題意進(jìn)行等價(jià) 轉(zhuǎn)化；最后要能正確使

23、用“同側(cè)同號(hào)、異側(cè)異號(hào)”的規(guī)律. 22、選 A； 【解析】這是一道略微靈活的線性規(guī)劃問題，作出區(qū)域 D 的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù) x ya的圖象， 能夠看出，當(dāng)圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點(diǎn)（2，9）時(shí)，a 可以取到最大值 3，而顯然只要 a 大于 1，圖象必然經(jīng) 過區(qū)域內(nèi)的點(diǎn). 23、答案 4 0, 3 ； 【解析】 如圖 10，直線:,l ymx 1 4 : 3 lyx ，由 題意，要使得不等式組表示的區(qū)域包含在圓的內(nèi)部，則直線l應(yīng)位于直 線 1 l與x軸之間（包括直線 1 l及x軸） ，即 4 0 3 m ，所以m的取 值范圍是 4 0, 3 . 評(píng)注：由集合之間的包含關(guān)系到對(duì)應(yīng)平面區(qū)域之間的包含關(guān)系是解 決本題的第一突破口；另外，在直線l的旋轉(zhuǎn)變化中，確定關(guān)鍵的兩個(gè) 特殊位置 1 l、x軸是解決本題第二突破口，這對(duì)考生的想象能力、數(shù)形結(jié)合能力都提出了非常高的要求. 24、選 C； 【思路點(diǎn)撥】畫出平面區(qū)域，利用xy的最大值為 9，確定區(qū)域的邊界 第 10 頁 共 11 頁 x y O3 3 1 330 xy 230 xy 3 2 12 3 (, ) 7 7 (4,5)A yx 10 x