2020年高中數(shù)學 1.2.1 平面的基本性質(zhì)及推論1教案 北師大版必修2（通用）

1、2020年高中數(shù)學 1.2.1 平面的基本性質(zhì)及推論1教案 北師大版必修2二. 教學目的1、了解平面的基本性質(zhì)與推論，并能運用這些公理及推論去解決有關(guān)問題，會用集合語言來描述點、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì)。2、以所學過的作為推理依據(jù)的一些公理和定理為基礎(chǔ)，通過直觀感知，操作確認，思辨論證，歸納出空間中線、面平行的有關(guān)判定定理和性質(zhì)定理。能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。三. 教學重點、難點【重點】平面的基本性質(zhì)與推論以及它們的應(yīng)用；線線平行及平行線的傳遞性和面面平行的定義與判定。【難點】自然語言與數(shù)學圖形語言和符號語言間的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用；如何由平行公理以及其他基本性質(zhì)推

2、出空間線、線，線、面和面、面平行的判定和性質(zhì)定理，并掌握這些定理的應(yīng)用。四. 知識分析（一）平面的基本性質(zhì)與推論1. 平面的基本性質(zhì)（1）關(guān)于公理1三種數(shù)學語言表述：文字語言表述：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有點都在這個平面內(nèi)。圖形語言表述：如圖1所示 圖1符號語言表述： 內(nèi)容剖析：公理1的內(nèi)容反映了直線與平面的位置關(guān)系，條件“線上兩點在平面內(nèi)”是公理的必須條件，結(jié)論“線上所有點都在面內(nèi)”。這個結(jié)論闡述兩個觀點，一是整個直線在平面內(nèi)，二是直線上所有點都在平面內(nèi)。公理（1）的作用：既可判定直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)，又可用直線檢驗平面。（2）關(guān)于公理2公理2的三種數(shù)學

3、語言表述：文字語言表述：過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面。圖形語言表述：如圖2所示 圖2符號語言表述：A、B、C三點不共線有且只有一個平面，使.內(nèi)容剖析：公理2的條件是“過不在同一直線上的三點”，結(jié)論是“有且只有一個平面”。條件中的“三點”是條件的骨干，不會被忽視，但“不在同一直線上”這一附加條件則易被遺忘，如舍之，結(jié)論就不成立了，因此絕對不能遺忘同時還應(yīng)認識到經(jīng)過一點、兩點或在同一直線上的三點可有無數(shù)個平面；過不在同一直線上的四點，不一定有平面，因此要充分重視“不在同一直線上的三點”這一條件的重要性。公理2中的“有且只有一個”含義要準確理解。這里的“有”是說圖形存在?！爸挥幸粋€”是說

4、圖形惟一，本公理強調(diào)的是存在和惟一兩個方面。因此“有且只有一個”必須完整的使用，不能僅用“只有一個”來替代“有且只有一個”，否則就沒有表達存在性?！按_定一個平面”中的“確定”是“有且只有”的同義詞，也是指存在性和惟一性這兩方面的，這個術(shù)語今后也會常常出現(xiàn)，要理解好。公理2的作用： 作用一是確定平面；作用二是可用其證明點、線共面問題。（3）關(guān)于公理3 公理3的三種數(shù)學語言表述：文字語言表述：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。 圖形語言表述：如圖3所示。圖3符號語言表述： 公理3的剖析： 公理3的內(nèi)容反映了平面與平面的位置關(guān)系。公理2的條件簡言之是“兩面共一點

5、”，結(jié)論是“兩面共一線，且過這一點，線惟一”。對于本公理應(yīng)強調(diào)對于不重合的兩個平面，只要它們有公共點，它們就是相交的位置關(guān)系，交集是一條直線。公理3的作用：其一它是判定兩個平面是否相交的依據(jù)，只要兩個平面有一個公共點，就可以判定這兩個平面必相交于過這點的一條直線；其二它可以判定點在直線上，點是某兩個平面的公共點，線是這兩個平面的公共交線，則這點在交線上。2. 平面的基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。請同學們想一想：三個推論的圖形語言如何表示呢？三個推論的符號語言如何表

6、述呢？三個推論有何作用呢？推論2的證明推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。已知：直線求證：經(jīng)過直線a、b有且只有一個平面?！咀C明】（1）如圖4所示，在直線a,b上分別取不同于點A的點C、B，得不在同一直線上的三點A、B、C，過這三個點有且只有一個平面（公理2）。圖4又（公理1）平面是過相交直線a，b的平面。（2）如果過直線a和b還有另一平面，那么A,B,C三點也一定都在平面內(nèi)，這樣過不在一條直線上的三點A,B,C就有兩個平面 、了，這與公理3矛盾。所以過直線a，b的平面只有一個。綜上知，過直線a、b有且只有一個平面。3. 用集合語言來描述點、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì)（1）點與

7、平面的位置關(guān)系：點A在平面內(nèi)，記作A；點A不在內(nèi)，記作； （2）直線與平面的位置關(guān)系：直線 m 在平面內(nèi)，記作 ;直線 m 不在平面內(nèi)，記作；（3）平面與平面 相交于直線a，記作 ；（4）直線 m 和 n 相交于點A，記作。4. 學習時應(yīng)注意的幾個問題學習本節(jié)課要注意正確的作圖，恰當?shù)淖鲌D有利于培養(yǎng)我們的空間想象能力在平面幾何中，輔助線一般要畫成虛線，而立體幾何中則不同，一般是將看不見的線畫成虛線，與它是否是輔助線無關(guān)，這一點同學們一定要注意。在平時的訓練中要養(yǎng)成多動手、勤畫圖的習慣，必須熟練掌握空間圖形的直觀圖的畫法斜二測畫法。要注意重視幾何語言的訓練和書寫，盡可能熟記有關(guān)公理及推論的幾何語

8、言的敘述。5. 幾種常見題型的解法（1）證明直線在平面內(nèi)的方法：證明直線上有兩點在平面內(nèi)。（2）證明直線共面的方法：先證明其中兩條直線確定一個平面，再證明其余直線都在這個平面內(nèi)。（3）證明點在直線上的方法：首先確定這條直線是哪兩個平面的交線，然后證明這個點是這兩個平面的公共點。（二）平面中的平行關(guān)系1. 平行直線（1）空間兩條直線的位置關(guān)系相交：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行：在同一平面內(nèi)，沒有公共點。（2）初中幾何中的平行公理： 過直線外一點有且只有一條直線和這條直線平行。 【說明】此結(jié)論在空間中仍成立（3）公理4（空間平行線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行即：如果直線

9、a / b,c / b，那么a / c。 【說明】此公理是判定兩直線平行的重要方法：尋找第三條直線分別與前兩條直線平行。2. 等角定理 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個角相等。 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。 需要說明的是：對于等角定理中的條件：“方向相同”。 |m （1）若僅將它改成“方向相反”，則這兩個角也相等。 （2）若僅將它改成“一邊方向相同，而另一邊方向相反”，則這兩個角互補。此定理及推論是證明角相等問題的常用方法。3. 空間圖形的平移 如果空間圖形F的所有點都沿同一方向移動相同

10、的距離到F的位置，則說圖形F在空間做了一次平移。 注意：圖形平移后與原圖形全等，即對應(yīng)角和對應(yīng)兩點間的距離保持不變。 圖形平移有如下性質(zhì)： （1）平移前后的兩個圖形全等； （2）對應(yīng)角的大小平移前后不變； （3）對應(yīng)兩點的距離平移前后不變； （4）對應(yīng)兩平行直線的位置關(guān)系在平移前后不變； （5）對應(yīng)兩垂直直線的位置關(guān)系在平移前后不變。4. 證明空間兩直線平行的方法 （1）利用定義5. 直線與平面平行（1）直線和平面的位置關(guān)系有三種，用公共點的個數(shù)歸納為（2）線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。符號表示為：（）該定理常表述為：“

11、線線平行，則線面平行?！保ǎ┯迷摱ɡ砼袛嘀本€a和平面平行時，必須具備三個條件：直線a不在平面內(nèi)，即 。直線b在平面內(nèi)，即。兩直線a、b平行，即a / b。這三個條件缺一不可。m（3）線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和兩平面的交線平行。符號表示：若 ,則a / b, 即“線面平行，則線線平行”?！菊f明】a. 此定理可以作為直線與直線平行的判定定理b. 定理中有3個條件：直線a和平面平行，即a /；平面、相交，即b；直線a在平面內(nèi)，即 。三者缺一不可。 （4）線面平行定理的應(yīng)用應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與平面外

12、相互平行的直線。應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理解題的關(guān)鍵是利用已知條件作輔助平面，然后把已知中的線面平行轉(zhuǎn)化為直線和交線平行。6. 兩個平面的位置關(guān)系同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類似；可以從有無公共點來區(qū)分： 如果兩個平面有不共線的三個公共點，那么由公理3可知：這兩個平面必然重合； 如果兩個平面有一個公共點，那么由公理2可知：這兩個平面相交于過這個點的一條直線； 如果兩個平面沒有公共點，那么就說這兩個平面相互平行。由此可知兩個不重合的平面的位置關(guān)系：（1）平行沒有公共點； （2）相交至少有一個公共點（或有一條公共直線）。 7. 面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個

13、平面平行。 已知：、，（如圖所示） 求證： 證明：用反證法 假設(shè) ， 同理有 由公理4知，這與相矛盾。 注意：（1）此定理用符號表示為 （2）應(yīng)用本定理的關(guān)鍵是：要證面面平行，轉(zhuǎn)化為證線面平行，即在內(nèi)找兩條相交直線、都平行于。 （3）這個定理有推論：“若一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行?！?8. 面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。 已知：，平面，（如圖所示） 求證： 證明： 沒有公共點，而，、沒有公共點 又、， 注意：（1）本定理可作為線線平行的判定定理使用。 （2）面面平行的性質(zhì)還有： 這條性質(zhì)同時是線面平

14、行的一種判定方法。 夾在兩平行平面間的兩條平行線段相等。 對三個平面 這是平面平行的傳遞性。 9. 兩平面平行問題常常轉(zhuǎn)化為線面平行，而線面平行又可以轉(zhuǎn)化為線線平行。所以注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，兩平面平行的性質(zhì)定理是證明空間兩直線平行的重要依據(jù)，故應(yīng)切實掌握好?！镜湫屠}】 例1. 用符號表示下列語句，并畫出圖形。 （1）三個平面相交于一點P，且平面與平面交于PA，平面與平面交于PB，平面與平面交于PC。 （2）平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC。 （3）直線a和b相交于平面內(nèi)一點M。 解析：（1）符號語言表示： ， 圖形表示：如圖 （2）符號語言表示： 平面ABD平

15、面BDC=BD， 平面ABC平面ADC=AC 圖形表示：如圖 （3）符號語言表示：，。圖形表示：（如下圖中三個圖）。 點評：理解數(shù)學符號的含義，學會并養(yǎng)成用符號語言和圖形語言表示文字敘述語句的習慣，這在解題中會帶來許多方便。 例2. 一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面。 解析： 已知：， 求證：直線，共面。 方法一：，、確定一個平面 ， ，故 又，、確定一個平面，同理可證 且， 過兩條相交直線、有且只有一個平面，故與重合 即直線，共面。 方法二：由方法一得，共面，也就是說在、確定的平面內(nèi) 同理可證在、確定的平面內(nèi) 過和只能確定一個平面 ，共面 點評：先將已知和求證改寫成符號語言

16、，要證明諸線共面，一種方法是先由、確定一個平面，由公理1證明、也在此平面內(nèi)；另一種方法是先由、確定一個平面，、確定另一平面，再證兩平面重合。 ， 是平面與平面ABC的交線， ， 且平面ABC， ，P，Q，R三點共線。 點評：要證明P，Q，R三點共線，只需證明P，Q，R三點在平面和平面ABC的交線上，可先用任意兩點確定交線所對應(yīng)的直線，再證明第三點也在該直線上。 例4. 如圖，兩個三角形ABC和的對應(yīng)頂點的連線、交于同一點O，且 （1）求證：，； （2）求的值。 解析：用平面幾何知識可以證明兩條直線平行；用等角定理可以證明兩個角相等，從而可以證明兩個三角形相似。 （1）與交于點O，且 同理 ，

17、（2），且和、和方向相反 同理 因此 ，且 點評：判斷或證明線線平行常用的方法有： （1）用平面幾何中證明兩條直線平行的方法； （2）利用公理4（若ac，cb，則ab）； （3）利用線面平行性質(zhì)定理（若，則ab）； （4）利用面面平行的性質(zhì)定理（若，則ab）。 例5. 已知四面體ABCD中，M、N分別是和的重心。 求證：（1）面ABD；（2）面CMN 分析：首先根據(jù)條件畫出圖形，如圖所示，證明線面平行最常用的方法是利用判定定理，利用反推的思想，要證面ABD，只要證明MN平行于面ABD內(nèi)的某一條直線即可。根據(jù)M、N分別為的重心的條件，連接CM、CN并延長分別交AB、AD于G、H，連接GH。若有，

18、則結(jié)論可證，或連接AM、AN并延長交BC、CD于E、F，連接EF，若有，結(jié)論可證。 解析：（1）如圖所示，連接CM、CN并延長分別交AB、AD于G、H，連接GH、MN M、N分別為的重心 MNGH 又面ABD，面ABD MN面ABD （2）連接AM、AN并延長分別交BC、CD于E、F，連結(jié)EF 同理MNEF 又E、F分別為BC、CD的中點 BDEF BDMN 又面CMN，CMN BD面CMN 點評：證明線面平行的常用方法有兩種，其一是利用定義，一般借助反證法去完成；其二是利用判定定理，思路一般是從結(jié)論入手，用反推的思想方法分析出解題思路，然后完成證明過程。 例6. 已知AB、CD是夾在兩個平行

19、平面、之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點。 求證：平面 解析：分AB、CD是否共面兩種情況。 （1）若AB、CD在同一平面內(nèi)，則平面ABCD與、的交線分別為BD、AC 又因為，所以。又M、N分別為AB、CD的中點， 所以，又平面，所以平面。 （2）若AB、CD不共面，如圖，過A作交于E，取AE中點P，連接MP、PN、BE、ED。 因為，所以AE、CD確定平面AEDC 則平面AEDC與、的交線分別為ED、AC 因為，所以 又P、N分別為AE、CD中點 所以，從而 同理可證 ，所以 所以平面 又平面MPN，所以 點評：（1）本題容易疏忽AB、CD是否共面，把AB、CD看成同一平面內(nèi)的線段，直

20、接用平面幾何知識得證。 （2）本題是平面幾何中梯形中位線在空間的推廣。 例7. 如圖，在正方體中，M、N、E、F分別是棱、的中點。 求證：平面平面。 解析：連接MF 因為M、F分別是、的中點，且四邊形是正方形 所以， 又， 所以四邊形AMFD是平行四邊形 所以AMDF 因為平面EFDB，平面EFDB 所以AM平面EFDB 同理可證：AN平面EFDB 又AM、AN平面AMN， 所以平面AMN平面EFDB 點評：證明面面平行的關(guān)鍵是在一個平面里找到都與另一個平面平行的兩條相交直線?！灸M試題】1. 直線a、b、c交于一點，經(jīng)過這3條直線的平面（ ）A. 有0個 B. 有1個C. 有無數(shù)個 D. 可

21、以有0個，也可以有1個2. 過不共面的4個點中的3個點的平面共有（ ） A. 0個 B. 3個 C. 4個 D. 無數(shù)個3. 下列推理，錯誤的是（ ）A. B. C. D. 線與重合4. 空間兩個角的兩邊對應(yīng)平行，其中一個角等于60，則另一個角的大小為（ ） A. 60 B. 120 C. 30 D. 60或1205. 下列說法正確的是（ ）A. 直線m平行于平面內(nèi)的無數(shù)直線，則m /B. 若直線則a /C. 若直線a / b，b，則a /D. 若直線a / b，b，直線a就平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線6. 在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點，若AEEBCFFB13，則對角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 直線在平面內(nèi) D. 不能確定7. 下列命題中正確的是（ ）A. B. C. 平行于同一條直線的兩個平面平