吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基本不等式及其應(yīng)用（2）導(dǎo)學(xué)案 文（通用）

1、吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基本不等式及其應(yīng)用（2）導(dǎo)學(xué)案 文知識(shí)梳理：1、基本不等式(1)重要不等式:如果a,bR ,那么a2+b22ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.(2)基本不等式: 如果a,b0.那么a+b2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.可以表述為兩正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2、重要結(jié)論：（1）a+1a2 （a0）當(dāng)且僅當(dāng)a=1，等號(hào)成立.（2）a+1a-2（a0）當(dāng)且僅當(dāng)a=b，等號(hào)成立.（4）、a2+b2+c2ab+bc+ca，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，等號(hào)成立.（5）、21a+1baba+b2a2+b22 （ a,b0.）當(dāng)且僅當(dāng)a=b，等號(hào)

2、成立.（6）、2a2+2b2(a+b)23、如果a,bR+ ,那么a+b+c33abc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，等號(hào)成立.(不等式證明選講內(nèi)容)二、題型探究探究一：利用基本不等式求最值：例1：（1）x,yR+ ,x+y=S（和為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，積xy取得最大值S24 ；（2）x,yR+ , xy=P（積為定值），則當(dāng)x=y時(shí)，和x+y取得最小值2P即：和定，積最大；積定，和最小。應(yīng)用基本不等式的條件：（1）、一正：各項(xiàng)為正數(shù)；（2）、二正：“和”或“積”為定值；（3）、三等：等號(hào)一定能取到，這三個(gè)條件缺一不可。例1：解答下列問題（1） 已知x2 ，求x+4x-2 的最小值；（2） 已知0x2

3、 ，求函數(shù)f(x)=x(8-3x)的最大值；（3） 求函數(shù)y=4sinx+sinx 0x0，y0 ，且x+y=1，求4x+9y的最小值。探究二：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)，要注意以下四點(diǎn)：（1）、先理解意，設(shè)變量時(shí)一般把要求的最值的變量定為函數(shù)；（2）、建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題；（3）、在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值；（4）、正確寫了答案。例2：某單位建造一間地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過a米，房屋正面的造價(jià)為400元/ 平方米,房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/ 平方米,屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)5

4、800元，如果墻高為3米，且不房屋背面的費(fèi)用。（1）、把房屋總選價(jià)y表示為x的函數(shù)，并寫出該函數(shù)的定義域；（2）、當(dāng)側(cè)面的長度為多少時(shí)？房屋的總造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少？三、方法提升基本不等式（也稱均值定理）具有將“和式”，“積式”相互轉(zhuǎn)化的功能，應(yīng)用比較廣泛，為了用好該不等式，首先要正確理解該不等式中的三人條件（三要素）正（各項(xiàng)或各因式為正值）、定（“和”或“積”為定值）、等（各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值，即具備等號(hào)成立的條件），簡稱“一正，二定，三相等”，這三個(gè)條件缺一不可，當(dāng)然還要牢記結(jié)論：和定，積最大；積定，和最小。但是在具體問題中，往往所給的條件并非“標(biāo)準(zhǔn)”的“一正，二定，三相等”，

5、（或隱藏在所給條件中），所以要對各項(xiàng)或各式作適應(yīng)的變形，通過湊，拆，添項(xiàng)等技巧，對“原始”條件進(jìn)行調(diào)整、轉(zhuǎn)化，使其符合標(biāo)準(zhǔn)的正、定、等。如果等號(hào)在變形的時(shí)候不成立，這時(shí)可以改用“對勾函數(shù)”來解決不能應(yīng)用基本不等式求解的情形。四、反思感悟 五、課時(shí)作業(yè)1(2020年高考重慶卷)已知a0，b0，則2的最小值是()A2 B2 C4 D5解析：選C.2224.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即ab1時(shí)，不等式取最小值4.2設(shè)點(diǎn)P(，1)(t0)，則|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值是()A3 B5 C. D.解析：選D.由已知得|，當(dāng)t2時(shí)取得等號(hào)3(原創(chuàng)題)若a0，b0，a，b的等差中項(xiàng)是，且a，b，則的最小值為()

6、A2 B3 C4 D5解析：選D.因?yàn)閍b1，所以ab11115，故選D.4若ab2，則3a3b的最小值是()A18 B6 C2 D2解析：選B.3a3b226.5已知x，則函數(shù)y2x的最大值是()A2 B1 C1 D2解析：選C.y2x(12x)1，由x0，根據(jù)基本不等式可得(12x)2，當(dāng)且僅當(dāng)12x即x0時(shí)取等號(hào)，則ymax1.正確答案為C.6(2020年高考天津卷)設(shè)a0，b0，若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為()A8 B4 C1 D.解析：選B.由題意知3a3b3，即3ab3，所以ab1.因?yàn)閍0，b0，所以()(ab)2224，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立7在面積為S(S為定值)

7、的扇形中，當(dāng)扇形中心角為，半徑為r時(shí)，扇形周長最小，這時(shí)，r的值分別是()A1，r B2，rC2，r D2，r解析：選D.Sr2，又扇形周長P2rr2(r)4，當(dāng)P最小時(shí)，rr，此時(shí)2.8已知圓x2y22x4y10關(guān)于直線2axby20(a0，b0)對稱，則的最小值是()A4 B6 C8 D9解析：選D.由圓的對稱性可得，直線2axby20必過圓心(1,2)，所以ab1.所以5259，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2b時(shí)取等號(hào)，故選D.9已知0x，則函數(shù)y5x(34x)的最大值為_解析：因?yàn)?x0，所以y5x(34x)20x(x)20()2，當(dāng)且僅當(dāng)xx，即x時(shí)等號(hào)成立答案：10.如下圖，某藥店有一架不準(zhǔn)確的

8、天平(其兩臂長不相等)和一個(gè)10克的砝碼，一個(gè)患者想要買20克的中藥，售貨員先將砝碼放在左盤上，放置藥品于右盤上，待平衡后交給患者；然后又將砝碼放在右盤上，放置藥品于左盤上，待平衡后再交給患者設(shè)患者一次實(shí)際購買的藥量為m(克)，則m_20克(請選擇填“”或“220，所以填“”答案：11已知不等式(xy)()9對任意的正實(shí)數(shù)x、y恒成立，求正數(shù)a的最小值解：(xy)()1aa12(a0)，要使原不等式恒成立，則只需a129，即(2)(4)0，故2，即a4，正數(shù)a的最小值是4.12.已知M是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且2，BAC30，若MBC，MCA和MAB的面積分別為，x，y，則的最小值是()A20 B1

9、8 C16 D9解析：選B.由已知得bccosBAC2bc4，故SABCxybcsinA1xy，而2()(xy)2(5)2(52)18，故選B.13設(shè)x1，y1，且lg(xy)4，則lgxlgy的最大值為_解析：x1，y1，lgx0，lgy0，lgxlgy()24(當(dāng)且僅當(dāng)lgxlgy2，即xy100時(shí)取等號(hào))，當(dāng)xy100時(shí)，lgxlgy有最大值4.答案：414設(shè)正數(shù)a，b滿足條件ab3，則直線(ab)xaby0的斜率的取值范圍是_解析：由k，3ab2，ab()2，k.答案：(，15當(dāng)a0，a1時(shí)，函數(shù)f(x)loga(x1)1的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mxyn0上，則4m2n的最小值是_解析