三年高考（2020）高考數(shù)學(xué)試題分項版解析 專題26 排列組合、二項式定理 理（含解析）（通用）

1、特集26數(shù)組組合，二項式定理考試綱解讀方向考試分數(shù)解讀內(nèi)容要求大學(xué)入學(xué)考試的例子常試題型預(yù)測熱量計數(shù)原理、排列、組合(1)分類加法計數(shù)原理、步進乘法計數(shù)原理理解分類加法計數(shù)原理和步進乘法計數(shù)原理用分類加法計數(shù)原理和階段乘法計數(shù)原理分析和解決簡單的實際問題(2)排列和組合理解排列、組合的概念利用計數(shù)原理可以推導(dǎo)出數(shù)組公式、組合公式可以解決簡單的現(xiàn)實問題掌握2020天津、14；2020跑道全國、52020路線全國、122020四川、6；2020安徽，8選擇問題分析解讀1 .分類加法計數(shù)原理和階段乘法計數(shù)原理的共同點是將一個原始事件分解成幾個事件來完成。 兩種原理的差異一個涉及分類，一個涉及階段，這

2、兩種原理是最基本最重要的原理，是解決序列和組合問題，特別是復(fù)雜序列和組合問題的基礎(chǔ)。 2 .理解序列、組合和序列數(shù)和組合數(shù)的公式，序列和組合的綜合作為高頻試驗點的本節(jié)內(nèi)容很好地結(jié)合概率、分布序列問題，出現(xiàn)在解答問題的第一個問題上，難易度偏于中等或中等考試分數(shù)解讀內(nèi)容要求大學(xué)入學(xué)考試的例子常試題型預(yù)測熱量二項式定理的應(yīng)用使用可以用計數(shù)原理證明二項式定理的二項式定理來解決關(guān)于二項展開式的簡單問題掌握2020課程全國I、62020路線全國I、14；2020路線I，10選擇問題填補問題分析解讀1 .掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì).2.用二項式定理的知識解決系數(shù)和、常數(shù)項、整除、近似值、最大值等問題.

3、3.二項展開式的通項式是一個高參考熱點2020年高考全景展示1.【2020年全國卷理】的展開式中的系數(shù)是A. 10 B. 20 C. 40 D. 80【答案】c點眼：本題主要考察二項式定理，屬于基礎(chǔ)問題。2.【2020年浙江卷)從1、3、5、7、9中取兩位數(shù)，從0、2、4、6中取兩位數(shù)，就能生成不重復(fù)的4位數(shù)字(用數(shù)字回答)?！敬鸢浮?260分析部：根據(jù)是否取零進行分類研究，取零時先排序，最后根據(jù)分類和步進計數(shù)的原理來計數(shù)。詳細解：不為零時，數(shù)組數(shù)為零時，數(shù)組數(shù)為共有4位不重復(fù)的數(shù)字點眼：解開數(shù)組，組合問題，常用的解題方法：(1)元素相鄰的序列問題“束邦法”(2)元素間的序列問題“插入法”(3

4、)元素有順序限制的序列問題“順序除去法”(4)“包含”和“不包含”“不多”“至少”的序列問題間接法.3.【2020年浙江卷二項式的展開式的常數(shù)項是【回答】7分析：首先根據(jù)二項式展開式的通項式寫r 1項，進而根據(jù)項的次數(shù)0解r，代入即時獲得結(jié)果.詳細地說，二項式展開式的通項式是所以求出的常數(shù)項是點眼：求兩個展開式相關(guān)問題的常見類型和解題策略(1)求出展開式中特定項目，根據(jù)條件寫第一項目，根據(jù)特定項目的特征求出值即可.(2)知道有展開式的項，求特定項的系數(shù)。 可從某項獲得參數(shù)值，從通用項寫入第項，從特定項獲得值，最后求出特定項的系數(shù)4 .在【2020年理數(shù)天津卷】的展開式上【回答】(1)二項式定理

5、的核心是通項式，解決這種問題可以分兩個階段實現(xiàn)：第一步是根據(jù)給定的條件(特定項)和通項式，建立方程式來確定指數(shù)(二項式系數(shù)中n和r的隱式條件，即n、r都是非負整數(shù)，且第二步驟是基于所獲得的指數(shù)，再次獲得所獲得的項(2)求兩個多項式乘積的特定項可以簡化或利用分類相加計數(shù)原理來求解5.【2020年理新課標I卷女子2人、男子4人中3人參加了科學(xué)技術(shù)競賽，至少有一名女性入選的情況下，不同的選法是【回答】16分析：首先，要考慮被選中的人中有多少女的，有多少選法，還有，從6人中選出的3人中合計有多少選法，然后，需要應(yīng)用減法求出結(jié)果。詳情：根據(jù)問題意，女子未入選，6名學(xué)生中任意入選3人因此，至少有一個女孩入

6、選的話，不同的選法有種類，所以答案是16點眼：這個問題是關(guān)于組合計數(shù)的問題，而且最多有問題的時候多采用間接法，整體的方法是得到選擇3人的選舉法的種類數(shù)，間接法是將沒有女性的選舉法的種類數(shù)整體減去，這個問題使用直接法，女性1人和女性2人分別2020年高考全景展示1.【2020課標1、理6】展開式中的系數(shù)為A.15B.20C.30D.35【答案】c【試驗點】二項式定理【名士點眼】就兩個二項式的積的問題，將第一個二項式的各項乘以第二個二項式的各項，分析的項有幾個，相加了。 這種問題容易出錯的地方，主要是沒能分析構(gòu)成該項的具體情況，特別是兩個二項式展開式的差異。2.【2020課標3、理4 的展開式中的

7、33個系數(shù)是A. B. C.40D.80【答案】c【解析】問題分析：展開公式公式：可以當時，展開式的系數(shù)是當時，展開式的系數(shù)是系數(shù)是所以選擇c【試驗點】二項式展開式的通項式(1)二項式定理的核心是通項式，解決這種問題可以分兩個階段實現(xiàn)：第一階段根據(jù)給定的條件(特定項)和通項式，建立方程式來確定指數(shù)(二項式系數(shù)中n和r的隱式條件，即n、r都是非負整數(shù)嗎？ 第二步驟是基于所獲得的指數(shù)，再次獲得所獲得的項(2)求兩個多項式乘積的特定項可以簡化或利用分類相加計數(shù)原理來求解3.【2020課標II，理6】三名志愿者完成四項工作，每人完成至少一項工作，各人完成一項工作，就共享不同的安排方法()A.12種B.

8、18種C.24種D.36種【回答】d【試驗點】陣列和組合階梯乘法的計數(shù)原理【名士點眼】(1)要解決組合問題，按要素(或者位置)的性質(zhì)進行分類，第二個是在事件的過程中階段性地進行。 具體地說，解決組合問題通常以要素(或位置)為主體。 即，在滿足特殊要素(或位置)之后，再考慮其它要素(或位置)。4.【2020浙江，16 .在6名男女共計8名學(xué)生中，1名隊長、1名副隊長、2名普通選手組成了4個服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1個女孩【答案】660【解析】問題分析：從問題意中得出：綜合的選擇方法是一種方法，其中有不滿足問題意的選擇方法。 滿足問題意的選擇方法有種【試驗點】數(shù)組組合的應(yīng)用【名士點眼】本題主要考

9、察了分類計數(shù)原理、步進計數(shù)原理和排列組合的應(yīng)用，排列組合的綜合問題，常常只有兩個原理和排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題。 解決這樣的問題對理解問題的意義很重要，一定要多讀問題挖掘隱含條件。 在解決問題的過程中，首先要區(qū)分“是分類還是步驟”“是數(shù)組還是組合”。 在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理進行討論時，可以重復(fù)交叉討論，也可以不泄漏，提高精度。5.【2020浙江，13已知多項式32=，它是【回答】16、4【解析】問題分析：二項式展開式得到的通項式：分別得到，得到【試驗點】二項式定理【名士點眼】本題主要是調(diào)查二項式定理的通項和系數(shù)，是一個簡單的問題。 二項展開式定理的問題也是高考命題的熱點之一，對二項式定

10、理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面調(diào)查命題： (1)調(diào)查二項展開式的通項式(可以調(diào)查某項，也可以調(diào)查某項的系數(shù)) (2)調(diào)查各項的系數(shù)和各項的二項式系數(shù)的和6.【2020天津、理14】由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9構(gòu)成的數(shù)字不重復(fù)，而且最多一個數(shù)字是偶數(shù)的4位，這樣的4位總共是_ _ _ _ _個【回答】【解析】【試驗點】計數(shù)原理、排列、組合名士點眼計數(shù)原理包含分類計數(shù)原理(加法)和階段計數(shù)原理(乘法)，構(gòu)成4位的數(shù)字最多是1位為偶數(shù)，構(gòu)成4位的數(shù)字是1位為偶數(shù)和4位的數(shù)字都是奇數(shù)這2種，利用加法原理進行計數(shù).2020年高考全景展示1. 【2020高考新課標2處理數(shù)如圖所示，小

11、明從街上的e出發(fā)，先在f遇見小紅，在g的老人公寓參加志愿者活動，從小明到老人公寓可以選擇的最短路徑數(shù)量是()(A)24 (B)18 (C)12 (D)9【回答】b試驗點：計數(shù)原理、組合“名士點眼”分類加法計數(shù)原理容易忽略使用時各種做法的所有方法都可以完成，類和類之間是獨立的步進乘法的計數(shù)原理在使用時容易忽略每一步驟中的某些方法僅完成了這一部分，而沒有完成這一部分，步驟之間是相關(guān)聯(lián)的。2 .以2020年高考四川理數(shù)為虛數(shù)單位，展開式中包含x4的項是(a )-15 x4(b ) 15 x4(c )-20ix4(d ) 20ix 4【回答】a【解析】問題分析：二項式展開的通項、令、得、展開式中包含的

12、項，選擇a試驗點：二元展開式，復(fù)數(shù)運算【名士點眼】本題考察了二項式定理和多個運算，多個概念和運算也是高考的熱點，幾乎每年都是必考內(nèi)容，是一個簡單的問題。 一般來說，掌握多個基本概念和四則運算即可。 二項式的展開式，其通項，也就是包含的項3. 【2020年高考四川理數(shù)】數(shù)字1、2、3、4、5構(gòu)成，數(shù)字不重復(fù)的5位數(shù)字，奇數(shù)的數(shù)字是(A)24 (B)48 (C)60 (D)72【回答】d【解析】問題分析：從問題的意義上來說，要構(gòu)成不重復(fù)的5位奇數(shù)，位數(shù)是1、3、5中的一個，其他位置可能是隨機排列的，所以其中奇數(shù)的個數(shù)選擇了d。試驗點：排列、組合使用【名人眼神】數(shù)組的組合計數(shù)時，正確的分類和步驟很重

13、要，分類時要注意不要泄露，每個步驟都要注意事件整體的完成步驟。 在本問題中，一個位置必須是特殊位置，第一步是該位置，而第二步是另外四個位置。 】4. 【2020高考新課程標3理數(shù)】定義“規(guī)范01數(shù)列”如下： 項目為0、項目1且可選地，其中0的個數(shù)超過1的個數(shù)。 如果是，則合計不同的“規(guī)范01數(shù)列”有()(A)18個(B)16個(C)14個(D)12個【答案】c【解析】問題分析：從問題的意義上來說，有必要的東西。 具體的排序如下所示。00001111101110110100111011010011010001110110100110試驗點：計數(shù)原理的應(yīng)用在解計數(shù)問題時，在情況復(fù)雜、分類多、標準多

14、的同時，求計數(shù)結(jié)果不太大的情況下，利用表法和枝法，一個一個地列舉其可能性，常達到奇勝的效果。5 .在2020年的高考北京理數(shù)的展開式上，是用數(shù)字回答的【答案】60。【解析】問題分析：從二項展開的通項式可以看出，系數(shù)為，所以要填寫試驗點：二項式定理【名士點眼】1 .二項展開式的特定項，是有展開式的項，如第項、常數(shù)項、有理項、字母指數(shù)的特殊值項2，在求合理的項時，要注意使用可以除盡的性質(zhì)，同時要注意結(jié)合的范圍分析6 .在【2020大學(xué)入學(xué)考試新課標1卷】的展開式中，x3的系數(shù)如下。 (用數(shù)字填寫答案)【回答】【解析】問題分析：的展開式通項為(，(1，2，5 )，因此系數(shù)為試驗點：二項式定理7 .在【2020高考天津理數(shù)】的展開式中，x2的系數(shù)是_ _ _ _ _ _ _ (用數(shù)字回答)【回答】試驗點：二項式定理【名士點眼】1 .求特定系數(shù)的問題是，基于給定的條件(特定項)和通項式，建立方程式來決定指數(shù)(請注意，求解時二項式系數(shù)中n和r的隱式條件，即n、r都是非負整數(shù)，nr )。