2020高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)競賽講座 因式分解（通用）

1、2020高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)比賽講座的因式分解因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，具有一定的靈活性和技巧性。以下是中學(xué)教材中已經(jīng)介紹基本方法的基礎(chǔ)，綜合京津大會，介紹有關(guān)附加項目、項目解散方法、待定系數(shù)法、替換法、對稱分解等的內(nèi)容和方法。1.添加項目。移除項目的方法追加、分解項目的目的是在每個項目之間創(chuàng)建公共元素，或使用公式分解元素，因此，解決問題的時候，要注意分離問題的特性。例1(1986年揚(yáng)州早期數(shù)學(xué)競爭問題)分解因素(1 y)2-2x2(1 y2) x4(1-y)2解決方案：原始=(1y)2(1y)x2(1y)x4(1-y)2-2(1y)x2(1-y)-2 x2(1 y2)=(1y)x2(

2、1-y)2-2(1y)x2(1-y)-2x 2(1 y2)=(1 y) x2(1-y)2-(2x)2=(1y)x2(1-y)2x(1y)x2(1-y)-2x=(x2-x2y 2x y 1)(x2-x2y-2x y 1)=(x 1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1)=(x 1)(x 1-xy y)(x-1)(x-1-xy-y)例2(第11屆國際數(shù)學(xué)競爭問題)證明了具有以下性質(zhì)的自然數(shù)a有無窮大，任意自然數(shù)m.z=n4 a沒有小數(shù)。證明設(shè)置a=4k4(k是大于1的自然數(shù))Z=n4 a=n4 4k4=n4 4n2k2 4k4-4n2k2=(=(n2 2k2)2-4n2k2=(n2k2 2

3、nnk) (n2k2-2nk)=(n k)2 k2(n-k)2 k2。k是大于1的自然數(shù)。2 k2 1，(n-k) 2 k2 1因此，右兩個元素都大于1，因此在k 1中，z是和數(shù)。大于1的自然數(shù)k具有無限多的自然數(shù)a，因此n4 a不是所有自然數(shù)n的總小數(shù)2.待定系數(shù)法對于兩個多項式f(x)=g(x)，其系數(shù)相同，可以透過將特定引數(shù)分解問題轉(zhuǎn)換為方程式系統(tǒng)中的問題來解決。示例3分解因子3x2 5xy-2y2 x 9y-4。解決方案3x2 5xy-2y2=(3x-y)(x 2y)，因此可以設(shè)置3x2 5xy-2y2 x 9y-4=(3x-y a)(x 2y b)=3x2 5xy-2y2 (a 3b

4、)x (2a-b)y ab。比較兩邊的系數(shù)， a=4，b=-1，表達(dá)式。原始=(3x-y 4)(x 2y-1)。例4(1963北京中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題)已知的多項式x3 bx2cx的系數(shù)均為整數(shù)，證明BD CD為奇數(shù)時，該多項式不能分解為兩個整體系數(shù)多項式的乘積。增設(shè)X3 bx2 CX d=(x p)(x2 qx r)=x3 (p q)x2 (pq r)x pr(其中p、q、r都是整數(shù))如果比較兩個系數(shù)，則pr=d。Bd cd=d(b c)是奇數(shù)，因此b c和d是奇數(shù)，pr也是奇數(shù)。換句話說，p和r是奇數(shù)。當(dāng)前為id，因此替換為x=11 b c d=(1 p)(1 q r)。b c，d為奇數(shù)，1

5、b c，d也為奇數(shù)，p為奇數(shù)，1 p為偶數(shù)。1 p (1q r)是偶數(shù)。這不能說明等式左端是奇數(shù)，右端是偶數(shù)。因此，多項式不能分解為兩個整體系數(shù)多項式的乘積。3.輪回轉(zhuǎn)世法范例5分解引數(shù)(x2 3x 2)(x2 7x 12)-120。解決方案=(x 2)(x 1)(x 4)(x 3)-120=(x 2)(x 3)(x 1)(x 4)-120=(x2 5x 6)(x2 5x 4)-120X2 5x=A，而不是早期版本原始=(A 6)(A 4)-120=A2 10A-96=(a 16)(a-6)=(x25x 16)(x25x-6)=(x25x 16)(x 6)(x-1)示例6證明a(a 1)(a

6、2)(a 3) 1是總平方數(shù)解決方案=a(a 3)(a 1)(a 2) 1=(a2 3a)(a2 3a 2) 1=(a2 3a)2 2(a2 3a) 1=(a2 3a 1)2a(a 1)(a(a 1)(a 2)(a 3)1是完整的平方數(shù)。說明：沒有新元素，但將a2 3a視為新元素。4.對稱因子分解在包含多個元素的多項式中，任意交換兩個元素的位置不會改變多項式，這種多項式稱為對稱多項式。范例7分解引數(shù)x4 (x y)4 y4分析這是可以使用x y，xy的所有二進(jìn)制對稱多項式的二進(jìn)制對稱，如2x2=(x y) 2-2xy，二進(jìn)制對稱多項式的分解方法之一，其中：首先使用x y，xy，然后是線分解。解

7、決方案/x4 y4=(x y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x y) 4-4xy (x y) 2 x2y2。原始=(x y) 4-4xy (x y) 2 x2y2 (x y) 4=2 (x y) 4-4xy (x y) 2 x2y2=2(x y)4-2xy(x y)2 (xy)2=2 (x) 2-xy 2-2 (x2 y2 xy) 2，范例8分解引數(shù)a2(b-c) b2(c-a) c2(a-b)。其中，如果將表達(dá)式的b替換為a，將c替換為b，將a替換為c，則結(jié)果為c2(a-b) a2(b-c) b2(c-a)。這個多項式叫做a，b，c的旋轉(zhuǎn)對稱，旋轉(zhuǎn)對稱的因數(shù)分解更簡單，使用自變量定理

8、和待定系數(shù)法。首先，我簡要說明一下參數(shù)定理。F(x)，f(a)表示x=1點(diǎn)的多項式值，例如，x=3 x2-5x-2，f(a)如果參數(shù)定理x=a，多項式f(x)的值為0 (f(a)=0)，則f(x)可以除以x-a(包含x-a的參數(shù))。多項式f(x)=3x2-5x-2，x=2時f(2)=0，即f(x)包含x-2的參數(shù)，實(shí)際上f(x)=3x2-5x認(rèn)證設(shè)置f (x)=xn an-1xn-1.a1x A0、F(a)=0時F(x)=f(x)-f(a)=(anxn an-1xn-1.a1x A0)=(Anan an-1an-1.a1a A0)=an (xn-an) an-1 (xn-1-an-1).a1

9、(x-a)、(x-a) | (xn-an)，(x-a) | (xn-1-an-1)，(x-a) | (x-a)、(x-a)| f(x)、對于多元多項式，使用參數(shù)定理時，可以確定一個主要因素，其他因素可以按規(guī)定的數(shù)量處理。現(xiàn)在，我們使用自變量定理解決示例8。包含a、b和c三個字符的三次多項式。A以A為基礎(chǔ)，f(A)=a2(B- c)B2(c-A)C2(a-b)A=B和a=c都有f(a)=0，因此A-B和a-c三次多項式有三個元素，您可以設(shè)定a2(B- c)B2(c-a)C2(a-b)=k(a-b)(B- c)(c-a)。其中k是待定系數(shù)，a=0、b=1、c=-1是k=-1。a2(B- c)B2(

10、c-a)C2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)。范例9分解引數(shù)a3(b-c) b3(c-a) c3(a-b)。分析這是關(guān)于a，b，c的四次旋轉(zhuǎn)多項式的，可以分解為自變量定理。a-b、b-c、c-a是多項式的三個參數(shù)，而四次多項式必須是旋轉(zhuǎn)對稱已知的一個參數(shù)a b c，因此a3 (b-c) B3 (c-a) C3 (a-b)=k原始=-(a-b)(b-c)(c-a)(a b c)。是否更多地使用自變量定理，或是否是一元n次多項式的因數(shù)分解。例10(1985年武漢中學(xué)數(shù)學(xué)競賽)證明：2x 3是多項式2x4-5x3-10x2 15x 18的因子。記住多項式為f(x)。15-2x3是f(x)

11、的參數(shù)。示例11分解了參數(shù)x3-19x-30。其中常數(shù)值分析為30。多項式f(x)=x3-19x-30具有x-a等形式的參數(shù)，則a為f(a)=a3-19a-30=0，a3-19a=30。 a | (a3-19a)，a | 30解決方案30的元素是1，2，3，4，5，6，10，15，30。f(1)=-48，f (-1)=-12，f (2)=-60，f(-2)=0，f (3)=-。(這里已有f (-2)、f (-3)、f (-3)、f (5)等于0，三次多項式只有一次，因此無需再計算。）x3-19x-30=k(x 2)(x 3)(x-5)，x3的系數(shù)為1，k=1。因此，x3-19x-30=(x 2

12、)(x 3)(x-5)。練習(xí)1.選擇題(1)如果有1到100之間的整數(shù)n，則x2 x-n可以分解為兩個整體系數(shù)的一次積。n是()(A)0(B)1(C)2(D)9(E)10(2)如果二次多項式x2kx-3k2可除以X-1，則k值為()(A)1或(B)-1或(C)0(D)1或-1(3)如果100x2-kxy 49y2是完全展開的，則k=()(A)4900(B)9800(C)140(D)702.填寫空格(1)多項式6x2 mxy-3dy2 3x10y-3可以分解為x，y的一階多項式，如果m=_ _ _ _ _ _ _ _。(2) x2 x-1=0時，x3 2x 2 1985=_ _ _ _ _ _。

13、3.(1)參數(shù)a2-b2 4a 2b 3的分解(2)分解參數(shù)(x2 x 1)(x2 x 2)-12。4.(1)分解參數(shù)a3b-ab3 a2 B2 1(2)(1989年廣州等5個城市聯(lián)賽)分解標(biāo)準(zhǔn)(x y)(x-y) 4(y-1)。5.(1986年全國中學(xué)數(shù)學(xué)知識競賽)分解因子(x y)3 2xy(1-x-y)-1。證明是合數(shù)。7.分解參數(shù)(x y)3-x3-y3 3xy。8.分解參數(shù)(ab BC ca)(a b c)-abc。9.(1986年5城市聯(lián)賽考試問題)如果a是自然數(shù)，那么a4-3a2 9是小數(shù)還是合數(shù)呢？給我你的證件。10.(1985年北京市中學(xué)數(shù)學(xué)競賽問題)如果a是自然數(shù)，則證明10|(a1985-a1949)。練習(xí)1.d.a.c2.(1) m=7。(2) 1986年3.(1) (a b 1) (a-b 3)。(2) (x 2) (x-1) (x2 x 5)4.(1) (a2-a b 1) (a b B2 1)(2) (x-y 2) (x y-2)5.(x y-1) (x2 y2 x y 1)。6.a=101986 1=(10662) 8 1=.具有2個因子的分角的乘積，如果2個因子大于1，則證明。7.預(yù)設(shè)=(