高考數(shù)學二輪復習專題一專題整合突破第2講不等式及線性規(guī)劃講義

1、第第 2 2 講講不等式及線性規(guī)劃不等式及線性規(guī)劃 高考定位不等式的性質(zhì)、求解、證明及應用是每年高考必考的內(nèi)容，對不等式 的考查一般以選擇題、填空題為主 (1)主要考查不等式的求解、利用基本不等 式求最值及線性規(guī)劃求最值；(2)不等式相關的知識可以滲透到高考的各個知識 領域，往往作為解題工具與數(shù)列、函數(shù)、向量相結(jié)合，在知識的交匯處命題，難 度中檔；在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍或在解決導數(shù)問題時經(jīng) 常利用不等式進行求解，但難度偏高 真真 題題 感感 悟悟 1 1(2015重慶卷)“x1”是“l(fā)og2(x2)0”的() A充要條件 C必要而不充分條件 B充分而不必要條件 D既不充分也

2、不必要條件 11 解析由 x1x23log2(x2)0，log2(x2)0x21x1，故 1 “x1”是“l(fā)og2(x2)0”成立的充分不必要條件因此選 B. 答案B xy0， 2(2015北京卷)若 x，y 滿足xy1，則 zx2y 的最大值為( x0， 3 A0B1C.D2 2 11 解析可行域如圖所示目標函數(shù)化為 y2x2z， ) 11 當直線 y2x2z 過點 A(0，1)時，z 取得最大值 2. 答案D 1ab ，r (f(a) 3(2015陜西卷)設 f(x)ln x，0ab，若 pf( ab)，qf 2 2 f(b)，則下列關系式中正確的是() Aqrp Cprq ab 解析0a

3、b， 2 ab， 又f(x)ln x 在(0，)上為增函數(shù)， ab f( ab)，即 qp.故 f 2 11 又 r2(f(a)f(b)2(ln aln b) 111 2ln a2ln bln(ab)2f( ab)p. 故 prq.選 C. 答案C Bqrp Dprq x10， y 4 (2015全國卷)若 x， y 滿足約束條件xy0，則x的最大值為_ xy40， yy0 解析約束條件的可行域如圖，由x，則最大值為 3. x0 答案3 考考 點點 整整 合合 1解含有參數(shù)的一元二次不等式，要注意對參數(shù)的取值進行討論：對二次項 系數(shù)與 0 的大小進行討論；在轉(zhuǎn)化為標準形式的一元二次不等式后，對

4、判別式 與 0 的大小進行討論；當判別式大于 0，但兩根的大小不確定時，對兩根的大 小進行討論 2利用基本不等式求最值 S2 已知 x，yR ，則(1)若 xyS(和為定值)，則當 xy 時，積 xy 取得最大值 4 xy2S2 xy ；(2)若 xyP(積為定值)，則當 xy 時，和 xy 取得最小值 4 2 2 P(xy2 xy2 P) 3平面區(qū)域的確定方法是“直線定界、特殊點定域” ，二元一次不等式組所表示 的平面區(qū)域是各個不等式所表示的半平面的交集線性目標函數(shù) zaxby 中的 azz z 不是直線 axbyz 在 y 軸上的截距，把目標函數(shù)化為 ybxb，可知b是直 線 axbyz

5、在 y 軸上的截距，要根據(jù)b 的符號確定目標函數(shù)在什么情況下取得 最大值、什么情況下取得最小值 4不等式的證明 不等式的證明要注意和不等式的性質(zhì)結(jié)合起來， 常用的方法有： 比較法、 作差法、 作商法(要注意討論分母)、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法、反證法，還要結(jié)合放 縮和換元的技巧其中，比較法是應用最為廣泛的證明方法，在導數(shù)、解含參不 等式、數(shù)列等知識點都有滲透. 熱點一利用基本不等式求最值 微題型 1基本不等式的簡單應用 【例 11】 (2015菏澤模擬)已知兩個正數(shù) x，y 滿足 x4y5xy，則 xy 取最 小值時，x，y 的值分別為() 5 A5，5B10，2C10，5D10，10 解析

6、x0，y0，x4y5xy2 4xy5， 即 xy4 xy50，可求 xy25. 5 當且僅當 x4y 時取等號，即 x10，y2. 答案B 探究提高在使用基本不等式求最值時一定要檢驗等號能否取到， 有時也需進行 常值代換 微題型 2帶有約束條件的基本不等式問題 1 【例 12】 (2015四川卷)如果函數(shù) f(x)2(m2)x2(n8)x1(m0，n0) 1 在區(qū)間2，2上單調(diào)遞減，那么 mn 的最大值為( ) 81 A16B18C25D. 2 解析令 f (x)(m2)xn80，x 當 m2 時，對稱軸 x0 n8 ， m2 n8 ， m2 n8 由題意，2，2mn12， m2 2mn2mn

7、 2 6， mn18，由 2mn12 且 2mn 知 m3，n6， 當 m2 時，拋物線開口向下， n81 由題意 ，即 2nm18， m22 2mn2nm 81 9，mn 22 ， 由 2nm18 且 2nm， 得 m9(舍去)，mn 最大值為 18，選 B. 答案B 探究提高在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使 其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、 “定”(不等式的另一邊 必須為定值)、 “等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤 【訓練 1】 (1)(2015廣州模擬)若正實數(shù) x，y 滿足 xy1xy，則 x2y 的最 小值是() A

8、3B5C7D8 (2)已知關于 x 的不等式 2x 值為() A1 C2 2 7 在 x(a，)上恒成立，則實數(shù)a 的最小 xa 3 B.2 5 D.2 x1 解析(1)由 xy1xy，得 y， x1 又 y0，x0，x1. x2yx2 x2 2 x1 x21x1 x1 44 3(x1)347， x1x1 當且僅當 x3 時取“” (2)x(a，)，xa0，2x 2 2 2（xa）2a42a， xa 22 2(xa)2a xaxa 3 由題意可知 42a7，得 a2， 3 則實數(shù) a 的最小值為2，故選 B. 答案(1)C(2)B 熱點二含參不等式恒成立問題 微題型 1運用分離變量解決恒成立問

9、題 4 【例 21】 關于 x 的不等式 xx1a22a0 對 x(0，)恒成立，則實 數(shù) a 的取值范圍為_ 44 解析設 f(x)xx，因為 x0，所以 f(x)xx2 4 x x4.又關于 x 的不等 4 式 xx1a22a0 對 x(0，)恒成立，所以 a22a14，解得1 a3，所以實數(shù) a 的取值范圍為(1，3) 答案(1，3) 探究提高一是轉(zhuǎn)化關，即通過分離參數(shù)法，先轉(zhuǎn)化為 f(a)g(x)(或 f(a)g(x) 對xD 恒成立，再轉(zhuǎn)化為 f(a)g(x)max(或 f(a)g(x)min)； 二是求最值關，即求函數(shù) g(x)在區(qū)間 D 上的最大值(或最小值)問題 微題型 2構(gòu)造

10、函數(shù)(主輔元轉(zhuǎn)換)解決恒成立問題 【例 22】 已知 f(t)log2t，t 2，8，對于 f(t)值域內(nèi)的所有實數(shù) m，不等 式 x2mx42m4x 恒成立，求 x 的取值范圍 1 解易知 f(t)2，3， 由題意， 令 g(m)(x2)mx24x4(x2)m(x2)2 1 0 對m2，3恒成立 1 g 20， 所以只需 即可， g（3）0 1 （x2）（x2）20， 即 2 x2 或 x1. 3（x2）（x2）20 故 x 的取值范圍是(，1)(2，) 探究提高主、輔元互換可以實現(xiàn)對問題的有效轉(zhuǎn)化，由繁到簡，應用這種方法 的過程中關鍵還是把握恒成立的本質(zhì)，巧用轉(zhuǎn)化思想，靈活處理，從而順利解

11、決 問題 【訓練 2】 (1)(2015淄博模擬)已知 a0，b0，若不等式 立，則 m 的最大值為() A4B16C9D3 (2)若不等式 x2ax10 對于一切 a2，2恒成立，則 x 的取值范圍是 _ m31 3 1 解析(1)因為 a0，b0，所以由 0 恒成立得 mab(3ab) 3abab 3b3a 10 a b 恒成立 3b3a 因為 a b 2 3b 3a a b 6， m31 ab0 恒成 3ab 3b3a 當且僅當 ab 時等號成立，所以 10 a b 16， 所以 m16，即 m 的最大值為 16，故選 B. (2)因為 a2，2，可把原式看作關于 a 的函數(shù)， 即 g(

12、a)xax210， g（2）x22x10， 由題意可知 解之得 xR R. 2 g（2）x 2x10， 答案(1)B(2)R R 熱點三簡單的線性規(guī)劃問題 微題型 1已知約束條件，求目標函數(shù)最值 xy70， 【例 31】 設 x， y 滿足約束條件x3y10，則 z2xy 的最大值為( 3xy50， A10B8C3D2 ) 解析畫出可行域如圖所示，由z2xy，得y2xz，欲求z 的最大值，可將 直線 y2x 向下平移，當經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點，且滿足在 y 軸上的截距z 最小時， 即得 z 的最大值，如圖，可知當過點 A 時 z 最大， xy70，x5， 由 得 x3y10，y2， 即 A(5，2)，

13、則 zmax2528. 答案B 探究提高線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化， 即數(shù)形結(jié)合的思想需要注意 的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與 約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數(shù)的最 大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得 微題型 2已知最值求參數(shù)問題 xy0， 【例 32】 (2015山東卷)已知 x，y 滿足約束條件xy2，若 zaxy 的最 y0， 大值為 4，則 a() A3B2C2D3 解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示易知 A(2，0)， xy0， 由 得 B(1，1) xy2， 由 zaxy，得 yaxz. 當

14、 a2 或 a3 時， zaxy 在 O(0， 0)處取得最大值， 最大值為 zmax0， 不滿足題意，排除C，D 選項；當a2 或 3 時，zaxy 在 A(2，0)處取得最大 值， 2a4，a2，排除 A，故選 B. 答案B 探究提高對于線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，需注意： (1)當最值是已知時，目標函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關，解題時應充分利 用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化 (2)當目標函數(shù)與最值都是已知，且約束條件中含有參數(shù)時，因為平面區(qū)域是變 動的，所以要抓住目標函數(shù)及最值已知這一突破口，先確定最優(yōu)解，然后變動參 數(shù)范圍，使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)即可 微題型 3非線性規(guī)劃問題 3 【例 33】

15、 已知動點 P(x，y)在過點2，2且與圓 M：(x1)2(y2)25 相切的兩條直線和 xy10 所圍成的區(qū)域內(nèi)，則 z|x2y3|的最小值為 () 5 A. 5 C. 5 B1 D5 解析由題意知，圓 M：(x1)2(y2)25 的圓心坐標為(1，2) 3 3 3 ，2的直線方程可設為 ykx22，即 kxy k20.過點 22 3 k122k2 3 因為直線 kxy2k20 和圓 M 相切，所以 5，解得 k 1k2 2，所以兩條切線方程分別為 l1：2xy10，l2：2xy50.由直線 l1， l2和 xy10 所圍成的區(qū)域如圖所示 z|x2y3| 5|x2y3|的幾何意義為可行域內(nèi)的

16、點到直線 x2y30 的 5 距離的 5倍由圖知，可行域內(nèi)的點B 到直線 x2y30 的距離最小，則zmin |0213|1，故選 B. 答案B 探究提高線性規(guī)劃求最值問題要明確目標函數(shù)的幾何意義： (1)目標函數(shù)為一 次函數(shù)，幾何意義可等價為橫、縱截距，平移直線即可求出最值； (2)目標函數(shù) 為二次函數(shù)，可等價距離的平方，但要注意求距離最值時，若利用垂線段，需考 慮垂足是否在可行域內(nèi)，所以此時更要注意數(shù)形結(jié)合的重要性； (3)目標函數(shù)為 一次函數(shù)絕對值，可構(gòu)造點到直線的距離，但莫忘等價變形(即莫忘除以系數(shù))； (4)目標函數(shù)為一次分式，可等價直線的斜率 xy0， 【訓練 3】 若 x，y 滿

17、足條件xy0，且 z2x3y 的最大值是 5，則實數(shù) a ya， 的值為_ 解析畫出滿足條件的可行域如圖陰影部分所示， 則當直線 z2x3y 過點 A(a， a)時，z2x3y 取得最大值 5，所以 52a3a，解得 a1. 答案1 1應用不等式的性質(zhì)時應注意的兩點 (1)兩個不等式相加的前提是兩個不等式同向；兩個不等式相乘的前提是兩個不 等式同向，且不等式兩邊均大于 0；不等式原則上不能相減或相除 (2)不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，但要注意區(qū)分不等式各性質(zhì)的是否可逆 性 2多次使用基本不等式的注意事項 當多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且要注意取 等號的條件的一

18、致性，否則就會出錯，因此在利用基本不等式處理問題時，列出 等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法 3均值不等式除了在客觀題考查外，在解答題的關鍵步驟中 也往往起到“巧解”的作用，但往往需先變換形式才能應用 4解決線性規(guī)劃問題首先要作出可行域，再注意目標函數(shù)表示的幾何意義，數(shù) 形結(jié)合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一 定要準確，整點問題要驗證解決 5解答不等式與導數(shù)、數(shù)列的綜合問題時，不等式作為一種工具常起到關鍵的 作用，往往涉及到不等式的證明方法(如比較法、分析法、綜合法、放縮法、換 元法等)在求解過程中，要以數(shù)學思想方法為思維依據(jù)，

19、并結(jié)合導數(shù)、數(shù)列的 相關知識解題， 在復習中通過解此類問題，體會每道題中所蘊含的思想方法及規(guī) 律，逐步提高自己的邏輯推理能力 一、選擇題 1(2015天津卷)設 xR R，則“|x2|1”是“x2x20”的() A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 解析由|x2|1 得 1x3， 由 x2x20， 得 x2 或 x1， 而 1x3x 2 或 x1，而 x2 或 x1/ 1x3，所以， “|x2|1”是“x2x2 0”的充分而不必要條件，選 A. 答案A xy 2(2015臨汾模擬)若點 A(m，n)在第一象限，且在直線341 上，則 mn 的最 大值是()

20、 A3B4C7D12 xym 解析因為點 A(m，n)在第一象限，且在直線 1 上，所以m，nR R，且 343 mn mn13nm n34 2 當且僅當 3 42，即m2，n2時，取“”，41，所以 3 () 42 m n 12 1 所以 3 424，即 mn3，所以 mn 的最大值為 3. 答案A 4x5y8， 3(2015廣東卷)若變量 x，y 滿足約束條件1x3，則 z3x2y 的最小值 0y2， 為() 31 A. 5 23 C. 5 B6 D4 3z 解析不等式組所表示的可行域如下圖所示，由 z3x2y 得 y2x2，依題 43z 意當目標函數(shù)直線 l：y2x2經(jīng)過 A1，5時，z

21、 取得最小值，即 zmin31 423 25 5 ，故選 C. 答案C 4已知正數(shù) x，y 滿足 x2 2xy(xy)恒成立，則實數(shù) 的最小值為() A1 C3 解析x0，y0， x2y2 2xy(當且僅當 x2y 時取等號) 又由 x2 2xy(xy)可得 x2 2xy， xy B2 D4 x2 2xyx（x2y） 而2， xyxy x2 2xy 當且僅當 x2y 時，2. xy max 的最小值為 2. 答案B x2y10， 5(2015衡水中學期末)已知約束條件axy0，表示的平面區(qū)域為 D，若 x1 區(qū)域 D 內(nèi)至少有一個點在函數(shù) yex的圖象上，那么實數(shù) a 的取值范圍為() Ae，

22、4) C1，3) Be，) D2，) 解析如圖：點(1，e)滿足 axy0，即 ae. 答案B 二、填空題 x2y0， 6(2015福建卷改編)若變量 x，y 滿足約束條件xy0，則 z2xy 的 x2y20， 最小值等于_ 解析如圖，可行域為陰影部分，線性目標函數(shù) z2xy 可化為 y2xz，由 115 圖形可知當 y2xz 過點1，2時 z 最小，zmin2(1)22. 5 答案2 2 x 3，x1， 7 (2015浙江卷)已知函數(shù) f(x) x 則 f(f(3)_， f(x) lg（x21），x1， 的最小值是_ 2 解析f(f(3)f(1)0，當x1 時，f(x)xx32 23，當且僅

23、當 x 2 時，取等號；當 x1 時，f(x)lg(x21)lg 10，當且僅當 x0 時，取等號， f(x)的最小值為 2 23. 答案02 23 8 (2015日照模擬)已知 x0， y0， x3yxy9， 則x3y的最小值為_ 解析由已知，得 xy9(x3y)， x3y2 ， 即 3xy273(x3y) 2 令 x3yt，則 t212t1080， 解得 t6 或 t18(舍)，即 x3y6. 答案6 三、解答題 9已知函數(shù) f(x) 2x . x26 (1)若 f(x)k 的解集為x|x3，或 x2，求 k 的值； (2)對任意 x0，f(x)t 恒成立，求 t 的取值范圍 解(1)f(x)kkx22x6k0. 由已知x|x3，或 x2是其解集，得 kx22x6k0 的兩根是3，2. 22 由根與系數(shù)的關系可知(2)(3)k，即 k5. (2)因為 x0，f(x) 2x226 6 2 6 6 ，當且僅當x 6時取等號由已知 x26 xx 6 6 f(x)t 對任意 x0 恒成立，故 t 6 ，即 t 的取值范圍是，. 6 10如圖，建立平面直角坐標系 xOy，x 軸在地平面上，y 軸垂直于地平面，單 1 位長度為 1 千米 某炮位于坐標原點 已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程 ykx20(1 k2