吉林省東北師范大學附屬中學2020屆高考數學一輪復習 基本不等式及其應用（2）導學案 文（通用）

1、吉林省東北師范大學附屬中學2020屆高考數學一輪復習 基本不等式及其應用（2）導學案 文知識梳理：1、基本不等式(1)重要不等式:如果a,bR ,那么a2+b22ab.當且僅當a=b時,等號成立.(2)基本不等式: 如果a,b0.那么a+b2ab,當且僅當a=b時,等號成立.可以表述為兩正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.2、重要結論：（1）a+1a2 （a0）當且僅當a=1，等號成立.（2）a+1a-2（a0）當且僅當a=b，等號成立.（4）、a2+b2+c2ab+bc+ca，當且僅當a=b=c，等號成立.（5）、21a+1baba+b2a2+b22 （ a,b0.）當且僅當a=b，等號

2、成立.（6）、2a2+2b2(a+b)23、如果a,bR+ ,那么a+b+c33abc,當且僅當a=b=c，等號成立.(不等式證明選講內容)二、題型探究探究一：利用基本不等式求最值：例1：（1）x,yR+ ,x+y=S（和為定值），則當x=y時，積xy取得最大值S24 ；（2）x,yR+ , xy=P（積為定值），則當x=y時，和x+y取得最小值2P即：和定，積最大；積定，和最小。應用基本不等式的條件：（1）、一正：各項為正數；（2）、二正：“和”或“積”為定值；（3）、三等：等號一定能取到，這三個條件缺一不可。例1：解答下列問題（1） 已知x2 ，求x+4x-2 的最小值；（2） 已知0x2

3、 ，求函數f(x)=x(8-3x)的最大值；（3） 求函數y=4sinx+sinx 0x0，y0 ，且x+y=1，求4x+9y的最小值。探究二：基本不等式的實際應用在應用基本不等式解決實際問題時，要注意以下四點：（1）、先理解意，設變量時一般把要求的最值的變量定為函數；（2）、建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最值問題；（3）、在定義域內，求出函數的最值；（4）、正確寫了答案。例2：某單位建造一間地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過a米，房屋正面的造價為400元/ 平方米,房屋側面的造價為150元/ 平方米,屋頂和地面的造價費用合計5

4、800元，如果墻高為3米，且不房屋背面的費用。（1）、把房屋總選價y表示為x的函數，并寫出該函數的定義域；（2）、當側面的長度為多少時？房屋的總造價最低，最低造價是多少？三、方法提升基本不等式（也稱均值定理）具有將“和式”，“積式”相互轉化的功能，應用比較廣泛，為了用好該不等式，首先要正確理解該不等式中的三人條件（三要素）正（各項或各因式為正值）、定（“和”或“積”為定值）、等（各項或各因式都能取得相等的值，即具備等號成立的條件），簡稱“一正，二定，三相等”，這三個條件缺一不可，當然還要牢記結論：和定，積最大；積定，和最小。但是在具體問題中，往往所給的條件并非“標準”的“一正，二定，三相等”，

5、（或隱藏在所給條件中），所以要對各項或各式作適應的變形，通過湊，拆，添項等技巧，對“原始”條件進行調整、轉化，使其符合標準的正、定、等。如果等號在變形的時候不成立，這時可以改用“對勾函數”來解決不能應用基本不等式求解的情形。四、反思感悟 五、課時作業(yè)1(2020年高考重慶卷)已知a0，b0，則2的最小值是()A2 B2 C4 D5解析：選C.2224.當且僅當時，等號成立，即ab1時，不等式取最小值4.2設點P(，1)(t0)，則|(O為坐標原點)的最小值是()A3 B5 C. D.解析：選D.由已知得|，當t2時取得等號3(原創(chuàng)題)若a0，b0，a，b的等差中項是，且a，b，則的最小值為()

6、A2 B3 C4 D5解析：選D.因為ab1，所以ab11115，故選D.4若ab2，則3a3b的最小值是()A18 B6 C2 D2解析：選B.3a3b226.5已知x，則函數y2x的最大值是()A2 B1 C1 D2解析：選C.y2x(12x)1，由x0，根據基本不等式可得(12x)2，當且僅當12x即x0時取等號，則ymax1.正確答案為C.6(2020年高考天津卷)設a0，b0，若是3a與3b的等比中項，則的最小值為()A8 B4 C1 D.解析：選B.由題意知3a3b3，即3ab3，所以ab1.因為a0，b0，所以()(ab)2224，當且僅當ab時，等號成立7在面積為S(S為定值)

7、的扇形中，當扇形中心角為，半徑為r時，扇形周長最小，這時，r的值分別是()A1，r B2，rC2，r D2，r解析：選D.Sr2，又扇形周長P2rr2(r)4，當P最小時，rr，此時2.8已知圓x2y22x4y10關于直線2axby20(a0，b0)對稱，則的最小值是()A4 B6 C8 D9解析：選D.由圓的對稱性可得，直線2axby20必過圓心(1,2)，所以ab1.所以5259，當且僅當，即a2b時取等號，故選D.9已知0x，則函數y5x(34x)的最大值為_解析：因為0x0，所以y5x(34x)20x(x)20()2，當且僅當xx，即x時等號成立答案：10.如下圖，某藥店有一架不準確的

8、天平(其兩臂長不相等)和一個10克的砝碼，一個患者想要買20克的中藥，售貨員先將砝碼放在左盤上，放置藥品于右盤上，待平衡后交給患者；然后又將砝碼放在右盤上，放置藥品于左盤上，待平衡后再交給患者設患者一次實際購買的藥量為m(克)，則m_20克(請選擇填“”或“220，所以填“”答案：11已知不等式(xy)()9對任意的正實數x、y恒成立，求正數a的最小值解：(xy)()1aa12(a0)，要使原不等式恒成立，則只需a129，即(2)(4)0，故2，即a4，正數a的最小值是4.12.已知M是ABC內的一點，且2，BAC30，若MBC，MCA和MAB的面積分別為，x，y，則的最小值是()A20 B1

9、8 C16 D9解析：選B.由已知得bccosBAC2bc4，故SABCxybcsinA1xy，而2()(xy)2(5)2(52)18，故選B.13設x1，y1，且lg(xy)4，則lgxlgy的最大值為_解析：x1，y1，lgx0，lgy0，lgxlgy()24(當且僅當lgxlgy2，即xy100時取等號)，當xy100時，lgxlgy有最大值4.答案：414設正數a，b滿足條件ab3，則直線(ab)xaby0的斜率的取值范圍是_解析：由k，3ab2，ab()2，k.答案：(，15當a0，a1時，函數f(x)loga(x1)1的圖象恒過定點A，若點A在直線mxyn0上，則4m2n的最小值是_解析