湖北省荊州市沙市第五中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第三章 第一節(jié) 不等關(guān)系與不等式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版必修5（通用）

1、第三章第一節(jié)：不等關(guān)系與不等式導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解不等式的實(shí)際應(yīng)用及不等式的重要地位和作用；2掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小學(xué)習(xí)重點(diǎn)：比較兩實(shí)數(shù)大小 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：差值比較法：作差變形判斷差值的符號(hào)學(xué)法指導(dǎo)：人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、絕對(duì)的，而相等則是局部的、相對(duì)的研究不等關(guān)系，反映在數(shù)學(xué)上就是證明不等式與解不等式實(shí)數(shù)的差的正負(fù)與實(shí)數(shù)的大小的比較有著密切關(guān)系，這種關(guān)系是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)因此，本節(jié)課我們有必要來(lái)研究探討實(shí)數(shù)的運(yùn)算性

2、質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系知識(shí)鏈接：在日常生活中，我們經(jīng)?？吹较铝袠?biāo)志：?jiǎn)栴}1：你知道各圖中的標(biāo)志有何作用？其含義是什么嗎？提示：最低限速：限制行駛時(shí)速v不得低于50公里；限制質(zhì)量：裝載總質(zhì)量G不得超過(guò)10 t；限制高度：裝載高度h不得超過(guò)3.5米；限制寬度：裝載寬度a不得超過(guò)3米；時(shí)間范圍：t7.5,10問(wèn)題2：你能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？如何表示？提示：v50；G10；h3.5；a3；7.5t10.自主學(xué)習(xí)：不等式的概念我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“”、“”、“”、“”、“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系含有這些不等號(hào)的式子叫做不等式化解疑難1不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“”“”“”“

3、”“”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“ab”“ab”“ab”“ab”“ab”等式子表示，不等關(guān)系是可以通過(guò)不等式來(lái)體現(xiàn)的。2不等式中文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換文字語(yǔ)言大于，高于，超過(guò)小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不多于，不超過(guò)符號(hào)語(yǔ)言提出問(wèn)題實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，且右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大問(wèn)題1：怎樣判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b的大小？提示：若ab是正數(shù)，則ab；若ab是負(fù)數(shù)，則abab0ababb，bc，則ac，對(duì)嗎？為什么？提示：正確ab，bc，ab0，bc0.(ab)(bc)0.即ac0.ac.問(wèn)題2：若ab

4、，則acbc，對(duì)嗎？為什么？提示：正確ab，ab0，acbc0即acbc.問(wèn)題3：若ab，則acbc，對(duì)嗎？試舉例說(shuō)明提示：不一定正確，若a2，b1，c2正確c2時(shí)不正確導(dǎo)入新知不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc.推論(同向可加性)：acbd；(4)可乘性：acbc；acbd；(5)正數(shù)乘方性：ab0anbn(nN*，n1)；(6)正數(shù)開方性：ab0(nN*，n2)化解疑難1在應(yīng)用不等式時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件不可強(qiáng)化或弱化成立的條件2要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說(shuō)每條性質(zhì)是否具有可逆性合作探究：例1某礦山車隊(duì)有4輛載重為10 t的甲型

5、卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式解設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛由題意得即類題通法用不等式表示不等關(guān)系的方法(1)認(rèn)真審題，設(shè)出所求量，并確認(rèn)所求量滿足的不等關(guān)系(2)找出體現(xiàn)不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超過(guò)”“不超過(guò)”等用代數(shù)式表示相應(yīng)各量，并用關(guān)鍵詞連接特別需要考慮的是“”“”中的“”能否取到活學(xué)活用1用不等式(組)表示下列問(wèn)題中的不等關(guān)系：(1)限速80 km/h的路標(biāo)；(2)橋頭上限重10 噸的標(biāo)志；(3)某

6、酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不多于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p不少于2.3%.解：(1)設(shè)汽車行駛的速度為v km/h，則v80.(2)設(shè)汽車的重量為噸，則10.(3)比較兩數(shù)(式)的大小例2比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。?1)x23與2x；(2)已知a，b為正數(shù)，且ab，比較a3b3與a2bab2的大小解(1)(x23)2xx22x32220，x232x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)，a0，b0，且ab，(ab)20，ab0.(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.類題通法比較兩

7、個(gè)代數(shù)式大小的步驟(1)作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)數(shù)(或式子)作差；(2)變形：對(duì)差進(jìn)行變形；(3)判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)；(4)作出結(jié)論這種比較大小的方法通常稱為作差比較法其思維過(guò)程：作差變形判斷符號(hào)結(jié)論，其中變形是判斷符號(hào)的前提活學(xué)活用2比較x36x與x26的大小解：(x36x)(x26)x3x26x6x2(x1)6(x1)(x1)(x26)x260.當(dāng)x1時(shí)，(x1)(x26)0，即x36xx26.當(dāng)x1時(shí)，(x1)(x26)0，即x36xx26.當(dāng)x1時(shí)，(x1)(x26)0，即x36xx26.不等式的性質(zhì)例3已知ab0，cd0，e0，求證：.證明cd0，cd

8、0，又ab0，a(c)b(d)0，即acbd0，0，又e0，.類題通法利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則. 活學(xué)活用3已知ab，mn，p0，求證：napmbp.證明：ab，又p0，apbp.apbp，又mn，即nm.napmbp.典例已知1a4,2b8.試求2a3b與ab的取值范圍解1a4,2b8，22a8,63b2482a3b32.2b8，8

9、b2.又1a4，1(8)a(b)4(2)，即7ab2.故2a3b的取值范圍是(8,32)，ab的取值范圍是(7,2)【探究一】利用幾個(gè)不等式的范圍來(lái)確定某個(gè)不等式的范圍要注意：同向不等式的兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍【探究二】同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時(shí)，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來(lái)求范圍，注意變形的等價(jià)性在本例條件下，求的取值范圍解2b8，而1a4，1a4，即2.故的取值范圍是(，2)探究三不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，求解中，應(yīng)明確所乘數(shù)的正負(fù)

10、例：已知6a8,2b3，求的取值范圍解：因6a8,2b3.，(1)當(dāng)0a8時(shí)，04；(2)當(dāng)6a0時(shí)，30.由(1)(2)得：34.探究四利用不等式性質(zhì)求范圍，應(yīng)注意減少不等式使用次數(shù)例已知1ab1,1a2b3，求a3b的取值范圍解設(shè)a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b，解得1，2.又(ab)，2(a2b)，所以a3b1.(注：本題可以利用本章第三節(jié)內(nèi)容求解)達(dá)標(biāo)測(cè)驗(yàn)1完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工共需付工資每人500無(wú)，請(qǐng)瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則工人滿足的關(guān)系式是()A5x4y200B5x4y200C5x4y200D5x4y

11、200解析：選D據(jù)題意知，500x400y20 000，即5x4y200，故選D.2若x2且y1，則Mx2y24x2y的值與5的大小關(guān)系是()AM5 BM5CM5DM5解析：選AM(5)x2y24x2y5(x2)2(y1)2，x2，y1，(x2)20，(y1)20，因此(x2)2(y1)20.故M5.3如果ab，那么c2a與c2b中較大的是_解析：c2a(c2b)2b2a2(ba)0.答案：c2b4若10ab8，則|a|b的取值范圍是_解析：10a8，0|a|10，又10b8，10|a|b18.答案：(10,18)5(1)已知x1，比較3x3與3x2x1的大?。?2)若1ab0，試比較，a2，

12、b2的大小解：(1)3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(x1)(3x21)x1，x10.又3x210，(x1)(3x21)0，3x33x2x1.(2)1ab0，ab0，a2b20.ab0，ab0，即0，a2b2.達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1設(shè)Mx2，Nx1，則M與N的大小關(guān)系是()AMN BMNCMND與x有關(guān)解析：選AMNx2x1(x)20.MN.2某校對(duì)高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績(jī)x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績(jī)z超過(guò)45分，用不等式(組)表示就是()A.B.C. D解析：選D由題中x不低于95即x95，y高于380即y380，z超過(guò)45即z

13、45.3若abcd0，且a0，bc，d0，則()Ab0，c0 Bb0，c0Cb0，c0D0cb或cb0解析：選D由a0，d0，且abcd0，知bc0，又bc，0cb或cb0.4設(shè)，則2的范圍是()A.BC. D解析：選D02，0，0，由同向不等式相加得到2.5已知：a，b，c，dR，則下列命題中必成立的是()A若ab，cb，則acB若ab，則cacbC若ab，cd，則D若a2b2，則ab解析：選B選項(xiàng)A，若a4，b2，c5，顯然不成立，選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如ab0，c0d時(shí)，不成立；選項(xiàng)D只有ab0時(shí)才可以否則如a1，b0時(shí)不成立，故選B.二、填空題6比較大?。篴2b2c2_2(ab

14、c)4.解析：a2b2c22(abc)4a2b2c22a2b2c4(a1)2(b1)2(c1)2110，故a2b2c22(abc)4.答案：7已知|a|1，則與1a的大小關(guān)系為_解析：由|a|1，得1a1.1a0,1a0.即01a21，1，1a.答案：1a8某公司有20名技術(shù)人員，計(jì)劃開發(fā)A、B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員和預(yù)計(jì)產(chǎn)值如下：產(chǎn)品種類每件需要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬(wàn)元/件)A類7.5B類6今制定計(jì)劃欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)_件，最高產(chǎn)值為_萬(wàn)元解析：設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)B類電子器件(50x)件，則20，解得x20.由題意，得總產(chǎn)值y7.5x6(50x)3001.5x330，當(dāng)且僅當(dāng)x20時(shí)，y取最大值330.所以應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件，能使產(chǎn)值最高，為330萬(wàn)元答案：20330三、解答題9某化工廠制定明年某產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，受下面條件的制約：生產(chǎn)此產(chǎn)品的工人不超過(guò)200人；每個(gè)工人的年工作時(shí)