河北省唐山市第二中學(xué)2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）（通用）

1、唐山二中2020學(xué)年度第一學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)試卷第卷（選擇題 共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.） 1.已知集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)一元二次不等式計(jì)算出集合中表示元素范圍,然后計(jì)算出的范圍,最后根據(jù)交集的含義計(jì)算的結(jié)果.【詳解】因?yàn)?所以即,所以,又因?yàn)?所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集與交集混合運(yùn)算,難度較易,注意一元二次不等式的解集的求解.2.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且時(shí)，是遞減的，則的值為（ ）A. -1B. 2C. -1或2D. 3【答案】A【解

2、析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出的值，代入檢驗(yàn)即可【詳解】由題意得：，解得：或，時(shí)，遞增，不合題意，時(shí)，遞減，符合題意.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義和單調(diào)性問(wèn)題，要求仔細(xì)審題，認(rèn)真計(jì)算，屬基礎(chǔ)題3.已知，則此函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，求得自變量的值代入求y即可求得答案【詳解】由得：，此時(shí)，恒過(guò)定點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，令對(duì)數(shù)型函數(shù)的真數(shù)為1，求得自變量的值是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題4.函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到（ ）A. 向左平移2個(gè)單位B. 向右平移2個(gè)單位C. 向左平移1個(gè)單位D. 向右平移1個(gè)單位【答案】

3、C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象的變換規(guī)律，把函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位可得函數(shù)的圖象，從而得出結(jié)論【詳解】把函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位可得函數(shù)的圖象.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的變換規(guī)律，注意仔細(xì)審題，屬基礎(chǔ)題5.分段函數(shù)，則滿足的值為（ ）A. 0B. 3C. 0或3D. 【答案】C【解析】【分析】對(duì)分類討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求解，即可得到滿足的的值【詳解】，依題意有，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜合，滿足的的值為0或3故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的解析式，分段函數(shù)的取值問(wèn)題對(duì)于分段函數(shù)一般選用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題主要考查了根據(jù)函數(shù)值求變量的取值，解題的關(guān)鍵是判斷該用哪

4、段解析式進(jìn)行求解屬基礎(chǔ)題6.下列各組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的是（ ）A. 與B. 與C. 與D. 與【答案】B【解析】【分析】逐項(xiàng)分別判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同即可【詳解】選項(xiàng)A中，函數(shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是相同函數(shù)；選項(xiàng)B中，兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，是相同函數(shù)；選項(xiàng)C中，由得或；由得，得，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是相同函數(shù)；選項(xiàng)D中，的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是相同函數(shù)故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查相同函數(shù)的概念，分別判斷函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題7.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】容易得出

5、，從而可得出，的大小關(guān)系詳解】，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，注意仔細(xì)審題，屬基礎(chǔ)題.8.函數(shù)在上增函數(shù)，則在上是（ ）A. 函數(shù)值由負(fù)到正且增函數(shù)B. 函數(shù)值恒為正且為減函數(shù)C. 函數(shù)值由正到負(fù)且為減函數(shù)D. 沒(méi)有單調(diào)性【答案】C【解析】【分析】由已知分析出外函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得在上單調(diào)性和符號(hào)【詳解】?jī)?nèi)函數(shù)在上是增函數(shù)，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則外函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)函數(shù)在上是減函數(shù)，故在上是減函數(shù)，又由，在上是函數(shù)值由正到負(fù)且為減函數(shù).故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則是解答的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)，

6、則下列的圖象錯(cuò)誤的是（ ）A. 的圖象B. 的圖象C. 的圖象D. 的圖象【答案】D【解析】【分析】先畫出函數(shù)的圖象，再根據(jù)函數(shù)的圖象特征以及圖象的變化規(guī)律，判斷各個(gè)選項(xiàng)的正確性【詳解】當(dāng)時(shí)，表示一條線段，且線段經(jīng)過(guò)、當(dāng)時(shí)，表示一段拋物線，如圖所示：由于的圖象可由的圖象向右平移一個(gè)單位得到，故A正確；由于的圖象可由的圖象關(guān)于軸對(duì)稱后得到的，故B正確；由于的值域?yàn)?，故，故的圖象可與的圖象完全相同，故C正確；由于是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故當(dāng)時(shí)，它的圖象和的圖象相同，當(dāng)時(shí)的圖象，只要把在軸右側(cè)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱即可得到，且圖象過(guò)原點(diǎn)，故D不正確故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象特征以及圖象的變

7、化規(guī)律，熟練掌握函數(shù)圖象的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題10.函數(shù)有零點(diǎn)的區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求函數(shù)的定義域，再利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理求解判斷即可【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋以诙x域上連續(xù)遞增，而，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，注意認(rèn)真計(jì)算，屬基礎(chǔ)題11.已知函數(shù)，在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)恒增，列出不等式組，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在上是增函數(shù)，所以有，解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查由分段函數(shù)單調(diào)求參數(shù)的問(wèn)題，只需考慮每

8、一段的單調(diào)性，以及結(jié)點(diǎn)處的大小即可，屬于?？碱}型.12.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】D【解析】【分析】先由和得，化簡(jiǎn)得，令，利用函數(shù)性質(zhì)將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為且，求解的范圍，最后求出最值【詳解】，即為，化簡(jiǎn)，設(shè)，則的圖象為開口向上的拋物線，若對(duì)任意的，恒成立，只需函數(shù)在兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值非正即可，即，配方得，則，此時(shí)，即為，即，解得，又，則的最大值為4故選：D【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求解不等式恒成立問(wèn)題，是一種重要的方法，屬中檔題第卷（非選擇題 共90分）二、填空題：（本大題共4小題，每

9、小題5分，共20分，答案填在卷答題卡上）13.函數(shù)的定義域是 【答案】【解析】試題分析：要使函數(shù)有意義，需滿足，定義域?yàn)榭键c(diǎn)：函數(shù)定義域點(diǎn)評(píng)：函數(shù)定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍或題目中指定的自變量的范圍14.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，寫出分段函數(shù)的解析式_【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論【詳解】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，若，則，即當(dāng)時(shí)，即，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)奇偶性的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題15.已知，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_.【答案】3【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，借助圖象分析函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得答案【詳解】函數(shù)

10、的圖象如下圖所示：結(jié)合圖象分析：，則，則或；對(duì)于，存在兩個(gè)解；對(duì)于，存在1個(gè)解，綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè).故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，分段函數(shù)的圖象，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)D象的辨析和應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬中檔題16.函數(shù)的定義域?yàn)锳,若且時(shí)總有,則稱為單函數(shù).例如,函數(shù)是單函數(shù).下列命題:函數(shù)是單函數(shù);函數(shù)是單函數(shù);若為單函數(shù),且,則;若函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上具有單調(diào)性,則一定是單函數(shù).其中真命題是 (寫出所有真命題的編號(hào)).【答案】【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)單函數(shù)的定義可知如果函數(shù)為單函數(shù)，則函數(shù)在其定義域上一定是單調(diào)遞增

11、或單調(diào)遞減函數(shù)，即該函數(shù)為一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，據(jù)此分析可知不是，因?yàn)樵摱魏瘮?shù)先減后增；不是，因?yàn)樵摵瘮?shù)是先減后增；顯然的說(shuō)法也不對(duì)，故真命題是.考點(diǎn)：新定義、函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的分析、理解能力.三、解答題：（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程，答案填在卷答題卡上）17.計(jì)算：（1）；（2）【答案】（1）1；（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和平方差公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】（1）原式；（2）原式【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，注意根式與指數(shù)式的關(guān)系，要求學(xué)生認(rèn)真計(jì)算，仔細(xì)檢查，屬基礎(chǔ)題.18.已知集合，.（1）若

12、，求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）;（2）.【解析】試題分析：本題考查集合間的基本關(guān)系與運(yùn)算,一元二次不等式.求得,(1)當(dāng)時(shí),；(2) ,且,解得.試題解析：（1）由，解得,所以集合,當(dāng)時(shí)，集合,所以.（2）,因?yàn)?，所?所以.19.設(shè)，其中實(shí)常數(shù).（1）求函數(shù)的定義域和值域；（2）已知為奇函數(shù)，求.【答案】（1）定義域?yàn)椋涤?；?）.【解析】【分析】（1）恒成立，函數(shù)的定義域?yàn)椋缓髮?duì)進(jìn)行變形整理可得，又，由此可求出函數(shù)的值域；（2）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，由此可求出，最后再驗(yàn)證時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)即可.【詳解】（1）恒成立，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，即函數(shù)的值域?yàn)?；?），為奇函數(shù)，則，即，等

13、式恒成立，故.反之，若，易證此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義和性質(zhì)，著重考查學(xué)生的計(jì)算求解能力和邏輯推理能力，屬中檔題.20.設(shè)函數(shù)，且（1）若，求值；（2）求函數(shù)的最大值與最小值及與之對(duì)應(yīng)的的值【答案】（1）；（2）答案不唯一，見解析【解析】【分析】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)變形整理可得，結(jié)合可得，即或，又，由此可求得結(jié)果；（2）令，由（1）得，令，結(jié)合t的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)，則，整理得，即或，又，則；（2）令，由（1）得，函數(shù)，又，令，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型二次函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，著重考查學(xué)生的計(jì)算求解能力和轉(zhuǎn)化

14、與化歸的能力，復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題一般采用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬中檔題.21.設(shè)為奇函數(shù)，為常數(shù)（1）求證：是上的增函數(shù)；（2）若對(duì)于區(qū)間上的每一個(gè)值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得，即，則令，得到的根必為相反數(shù)，從而求出a，再根據(jù)定義法證明是上的增函數(shù)即可；（2）由題意知，時(shí)恒成立，令，根據(jù)單調(diào)性的運(yùn)算可判斷的單調(diào)性，從而求出最值.【詳解】（1）是奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，得令，得，解得，令，設(shè)任意，且，則，即是減函數(shù)，又為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；（2）由題意知，時(shí)恒成立，令，由（2）知在上為增函數(shù)，又在上也是增函

15、數(shù)，故在上為增函數(shù)，的最小值為，故實(shí)數(shù)的范圍是【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性和恒成立問(wèn)題，著重考查學(xué)生的邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化與化歸的能力，恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，屬中檔題.22.定義在上的函數(shù)滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，（1）判斷的奇偶性并證明；（2）判斷的單調(diào)性，并求當(dāng)時(shí)，的最大值及最小值；（3）解關(guān)于不等式.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）在上是減函數(shù)最大值為6，最小值為-6； （3）答案不唯一，見解析【解析】【分析】（1）令，求出，再令，由奇偶性的定義，即可判斷；（2）任取，則由已知得，再由奇函數(shù)的定義和已知即可判斷單調(diào)性，由，得到，再由單調(diào)性即可得到最值；（3）將原不等式轉(zhuǎn)化為，再由單調(diào)性，即得，即，再對(duì)b討論，分，共5種情況分別求出它們的解集即可.【詳解】（1）令，則，