2020學(xué)年海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺題稿09515最新版（通用）

1、數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺題說明：查漏補(bǔ)缺題是在海淀的五次統(tǒng)練基礎(chǔ)上的補(bǔ)充，絕非猜題押寶，每道題的選擇都有其選題意圖，有的側(cè)重知識(shí)、有的側(cè)重方法、有的側(cè)重題型、有的側(cè)重選題內(nèi)容，請老師根據(jù)選題意圖，有所選擇、有所側(cè)重地訓(xùn)練學(xué)生.最后階段的復(fù)習(xí)，應(yīng)是梳理知識(shí)、梳理解題方法的基礎(chǔ)上查漏補(bǔ)缺.三角函數(shù)1、在中，、所對的邊長分別是、.滿足.（1）求的大小；（2）求的最大值.解：（1）由正弦定理及得， . 在中， ，即. 又，. .（2）由（1）得，即. ，. 當(dāng)時(shí)，取得最大值.命題意圖：在已知邊角關(guān)系中既有邊又有角的等式，一般要進(jìn)行邊角統(tǒng)一，邊化角常用正弦定理，角化邊常用正弦、余弦定理；熟練掌握的變形；另外對于函數(shù)

2、的圖象和性質(zhì)要掌握好;已知三角函數(shù)值求角時(shí)，一定要注意角的取值范圍，注意細(xì)節(jié).2、已知.（1）求的對稱軸方程；（2）將函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，求的最小值.解：（1） 由得. 的對稱軸方程為. （2）由題意可設(shè)則又因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，則有，即.所以當(dāng)時(shí)，命題意圖：對于三角公式，重中之重是倍角公式、降冪公式及輔助角公式.如果三角函數(shù)解答題要求單調(diào)性、對稱性、周期等，一般暗示著“化一”的過程，即通過恒等變形把函數(shù)化為；另外會(huì)從“數(shù)”和“形”兩方面來分析這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)和幾何特點(diǎn),即以圖引導(dǎo)思維；注意平移問題的處理，如函數(shù)平移，按向量平移，曲線的平移問題.提示：要求學(xué)

3、生記清誘導(dǎo)公式，“特殊角”的三角函數(shù)值.數(shù)列1、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（）求通項(xiàng)公式；（）設(shè),求證：. 證明：（）, . 又, 是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列且. （）時(shí)，, 時(shí)， . 故. （） .命題意圖：數(shù)列既是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).掌握好等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，能用概念判斷是否為等差、等比數(shù)列.常見考點(diǎn)：與的關(guān)系（注意討論）；遞推猜想數(shù)學(xué)歸納法證明；迭加；迭乘；裂項(xiàng)求和；錯(cuò)位相減等；數(shù)列不等式證明中注意放縮法的運(yùn)用.2、無窮數(shù)列滿足：（為常數(shù)）.（1）若且數(shù)列為等比數(shù)列，求；（2）已知，若，求；（3）若存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，求證：存在正整

4、數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有解：（）由為等比數(shù)列，知與無關(guān)，故.當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.（）當(dāng)時(shí)，.取為，累乘得:（）.當(dāng)時(shí)，.而，（）當(dāng)時(shí)，說明異號(hào)，此時(shí)不存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有.當(dāng)時(shí)，必存在正整數(shù)（取大于的正整數(shù)即可），使得當(dāng)時(shí)，有，即存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有；因?yàn)榇嬖谡麛?shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，取為與的較大者，則必存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，.存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有命題意圖：數(shù)列中涉及恒成立或存在性的問題，往往和最大（?。┲导皢握{(diào)性有關(guān)，常見做法是用和進(jìn)行作差、作商、比較或構(gòu)造函數(shù)來判斷；通過本題的練習(xí)，希望學(xué)生能根據(jù)題目的條件和結(jié)論獲取信息，抓住特點(diǎn)，進(jìn)行代數(shù)推理論證；本題第（3）

5、問也可用反證法說明，解題中要重視它的運(yùn)用.立體幾何1、在直平行六面體中，是菱形，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成角的大小.證明：（1）連接交于，連結(jié).在平行四邊形中，四邊形為平行四邊形. .平面，平面，平面.（2）在直平行六面體中，平面，.四邊形為菱形，.，平面，平面，平面.平面，平面平面.（3）過作交于.平面平面，平面平面，平面.為在平面上的射影.是與平面所成的角.設(shè)，在菱形中，.在Rt中，.，.（3）解法二：連交于，分別以,所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)，在菱形中，,.則（0，0），（0，0），（1，0，2），（0，0，2）.（0，2）

6、，（1，2）.設(shè)平面的法向量（，），則.令，則.（0，）.設(shè)與平面所成的角為.命題意圖：熟悉立體幾何中常見問題及處理方法，要求學(xué)生敏銳把握所給圖形特征，制定合理的解決問題策略.立體幾何主要是兩種位置關(guān)系（平行、垂直），兩個(gè)度量性質(zhì)（夾角、距離）.解決問題的方法也有兩種：幾何方法和向量方法.兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，前者難在“找”和“作”的技巧性，后者難在建系和計(jì)算上，究竟用哪種方法，到時(shí)根據(jù)自己的情況決斷.2、如圖，二面角為直二面角，PCB=90, ACB=90，PMBC，直線AM與直線PC所成的角為60，又AC=1,BC=2，PM=1. ()求證：ACBM;()求二面角M-AB-C的正切值；（）求

7、點(diǎn)P到平面ABM的距離.解：（）平面平面，平面,平面平面平面.又平面,.（）取的中點(diǎn)，則連接、平面平面，平面平面，平面，從而平面作于，連結(jié)，則由三垂線定理知從而為二面角的平面角直線與直線所成的角為60， 在中，由勾股定理得在中，在中，在中，故二面角的大小為（）如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，由題意可知，由直線與直線所成的角為60，得即，解得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，取，得.取平面的一個(gè)法向量為則由圖知二面角為銳二面角，故二面角的大小為（）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?所以P點(diǎn)到平面ABM的距離等于N點(diǎn)到平面ABM的距離,，又，由等積可知，解得，P點(diǎn)到平面ABM的距離為.方法二、，

8、所以P點(diǎn)到平面ABM的距離.命題意圖：用綜合法解答立體幾何問題，要注意步驟的規(guī)范性，如求二面角的大小，點(diǎn)到面的距離，要先證明，再計(jì)算.用向量方法解答，要注意兩向量的夾角與所求角的關(guān)系，即相等、互補(bǔ)、互余等，還要注意所求角的范圍，如斜線和平面所成角一定是銳角；要注意“體積法”在處理較難的角與距離問題中的靈活運(yùn)用.注意：立體幾何重在通性、通法的熟練，邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)，計(jì)算準(zhǔn)確上.概率1、理：某自助銀行共有4臺(tái)ATM機(jī)，在某一時(shí)刻A、B、C、D四臺(tái)ATM機(jī)被占用的概率分別為、，設(shè)某一時(shí)刻這家自助銀行被占用的ATM機(jī)的臺(tái)數(shù)為（）如果某客戶只能使用A或B型號(hào)的ATM機(jī)，求該客戶需要等待的概率； （）求至多有三

9、臺(tái)ATM機(jī)被占用的概率；（）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（）設(shè)“如果某客戶只能使用A或B型號(hào)的ATM機(jī)，則該客戶需要等待” 為事件 答：如果某客戶只能使用A或B型號(hào)的ATM機(jī)，該客戶需要等待的概率為.（）設(shè)“至多有三臺(tái)ATM機(jī)被占用” 為事件答：至多有三臺(tái)ATM機(jī)被占用的概率為.（）的可能取值為0，1，2，3，4.,01234.命題意圖：概率主要考查兩個(gè)公式（加法、乘法公式）、兩個(gè)模型（古典概型、貝努里概型）（可以提醒學(xué)生“摸球”問題中的放回與不放回的區(qū)別）.但要注意答題的規(guī)范性，不要只列一個(gè)算術(shù)式子來解答；注意兩個(gè)公式適用的條件，互斥和獨(dú)立；注意兩個(gè)模型的辨別；對于“至多”，“至少”問題，常用

10、對立事件計(jì)算.2、文：某自助銀行共有4臺(tái)ATM機(jī)，在某一時(shí)刻A、B、C、D四臺(tái)ATM機(jī)被占用的概率分別為、.（）如果某客戶只能使用A或B型號(hào)的ATM機(jī)，求該客戶需要等待的概率； （）求至多有三臺(tái)ATM機(jī)被占用的概率；（）求恰有兩臺(tái)ATM機(jī)被占用的概率.解：（）設(shè)“如果某客戶只能使用A或B型號(hào)的ATM機(jī)，則該客戶需要等待” 為事件. .答：如果某客戶只能使用A或B型號(hào)的ATM機(jī)，該客戶需要等待的概率為.（）設(shè)“至多有三臺(tái)ATM機(jī)被占用” 為事件.答：至多有三臺(tái)ATM機(jī)被占用的概率為.（）設(shè)“恰有兩臺(tái)ATM機(jī)被占用” 為事件.答：恰有兩臺(tái)ATM機(jī)被占用的概率為.命題意圖：概率主要考查兩個(gè)公式（加法

11、、乘法公式）、兩個(gè)模型（古典概型、貝努里概型）.但要注意答題的規(guī)范性，不要只列一個(gè)算術(shù)式子來解答；注意兩個(gè)公式適用的條件，互斥和獨(dú)立；注意兩個(gè)模型的辨別；對于“至多”，“至少”問題，常用對立事件計(jì)算.3、小明一家三口都會(huì)下棋.在假期里的每一天，父母都交替與小明下三盤棋，已知小明勝父親的概率是，勝母親的概率是.(1) 如果小明與父親先下，求小明恰勝一盤的概率；(2) 父母與小明約定，只要他在三盤中能至少連勝兩盤，就給他獎(jiǎng)品，那么小明為了獲勝希望更大，他應(yīng)該先與父親下，還是先與母親下？請用計(jì)算說明理由.解：(1) 記“小明在第i盤勝父親”為事件Ai，“小明在第i盤勝母親”為事件Bi， 則，. 所以

12、小明恰勝一盤的概率為 答：小明恰勝一盤的概率為. (2) 若與父親先下，則小明獲勝的概率為 ； 若與母親先下，則小明獲勝的概率為 . , 小明應(yīng)先與父親下.命題意圖：用數(shù)據(jù)說理和決策的意識(shí).通過合理的分類、恰當(dāng)?shù)姆植桨褟?fù)雜事件用相對簡單（或已知概率）事件表示的能力，尤其是對（2）中 劃線部分的理解；還要注意概率和不等式等其它數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯.解析幾何1、已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線的距離是到定點(diǎn)（）的距離的倍.（）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（）如果直線與P點(diǎn)的軌跡有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，求弦AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍.解：（）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意知.即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是.（）聯(lián)立方程組 得：.從而 弦AB的中點(diǎn)

13、坐標(biāo)為：弦AB的線段垂直平分線方程為.所以垂直平分線在y軸上的截距為：，.故弦AB的線段垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍為.命題意圖：對解析幾何兩大基本問題：求軌跡；通過方程研究曲線性質(zhì)進(jìn)行再梳理.軌跡方程的求法一般分為直接法和間接法.直接法的步驟：建系設(shè)點(diǎn)，找等量關(guān)系，列方程，化簡，檢驗(yàn)；間接法的關(guān)鍵是找參數(shù).如果明確說直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，一般是考查判別式與根系關(guān)系的應(yīng)用.取值范圍一般是函數(shù)的值域或不等式（組）的解集.2、已知點(diǎn)分別是直線和的動(dòng)點(diǎn)（在軸的同側(cè)），且的面積為，點(diǎn)滿足.（1）試求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知，過作直線交軌跡于兩點(diǎn)，若，試求的面積.（3）理：已知，矩形的

14、兩個(gè)頂點(diǎn)均在曲線上，試求矩形面積的最小值.解：（1）設(shè)，則由可得因?yàn)榈拿娣e為，所以.得：.所以，點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）顯然為的右焦點(diǎn)，設(shè)其左焦點(diǎn)為.連接，由雙曲線的對稱性可知四邊形為平行四邊形，故.設(shè)，.則由雙曲線定義得： ，即.在中，由余弦定理得： =.兩式作差得：.所以，的面積.（3）（理）當(dāng)直線軸時(shí)，所以，直線的方程為，此時(shí)，矩形面積為.設(shè)直線，代入，消去得：.設(shè)，則由得：.矩形面積.若，顯然，若，則令，故.綜上所述，可知當(dāng)直線軸時(shí)，矩形面積最小為.命題意圖：本題抓住解析幾何重點(diǎn)研究問題設(shè)問，熟悉鞏固通性通法，典型幾何條件如長、角等的代數(shù)轉(zhuǎn)換方法，讓學(xué)生理解解析幾何的基本思想與策略.解

15、析幾何要把握好條件的等價(jià)翻譯，理順各量間的關(guān)系，計(jì)算準(zhǔn)確，進(jìn)而得出正確結(jié)論.取值范圍、最值、存在性、定值等問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)題型，要重視.最值問題一般要建立函數(shù)關(guān)系（求哪個(gè)量的最值，這個(gè)量一般是因變量，關(guān)鍵是找到主動(dòng)變化的量，即自變量），并且指出函數(shù)的定義域（定義域往往和判別式有關(guān)）.解析幾何考最值要注意均值定理、導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的運(yùn)用.函數(shù)、導(dǎo)數(shù)1、設(shè)，曲線y = f(x)在點(diǎn)（2，f(2)）處的切線方程為y = x+3.（1）求f(x)的解析式；（2）若x2,3時(shí)，f(x)bx恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：（1）由條件得f(2)=5，則（2，5）在上，有即（2）x2,3時(shí)，f(x)bx恒

16、成立等價(jià)于恒成立，令 x2,3，所以命題意圖：切線方程要注意“在點(diǎn)”和“過點(diǎn)”的區(qū)別；恒成立問題，存在性問題一般和最值、值域、單調(diào)性密切相關(guān)，當(dāng)不等式兩端都為變量時(shí)，一般要先分離變量.2、（理）已知函數(shù)（，R）(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2) 求函數(shù)在上的最大值和最小值解：(1) ，故若，則，因此在上是增函數(shù)若，則由得，因此的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是(2) 若，則（），因此在上是增函數(shù)那么在上的最小值是，最大值是； 若，則（），因此在上是減函數(shù)那么在上的最小值是，最大值是 若，則x18-0+極小值所以在上的最小值是，當(dāng)，即時(shí)，最大值是；當(dāng)時(shí)，最大值是命題意圖：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，重點(diǎn)是單調(diào)性、極

17、值、最值問題（或方程、不等式等可轉(zhuǎn)化為最值的問題），要注意通性通法的落實(shí).如果有參數(shù)，常常需要分類討論：提取常數(shù)系數(shù)時(shí)，要注意系數(shù)是否可能為零；導(dǎo)數(shù)為零的的值有多個(gè)時(shí)，要注意它們的大小關(guān)系是否是確定的等.2、（文）設(shè)函數(shù)（）求的最小值；（）若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（），當(dāng)時(shí)，取最小值，即（）令，由得，（不合題意，舍去）當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：遞增極大值遞減在內(nèi)有最大值在內(nèi)恒成立等價(jià)于在內(nèi)恒成立，即等價(jià)于，所以的取值范圍為命題意圖：使文科學(xué)生熟悉導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用，鞏固處理此類問題的通性通法.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 不等式1、已知函數(shù)和的圖象關(guān)于y軸對稱，且（I）求函數(shù)的解析式；（II）解不等式；解：（I）設(shè)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，由已知點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱點(diǎn)一定在函數(shù)圖象上， 代入得，所以 （II）或 或 命題意圖：引導(dǎo)