高一數(shù)學(xué)解斜三角形應(yīng)用舉例、向量在物理中的應(yīng)用人教版 知識精講（通用）

1、高一數(shù)學(xué)解斜三角形應(yīng)用舉例、向量在物理中的應(yīng)用高一數(shù)學(xué)解斜三角形應(yīng)用舉例、向量在物理中的應(yīng)用人教版人教版 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 解斜三角形應(yīng)用舉例、向量在物理中的應(yīng)用 二. 教學(xué)重、難點(diǎn) 1. 重點(diǎn)：利用正、余弦定理解任意三角形的方法，把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。 2. 難點(diǎn)：正確合理運(yùn)用正、余弦公式，將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型，并解釋相 關(guān)物理現(xiàn)象。 【典型例題典型例題】 例 1 要測量河對岸的煙囪高 AB，而測量者不能到達(dá)它的底部，如何解決？ 解：解：選一條水平基線 CD，使 CD 和煙囪 AB 在一個(gè)鉛垂面內(nèi)，由 C、D 兩點(diǎn)測得煙囪 的頂端 A 的仰角分別

2、是、設(shè) CD=a，測角儀的高度是 h，那么 AB=AE+EB。 而在中，sin ACAEACD )sin( sin a AC 又 )sin( sinsin sin a ACAEhEB h a AB )sin( sinsin 例 2 如圖，海中小島 A 周圍 38n mile 內(nèi)有暗礁，船向正南航行，在 B 處測得小島 A 在船 的南偏東 30，船行 30n mile 后，在 C 處測得小島 A 在船的南偏東 45，如果此船不改 變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？ A B C 解：解：在中，ABC30BC30B13545180ACB 由正弦定理可知 15A B AC A BC sinsin

3、30sin15sin 30AC 15cos60 15sin 30sin30 AC)26(15 4 26 60 A 到 BC 所在直線的距離為 2 2 )26(1545sinAC （n mile）98.40) 1732. 1 (15) 13(15 例 3 如圖，在某點(diǎn) B 處測得建筑物 AE 的頂端 A 的仰角為，沿 BE 方向前進(jìn) 30m 至點(diǎn) C 處，測得頂端 A 的仰角為，再繼續(xù)前進(jìn)至 D 點(diǎn)，測得頂端 A 的仰角為，2m3104 求的大小和建筑物 AE 的高。 A C B E D 24 解：解：由已知可得中，AC=BC=30，ACD310 DCAD4180 ADC 2CAD 在中，由正弦

4、定理得ACD )4180sin(2sin ACCD 即 2cos2sin2 30 2sin 310 2 3 2cos 30215 在中，AEDmADAE15 2 3 31060sin 的值為 15，建筑物 AE 的高為 15m。 例 4 隔河測算 A、B 兩目標(biāo)的距離，在岸邊取 C、D 兩點(diǎn)，測得 CD=200m， ，求 A、B 間的距離。105ADC15BDC120BCD30ACD O B A C D 解：解： 方法一：如圖，在中， ，CD=200ADC105ADC30ACD 由正弦定理得 DAC CD ADC AC sinsin ) 13(100 45sin 105sin200 sin s

5、in DAC ADCCD AC 在中， BCD 45sin15sin CDBC ) 13(100 45sin 15sin CD BC 在中 ABC9030120ACB 8100)13(100)13(100 222222 BCACAB 8 . 2822200AB 方法二：在中 ADC 45sin30sin CDAD 2100 45sin 30sin CD AD 在中 DBC 45sin120sin CDBD 6100 2 2 2 3 200 45sin 120sin CD BD 在中 ABD9015105ADB 8100)6100()2100( 222222 BDADAB 2200AB 方法三：

6、同解法二可求得，易證與都是等腰直角三角形2100ADADOBCO 2100 ODAD2002ADAO 在中，由正弦定理得，OCD) 13(100OC )26(1002OCOB 在中，由余弦定理得OAB 135cos2 222 OBOAOBOAAB ) 2 2 ()26(1002002)26(100200 222 2 1008 2200AB 方法四： 90BCOADO A、B、C、D 四點(diǎn)共圓且 AB 是外接圓直徑 2200 45sin 200 sin 2 DAC CD RAB 例 5 如圖，在山頂鐵塔上 B 處測得地面上一點(diǎn) A 的俯角，在塔底 C 處測得 A 60 的俯角，已知鐵塔 BC 部

7、分高 30m，求山高 CD。 45 D C B A 解：解：設(shè) ， xCD xCD 45xAD 60 30ABD30tan BD x xBD3 又 CDBDBCxx 330) 13(15 13 30 x 例 6 一條河的兩岸平行，河寬為 dm，一船從 A 出發(fā)航行到河的對岸，船行速度大小為 ，水流速度大小為且，那么與的夾角多大時(shí)船才能垂直到達(dá)河岸 1 v 2 v 1 v 2 v 1 v 2 v B 處？船航行多少時(shí)間？ A v v1 v2 解：解： 是與的合速度 2 2 2 1 vvvv 1 v 2 v 船航行時(shí)間而 2 2 2 1 vv d v d T sin 1 v d T sin 1 2

8、 2 2 1 v d vv d 2 1 2 )(1sin v v 例 7 設(shè)炮彈被以初速和仰角拋出（空氣阻力忽略不計(jì)） ，當(dāng)初速度的大小一定時(shí)， 0 v 0 v 發(fā)射角多大時(shí)，炮彈飛行的距離最遠(yuǎn)？ 解：解：將分解為水平方向和豎直方向兩個(gè)分速度和 0 v 1 v 2 v 則， cos 01 vv sin 02 vv 炮彈在水平方向飛行的距離 tvtvScos 01 炮彈在垂直方向的位移是 2 2 2 1 0gttv 即 0 2 1 sin 2 0 gttv 由得 代入得 g v t sin2 0 g v g v S 2sin cossin2 2 0 2 0 由于一定，所以當(dāng)時(shí)，S 有最大值，故發(fā)

9、射角時(shí)，炮彈飛行的距 0 v 45 45 離最遠(yuǎn) 例 8 一物體受到兩個(gè)大小均為 60N 的力的作用，兩力夾角為 60且有一力方向水平，求 合力的大小及方向。 A C B O D 解：解：設(shè)，分別表示兩力，以 OA、OB 為鄰邊作 OACB，則就是合力OAOBOC 由題意知為等腰三角形且OAC30COA 過 A 作于 D，則在中OCAD OADRt 330 2 3 6030cos OAOD3602ODOC 答：答：合力的大小為，方向與水平方向成角N36030 【模擬試題模擬試題】 （答題時(shí)間：60 分鐘） 一. 選擇題 1. 從 A 處望 B 處的仰角為，從 B 處望 A 的俯角為，則、的關(guān)系

10、為（ ） A. B. C. D. 90180 2. 滿足條件，的的個(gè)數(shù)（ ）4a23b 45AABC A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 無數(shù)個(gè) D. 不存在 3. 某人朝正東方向走 x km 后，向右轉(zhuǎn) 150，然后朝新方向走 3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn) 恰好為，則 x 的值為（ ）km3 A. B. C. 或 D. 3332323 4. 在 200m 高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為 30，60則塔高為（ ） A. B. C. D. 200mm 3 400 m 3 3400 m3200 5. 在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有ABCcmxa cmb2 45B 兩個(gè)解，則 x 的

11、取值范圍是（ ） A. B. C. D. 222 x222 x2x2x 6. 中，則 C 的大小為（ ）ABC6cos4sin3BA1sin4cos3BA A. B. C. 或 D. 或 6 6 5 6 6 5 3 3 2 7. 如圖，D、C、B 在地面同一直線上，DC=a，從 C、D 兩點(diǎn)測得 A 點(diǎn)的仰角分別是、 ，則 A 點(diǎn)離地面的高 AB 等于（ ）)( A. B. )sin( sinsin a )cos( sinsin a C. D. )sin( coscos a )cos( coscos a A C B D 8. 兩座燈塔 A、B 與海岸觀察站 C 的距離相等，燈塔 A 在觀察站北

12、偏東 40，燈塔 B 在觀察站南偏東 60，則燈塔 A 在 B 的（ ） A. 北偏東 10 B. 北偏西 10 C. 南偏東 10 D. 南偏西 10 9. 當(dāng)兩人提起重量為的書包時(shí)，夾角為，用力為，則三者的關(guān)系式為（ ）GF A. B. cos2 G F sin2 G F C. D. 2 sin2 G F 2 cos2 G F 10. 在上題中，為何值時(shí)，最?。?）F A. B. 0 C. D. 2 2 3 二. 填空 1. 當(dāng)太陽光線與地面成角時(shí)，長為 的木棍在地面上的影子最長為 。l 2. 一樹干被臺風(fēng)吹斷，折斷部分與殘存樹干成 30角，樹干底部與樹尖著地處相距 5m，則樹干原來的高度

13、 。 3. 炮彈以初速度（米/秒）沿水平方向成角的方向上射出，則它的最大射程 ， 0 v 此時(shí) 。 4. 一艘船從 A 點(diǎn)出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為hkm/32 ，則船實(shí)際航行速度的大小和方向?yàn)?。hkm/2 三. 解答題 1. 把一根長為 30cm 的木條鋸成兩段，分別作鈍角三角形 ABC 的兩邊 AB 和 BC，且 ，問怎么鋸斷才能使第三邊 AC 最短。120ABC 2. A、B、C 是一段筆直公路上的三點(diǎn)，分別在塔 D 的西南方向、正西方向，北偏西 60方向且，求塔 D 與公路 AC 段的最近距離。kmBCAB1 3. 兩個(gè)粒子 a、b 從同一源發(fā)射出來，在某一

14、時(shí)刻，它們的位移分別為，)3,4( a S )10,2( b S （1）寫出此時(shí)粒子 b 相對粒子 a 的位移S （2）計(jì)算在方向上的投影S a S 4. 平面上三個(gè)力、同作用于一點(diǎn)而處于平衡狀態(tài)， 1 F 2 F 3 F1 1 F 2 26 2 F 與的夾角為 45，試求的大小及與夾角的大小。 1 F 2 F 3 F 3 F 1 F 【試題答案試題答案】 一. 1. B 2. B 3. C 4. A 5. A 6. A 7. A 8. B 9. D 10. B 二. 1. 2. 3. ； sin l m)3510( g v2 0 45 4. 4km/ h，方向與水流方向夾角 60 三. 1.

15、 解：設(shè)，則 xAB xBC 30 90030120cos2 2222 xxBCABBCABAC 675)15( 2 x 當(dāng)即時(shí)，最短。15xcmBCAB15AC 2. 解：依題意， 設(shè)，作于 H45ADB30BDCBDHABDH 設(shè) 則dDH tan)45tan(dHBAHAB 且tan)30tan(dBHCHBC 又 kmBCAB1 tan)30tan( 1 tan)45tan( 1 d 則 tan tan30tan1 tan30tan tan tan1 tan1 解得 則 2 13 tan )1357( 13 1 tan1 tan1 2 d C B A D 45 30 3. 解： （1）)7,2()3,4()1