遼寧省大連市旅順口區(qū)2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）（通用）

1、2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試試題一、選擇題：（本大題共12小題，每題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）1.已知集合，則()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】集合交集是兩個(gè)集合的公共元素，由此求得兩個(gè)集合的交集.【詳解】?jī)蓚€(gè)集合的交集為集合的公共元素，故.所以選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個(gè)集合的交集.交集是兩個(gè)集合的公共元素組成.屬于基礎(chǔ)題.2.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A不正確；因?yàn)楹癁楹瘮?shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B不正確；

2、函數(shù)的圖象拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是軸，所以此函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，選項(xiàng)C正確；函數(shù)雖然是偶函數(shù)，但是此函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以選項(xiàng)D不正確；故選C?？键c(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性；2、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)； 3函數(shù)的圖象。3.下列四個(gè)命題中的真命題是()A. xR，x231 C. xZ，使 D. xQ，x23【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)、特殊值對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析，進(jìn)行排除，得出正確選項(xiàng).【詳解】由于，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)，故選項(xiàng).由于，不是有理數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故本題選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題真假性判斷，只要舉出反例就可以判斷為假命題

3、.屬于基礎(chǔ)題.4.已知集合，若中只有一個(gè)元素，則的值是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，滿足題意。當(dāng)時(shí)，要使集合中只有一個(gè)元素，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，解得。綜上可得或。選C。5.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A. B. C. D. ，【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的定義、對(duì)應(yīng)法則和值域，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，由此得出正確結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋皇峭缓瘮?shù). 對(duì)于B選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，不是同一函?shù).對(duì)于C選項(xiàng)，是同一函數(shù).對(duì)于D選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，不是同一函?shù).故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域

4、、值域、對(duì)應(yīng)法則等概念，這是函數(shù)的三要素.屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋?）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)?，求得的定義域，結(jié)合分母可求得所求函數(shù)定義域.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋詫?duì)于，有，結(jié)合分母可求函數(shù)的定義域?yàn)?【點(diǎn)睛】本小題主要考查了函數(shù)定義域的求法.主要考查分式分母不為零，以及復(fù)合函數(shù)定義域的求法.屬于基礎(chǔ)題.7.已知，則()A. 36 B. 26 C. 16 D. 4【答案】C【解析】【分析】令，求得對(duì)應(yīng)的值，代入函數(shù)解析式中，由此求得函數(shù)值.【詳解】令，解得，故.所以選C.【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，考查利用函數(shù)的解析

5、式求函數(shù)值的基本方法，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，函數(shù)存在零點(diǎn)的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通過(guò)計(jì)算，利用來(lái)判斷得零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】，故零點(diǎn)所在區(qū)間為，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查零點(diǎn)存在性定理，即在區(qū)間上，若區(qū)間上有零點(diǎn).屬于基礎(chǔ)題.9.下列敘述中正確的是( )A. 若a，b，cR，則“ax2bxc0”的充分條件是“b24ac0”B. 若a，b，cR，則“ab2cb2”的充要條件是“ac”C. 命題“對(duì)任意xR，有x20”的否定是“存在xR，有x20”D. 若p：x3，q：1x3，則p是q成立的必要不充分條件【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A,

6、B,D選項(xiàng)，利用充要條件的概念進(jìn)行判斷.對(duì)于C選項(xiàng)，用全稱(chēng)命題的否定來(lái)判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，不是恒成立，不是充分條件，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，不能推出，不是充分條件，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，并且要否定結(jié)論，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，由于，故是的必要不充分條件，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充要條件的判斷，考查全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題.對(duì)于充要條件本身的定義來(lái)說(shuō)，則是的充分條件，是的必要條件.也可以通過(guò)包含關(guān)系來(lái)確定，當(dāng)時(shí)，是的充分不必要條件，是的必要不充分條件.全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，要注意否定結(jié)論.10.已知函數(shù)，則的值是（ ）A. 2 B. 3 C. 5 D. 7【答案】D【解析】1

7、1.函數(shù)的圖象大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?。?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。，其圖象如選項(xiàng)B所示。選B。12.若對(duì)于任意，都有成立，則的范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,不等式恒成立等價(jià)于對(duì)于任意恒成立。，。，解得。的范圍是。選C。點(diǎn)睛：（1）對(duì)于函數(shù)中的恒成立問(wèn)題，解題時(shí)一般選擇分離參數(shù)的方法，將參數(shù)分離后轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問(wèn)題處理；（2）恒成立， 恒成立。當(dāng)函數(shù)的最值不存在時(shí)，可用函數(shù)值域的端點(diǎn)值代替，但要注意得到的不等式中等號(hào)能否取得。二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）13.不等式的解集是_.【答案

8、】【解析】【分析】將移動(dòng)到不等式的左邊，通分后利用分式不等式的解法來(lái)求得不等式的解集.【詳解】原不等式可化為，解得或.【點(diǎn)睛】本小題考查分式不等式的解法，要記住把分式不等式一邊化為，再來(lái)解不等式，屬于基礎(chǔ)題.14.已知全集U=0，1，2，3，4，5，,，,則用列舉法表示集合A=_.【答案】1,2【解析】【分析】根據(jù)知，集合有，集合沒(méi)有.根據(jù)可知，集合沒(méi)有，集合沒(méi)有，再根據(jù)，即可解得集合.【詳解】根據(jù)知，集合有，集合沒(méi)有.根據(jù)可知，集合沒(méi)有，集合沒(méi)有.由于，所以集合.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合子集、交集、并集、全集和補(bǔ)集的概念.根據(jù)集合有關(guān)概念，容易求得集合的元素，屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)（且

9、）恒過(guò)定點(diǎn)，則_.【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域與沒(méi)有關(guān)系，由此求得恒過(guò)的定點(diǎn)，并求得表達(dá)式的值.【詳解】當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)值域與沒(méi)有關(guān)系，此時(shí)，故函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，即，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)函數(shù)橫過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)為的時(shí)候，由此求得恒過(guò)的定點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.16.數(shù)學(xué)老師給出一個(gè)函數(shù)，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)各說(shuō)出了這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)甲：在上函數(shù)單調(diào)遞減；乙：在上函數(shù)單調(diào)遞增；丙：在定義域R上函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)；?。翰皇呛瘮?shù)的最小值. 老師說(shuō)：你們四個(gè)同學(xué)中恰好有三個(gè)人說(shuō)的正確. 那么，你認(rèn)為_(kāi)說(shuō)的是錯(cuò)誤.【答案】乙【解析】如果甲、乙兩個(gè)同學(xué)回答正確，在上函數(shù)單調(diào)遞增

10、；丙說(shuō)“在定義域上函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)”錯(cuò)誤，此時(shí)是函數(shù)的最小值，所以丁的回答也是錯(cuò)誤的，與“四個(gè)同學(xué)中怡好有三個(gè)人說(shuō)的正確”矛盾，所以只有乙回答錯(cuò)誤，故答案為乙. 三、解答題（本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.計(jì)算下列各式的值：（）；（）.【答案】(I);(II).【解析】【分析】（I）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)表達(dá)式求得結(jié)果過(guò).（II）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)表達(dá)式求得結(jié)果.【詳解】（I）原式 .（II）原式 .【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)的運(yùn)算公式，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式.指數(shù)運(yùn)算公式包括：，等.主要化簡(jiǎn)方法是將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，將大的數(shù)變?yōu)樾〉臄?shù)的指數(shù)形式，小

11、數(shù)變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn).不同底數(shù)的指數(shù)沒(méi)有加法的公式.屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè)全集，集合， （）求； （）若集合，且，求的取值范圍.【答案】（1）;（2）.【解析】試題分析：（1）由題意求得，然后根據(jù)集合的運(yùn)算的定義求解即可；（2）由可得，由此可得關(guān)于的不等式，解不等式可得。試題解析：（1）由得，解得，。又 （2）由題意得，解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為。19.設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x24ax3a20；命題q：實(shí)數(shù)x滿足x25x60.（）若a1，且p、q均為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（）若是成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(I) ；（II）.【解析】【分析】（I）當(dāng)時(shí)，由于均為真命題，所以求

12、得的解集，再取交集得到的取值范圍.（II）是成立的必要不充分條件，則是的必要不充分條件，由此列不等式組，求得的取值范圍.【詳解】（I）當(dāng)時(shí)，由于均為真命題，命題：，命題：，取兩個(gè)的交集得到.（II）是成立的必要不充分條件，則是的必要不充分條件，即 ，故，解得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查命題真假性的判斷及集合交集，考查充要條件的判斷以及子集.屬于中檔題.20.如圖所示，定義域?yàn)樯系暮瘮?shù)是由一條射線及拋物線的一部分組成.利用該圖提供的信息解決下面幾個(gè)問(wèn)題.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于的方程有三個(gè)不同解，求的取值范圍；（3）若，求的取值集合.【答案】（1）.;（2）;（3）.

13、【解析】試題分析：（1）由圖象可知，當(dāng)時(shí)，為一次函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是二次函數(shù)，分別用待定系數(shù)法求解析式；（2）當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可以得到當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，即方程有三個(gè)不同解；（3）分和兩種情況分別解方程即可。試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)，設(shè)其解析式為，點(diǎn)和在函數(shù)圖象上，解得當(dāng)時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，設(shè)其解析式為，點(diǎn)在函數(shù)圖象上， 解得綜上.（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，。結(jié)合圖象可得若方程有三個(gè)不同解，則。實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）當(dāng)時(shí)，由得解得 ；當(dāng)時(shí)，由得，整理得解得或（舍去）綜上得滿足的的取值集合是.21.國(guó)際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉已知某種鉆石的價(jià)值(美元)與其重量(克拉)的平

14、方成正比，且一顆重為3克拉的該鉆石的價(jià)值為54 000美元（1）寫(xiě)出鉆石的價(jià)值y關(guān)于鉆石重量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為m克拉和n克拉，試求：當(dāng)為何值時(shí)，價(jià)值損失的百分率最大 (注：價(jià)值損失的百分率；在切割過(guò)程中的重量損耗忽略不計(jì))【答案】(1);(2)時(shí)，損失百分率最大.【解析】【分析】（1）根據(jù)鉆石的價(jià)值(美元)與其重量(克拉)的平方成正比，設(shè)出關(guān)系式，利用克拉時(shí)的價(jià)值，求得的值為，由此求得關(guān)系式為.（2）分別利用（1）求得的關(guān)系式寫(xiě)出原有價(jià)值和現(xiàn)有價(jià)值，通過(guò)計(jì)算價(jià)值損失百分率，利用基本不等式求得當(dāng)為何值時(shí)，價(jià)值損失的百分率的最大值.【詳解】(1)

15、由題意可設(shè)價(jià)值與重量的關(guān)系式為：ykx2，3克拉的價(jià)值是54000美元，54 000k32，解得：k6 000，y6 000x2，答：此鉆石的價(jià)值與重量的函數(shù)關(guān)系式為y6 000x2.(2)若兩顆鉆石的重量為m、n克拉，則原有價(jià)值是6 000(mn)2，現(xiàn)有價(jià)值是6 000m26 000n2，價(jià)值損失的百分率當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào)當(dāng)時(shí)，價(jià)值損失的百分率最大.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查利用基本不等式求實(shí)際問(wèn)題的最大值.屬于中檔題.22.已知：函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都有成立，且.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）已知,設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，是單調(diào)函數(shù).如果滿足成立的的集合記為，滿足成立的的集合記為，求為全集）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）對(duì)抽象函數(shù)滿足的函數(shù)值關(guān)系的理解和把握是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵，對(duì)自變量適當(dāng)?shù)馁x值可以解決該問(wèn)題，結(jié)合已知條件可以賦求出；（2）在（1）基礎(chǔ)上賦值可以實(shí)現(xiàn)求解的解析式的問(wèn)題；（3）利用（2）中求得的函數(shù)的解析式，結(jié)合恒成立問(wèn)題的求解策略，即轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二次函數(shù)最值問(wèn)題求出集合，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解策略求出