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1、第三章第一節(jié):不等關(guān)系與不等式導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo):1了解不等式的實(shí)際應(yīng)用及不等式的重要地位和作用;2掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系,學(xué)會(huì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小學(xué)習(xí)重點(diǎn):比較兩實(shí)數(shù)大小 學(xué)習(xí)難點(diǎn):差值比較法:作差變形判斷差值的符號(hào)學(xué)法指導(dǎo):人與人的年齡大小、高矮胖瘦,物與物的形狀結(jié)構(gòu),事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系,這表明現(xiàn)實(shí)世界中的量,不等是普遍的、絕對(duì)的,而相等則是局部的、相對(duì)的研究不等關(guān)系,反映在數(shù)學(xué)上就是證明不等式與解不等式實(shí)數(shù)的差的正負(fù)與實(shí)數(shù)的大小的比較有著密切關(guān)系,這種關(guān)系是本章內(nèi)容的基礎(chǔ),也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)因此,本節(jié)課我們有必要來(lái)研究探討實(shí)數(shù)的運(yùn)算性
2、質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系知識(shí)鏈接:在日常生活中,我們經(jīng)??吹较铝袠?biāo)志:?jiǎn)栴}1:你知道各圖中的標(biāo)志有何作用?其含義是什么嗎?提示:最低限速:限制行駛時(shí)速v不得低于50公里;限制質(zhì)量:裝載總質(zhì)量G不得超過(guò)10 t;限制高度:裝載高度h不得超過(guò)3.5米;限制寬度:裝載寬度a不得超過(guò)3米;時(shí)間范圍:t7.5,10問(wèn)題2:你能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎?如何表示?提示:v50;G10;h3.5;a3;7.5t10.自主學(xué)習(xí):不等式的概念我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“”、“”、“”、“”、“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式,以表示它們之間的不等關(guān)系含有這些不等號(hào)的式子叫做不等式化解疑難1不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系,可用符號(hào)“”“”“”“
3、”“”表示,而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系,可用“ab”“ab”“ab”“ab”“ab”等式子表示,不等關(guān)系是可以通過(guò)不等式來(lái)體現(xiàn)的。2不等式中文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換文字語(yǔ)言大于,高于,超過(guò)小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不多于,不超過(guò)符號(hào)語(yǔ)言提出問(wèn)題實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示,數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù),且右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大問(wèn)題1:怎樣判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b的大小?提示:若ab是正數(shù),則ab;若ab是負(fù)數(shù),則abab0ababb,bc,則ac,對(duì)嗎?為什么?提示:正確ab,bc,ab0,bc0.(ab)(bc)0.即ac0.ac.問(wèn)題2:若ab
4、,則acbc,對(duì)嗎?為什么?提示:正確ab,ab0,acbc0即acbc.問(wèn)題3:若ab,則acbc,對(duì)嗎?試舉例說(shuō)明提示:不一定正確,若a2,b1,c2正確c2時(shí)不正確導(dǎo)入新知不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性:abbb,bcac;(3)可加性:abacbc.推論(同向可加性):acbd;(4)可乘性:acbc;acbd;(5)正數(shù)乘方性:ab0anbn(nN*,n1);(6)正數(shù)開方性:ab0(nN*,n2)化解疑難1在應(yīng)用不等式時(shí),一定要搞清它們成立的前提條件不可強(qiáng)化或弱化成立的條件2要注意“箭頭”是單向的還是雙向的,也就是說(shuō)每條性質(zhì)是否具有可逆性合作探究:例1某礦山車隊(duì)有4輛載重為10 t的甲型
5、卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車,有9名駕駛員此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次,乙型卡車每輛每天可往返8次,寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式解設(shè)每天派出甲型卡車x輛,乙型卡車y輛由題意得即類題通法用不等式表示不等關(guān)系的方法(1)認(rèn)真審題,設(shè)出所求量,并確認(rèn)所求量滿足的不等關(guān)系(2)找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞:“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過(guò)”“不超過(guò)”等用代數(shù)式表示相應(yīng)各量,并用關(guān)鍵詞連接特別需要考慮的是“”“”中的“”能否取到活學(xué)活用1用不等式(組)表示下列問(wèn)題中的不等關(guān)系:(1)限速80 km/h的路標(biāo);(2)橋頭上限重10 噸的標(biāo)志;(3)某
6、酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不多于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p不少于2.3%.解:(1)設(shè)汽車行駛的速度為v km/h,則v80.(2)設(shè)汽車的重量為噸,則10.(3)比較兩數(shù)(式)的大小例2比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。?1)x23與2x;(2)已知a,b為正數(shù),且ab,比較a3b3與a2bab2的大小解(1)(x23)2xx22x32220,x232x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab),a0,b0,且ab,(ab)20,ab0.(a3b3)(a2bab2)0,即a3b3a2bab2.類題通法比較兩
7、個(gè)代數(shù)式大小的步驟(1)作差:對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式子)作差;(2)變形:對(duì)差進(jìn)行變形;(3)判斷差的符號(hào):結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào);(4)作出結(jié)論這種比較大小的方法通常稱為作差比較法其思維過(guò)程:作差變形判斷符號(hào)結(jié)論,其中變形是判斷符號(hào)的前提活學(xué)活用2比較x36x與x26的大小解:(x36x)(x26)x3x26x6x2(x1)6(x1)(x1)(x26)x260.當(dāng)x1時(shí),(x1)(x26)0,即x36xx26.當(dāng)x1時(shí),(x1)(x26)0,即x36xx26.當(dāng)x1時(shí),(x1)(x26)0,即x36xx26.不等式的性質(zhì)例3已知ab0,cd0,e0,求證:.證明cd0,cd
8、0,又ab0,a(c)b(d)0,即acbd0,0,又e0,.類題通法利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上,記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí),應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件,且不可省略條件或跳步推導(dǎo),更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則. 活學(xué)活用3已知ab,mn,p0,求證:napmbp.證明:ab,又p0,apbp.apbp,又mn,即nm.napmbp.典例已知1a4,2b8.試求2a3b與ab的取值范圍解1a4,2b8,22a8,63b2482a3b32.2b8,8
9、b2.又1a4,1(8)a(b)4(2),即7ab2.故2a3b的取值范圍是(8,32),ab的取值范圍是(7,2)【探究一】利用幾個(gè)不等式的范圍來(lái)確定某個(gè)不等式的范圍要注意:同向不等式的兩邊可以相加(相乘),這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形,如果在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化,就有可能擴(kuò)大其取值范圍【探究二】同向不等式具有可加性與可乘性,但是不能相減或相除,應(yīng)用時(shí),要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來(lái)求范圍,注意變形的等價(jià)性在本例條件下,求的取值范圍解2b8,而1a4,1a4,即2.故的取值范圍是(,2)探究三不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù),不等號(hào)方向不變,同乘以一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向改變,求解中,應(yīng)明確所乘數(shù)的正負(fù)
10、例:已知6a8,2b3,求的取值范圍解:因6a8,2b3.,(1)當(dāng)0a8時(shí),04;(2)當(dāng)6a0時(shí),30.由(1)(2)得:34.探究四利用不等式性質(zhì)求范圍,應(yīng)注意減少不等式使用次數(shù)例已知1ab1,1a2b3,求a3b的取值范圍解設(shè)a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b,解得1,2.又(ab),2(a2b),所以a3b1.(注:本題可以利用本章第三節(jié)內(nèi)容求解)達(dá)標(biāo)測(cè)驗(yàn)1完成一項(xiàng)裝修工程,請(qǐng)木工共需付工資每人500無(wú),請(qǐng)瓦工共需付工資每人400元,現(xiàn)有工人工資預(yù)算20 000元,設(shè)木工x人,瓦工y人,則工人滿足的關(guān)系式是()A5x4y200B5x4y200C5x4y200D5x4y
11、200解析:選D據(jù)題意知,500x400y20 000,即5x4y200,故選D.2若x2且y1,則Mx2y24x2y的值與5的大小關(guān)系是()AM5 BM5CM5DM5解析:選AM(5)x2y24x2y5(x2)2(y1)2,x2,y1,(x2)20,(y1)20,因此(x2)2(y1)20.故M5.3如果ab,那么c2a與c2b中較大的是_解析:c2a(c2b)2b2a2(ba)0.答案:c2b4若10ab8,則|a|b的取值范圍是_解析:10a8,0|a|10,又10b8,10|a|b18.答案:(10,18)5(1)已知x1,比較3x3與3x2x1的大?。?2)若1ab0,試比較,a2,
12、b2的大小解:(1)3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(x1)(3x21)x1,x10.又3x210,(x1)(3x21)0,3x33x2x1.(2)1ab0,ab0,a2b20.ab0,ab0,即0,a2b2.達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1設(shè)Mx2,Nx1,則M與N的大小關(guān)系是()AMN BMNCMND與x有關(guān)解析:選AMNx2x1(x)20.MN.2某校對(duì)高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線,專業(yè)成績(jī)x不低于95分,文化課總分y高于380分,體育成績(jī)z超過(guò)45分,用不等式(組)表示就是()A.B.C. D解析:選D由題中x不低于95即x95,y高于380即y380,z超過(guò)45即z
13、45.3若abcd0,且a0,bc,d0,則()Ab0,c0 Bb0,c0Cb0,c0D0cb或cb0解析:選D由a0,d0,且abcd0,知bc0,又bc,0cb或cb0.4設(shè),則2的范圍是()A.BC. D解析:選D02,0,0,由同向不等式相加得到2.5已知:a,b,c,dR,則下列命題中必成立的是()A若ab,cb,則acB若ab,則cacbC若ab,cd,則D若a2b2,則ab解析:選B選項(xiàng)A,若a4,b2,c5,顯然不成立,選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式的條件,如ab0,c0d時(shí),不成立;選項(xiàng)D只有ab0時(shí)才可以否則如a1,b0時(shí)不成立,故選B.二、填空題6比較大?。篴2b2c2_2(ab
14、c)4.解析:a2b2c22(abc)4a2b2c22a2b2c4(a1)2(b1)2(c1)2110,故a2b2c22(abc)4.答案:7已知|a|1,則與1a的大小關(guān)系為_解析:由|a|1,得1a1.1a0,1a0.即01a21,1,1a.答案:1a8某公司有20名技術(shù)人員,計(jì)劃開發(fā)A、B兩類共50件電子器件,每類每件所需人員和預(yù)計(jì)產(chǎn)值如下:產(chǎn)品種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬(wàn)元/件)A類7.5B類6今制定計(jì)劃欲使總產(chǎn)值最高,則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)_件,最高產(chǎn)值為_萬(wàn)元解析:設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件,則開發(fā)B類電子器件(50x)件,則20,解得x20.由題意,得總產(chǎn)值y7.5x6(50x)3001.5x330,當(dāng)且僅當(dāng)x20時(shí),y取最大值330.所以應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件,能使產(chǎn)值最高,為330萬(wàn)元答案:20330三、解答題9某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃,受下面條件的制約:生產(chǎn)此產(chǎn)品的工人不超過(guò)200人;每個(gè)工人的年工作時(shí)
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