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1、江蘇省海安中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段測試試題三(含解析)一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1設(shè)全集,2,3,4,若,2,則集合解:全集,2,3,4,若,2,則集合,故答案為:,2已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則的模為解:復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),故答案為:3已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,極差為,方差為,則數(shù)據(jù),的方差為_.故答案為:4如圖是一個算法的偽代碼,其輸出的結(jié)果為解:模擬執(zhí)行偽代碼,可得:故答案為:5從0、2中選一個數(shù)字從1、3、5中選兩個數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)其中無重復(fù)的個數(shù)為解:從0、2中選一個數(shù)字0,則0不只能排在百位,從1、3、5中
2、選兩個數(shù)字之一排在百位,共有種;從0、2中選一個數(shù)字2,從1、3、5中選兩個數(shù)字全排列,共有種;故共有種故答案為:306在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為解:因為,所以,所以漸近線方程為故答案為:7將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象,則的值為解:由將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象,可得把函數(shù)的圖象向左平移個單位后得函數(shù)的圖象,故,則,故答案為:48設(shè)定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間,上是單調(diào)減函數(shù),且(2),則實數(shù)的取值范圍是解:根據(jù)題意,是在上的奇函數(shù),且在區(qū)間,上是單調(diào)減函數(shù),則其在區(qū)間上遞減,則函數(shù)在上為減函數(shù),(2)(2),解可得:;即實數(shù)的取值范圍
3、是;故答案為:9在銳角三角形中,則的值為解:銳角三角形中,則,故答案為:7910設(shè)為數(shù)列的前項和,若,且,則的值為解:由,可得解法1:當(dāng)時,由,得,即,數(shù)列是首項,公差為6的等差數(shù)列,解法2:當(dāng)時,由,可得,數(shù)列是首項,公差為3的等差數(shù)列,11.設(shè)正實數(shù),滿足,則實數(shù)的最小值為解:由正實數(shù),滿足,化為,化為,解得因此實數(shù)的最小值為故答案為:12如圖,正四棱柱的體積為27,點,分別為棱,上的點(異于端點),且,則四棱錐的體積為解:連接,正四棱柱的體積為27,點,分別為棱,上的點(異于端點),且,四棱錐的體積故答案為:913已知向量,滿足,且與的夾角的正切為,與的夾角的正切為,則的值為解:可設(shè),由
4、題意可得,則,即為,又,為銳角,可得,同理可得,由正弦定理可得,即有,則故答案為:14已知,若同時滿足條件:,或;,則的取值范圍是解:對于,當(dāng)時,又,或在時恒成立則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口只能向下,且二次函數(shù)與軸交點都在的左面則即成立的范圍為又,此時恒成立在有成立的可能,則只要比,中的較小的根大即可,當(dāng)時,較小的根為,不成立,當(dāng)時,兩個根同為,不成立,當(dāng)時,較小的根為,即成立綜上可得成立時故答案為:二、解答題:本大題共6小題,共計90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15(本小題滿分14分)已知的面積為,且,向量和向量是共線向量(1)求角;(2)求的邊長解:(1
5、),即,(2)由得:,16(本小題滿分14分)如圖,四棱錐的底面為矩形,且,分別為,中點(1)求證:平面;(2)若平面平面,求證:平面平面證明:(1)方法一:取線段的中點,連接,因為為的中點,所以,且因為四邊形為矩形,為的中點,所以,且所以,且所以四邊形為平行四邊形所以 又平面,平面,所以平面 方法二:連接并延長交的延長線于,連接因為四邊形為矩形,所以,所以,又,所以所以又為的中點,所以(5分)又平面,平面,所以平面 方法三:取的中點,連接,在矩形中,為的中點,所以,且所以四邊形為平行四邊形,所以又平面,平面,所以平面 因為,分別為,的中點,所以又平面,平面,所以平面又,平面,所以平面平面 因
6、為平面,所以平面 (2)設(shè),相交于在矩形中,因為,為的中點所以又,所以,所以又,所以由的內(nèi)角和為,得即 因為平面平面因為平面,所以平面, 又平面,所以平面平面 17(本小題滿分14分)如圖,是兩條海岸線,為海中一個小島,為海岸線上的一個碼頭已知,到海岸線,的距離分別為,現(xiàn)要在海岸線上再建一個碼頭,使得在水上旅游直線經(jīng)過小島(1)求水上旅游線的長;(2)若小島正北方向距離小島處的海中有一個圓形強水波,從水波生成時的半徑為為大于零的常數(shù))強水波開始生成時,一游輪以的速度自碼頭開往碼頭,問實數(shù)在什么范圍取值時,強水波不會波及游輪的航行解:(1)以點 為坐標(biāo)原點,直線 為 軸,建立直角坐標(biāo)系如圖所示則
7、由題設(shè)得:,直線 的方程為,由,及 得,直線 的方程為,即,由 得 即,即水上旅游線 的長為(2)設(shè)試驗產(chǎn)生的強水波圓,由題意可得,生成 小時時,游輪在線段 上的點 處,則,強水波不會波及游輪的航行即,當(dāng) 時,上式恒成立,當(dāng),當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立,所以,在 時 恒成立,亦即強水波不會波及游輪的航行18(本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓過點,其左、右焦點分別為、,離心率為(1)求橢圓的方程;(2)若、分別為橢圓的左、右頂點,動點滿足,且交橢圓于點求證:為定值;設(shè)與以為直徑的圓的另一交點為,問:直線是否過定點,并說明理由解:(1)由題意可得且,解得,即有橢圓方程為;(2)證明:由,設(shè)
8、,可得,代入橢圓方程可得,由,可得,則為定值;直線過定點理由如下:由題意可得,由與以為直徑的圓的另一交點為,可得,即有則直線,即,故直線過定點19(本小題滿分16分)已知數(shù)列滿足:(常數(shù),數(shù)列滿足:(1)求,的值;(2)求出數(shù)列的通項公式;(3)問:數(shù)列的每一項能否均為整數(shù)?若能,求出的所有可能值;若不能,請說明理由解:(1)由已知可知:,把數(shù)列的項代入,求得,;(2)由,可知:則:有:,即:,;(3)假設(shè)存在正數(shù),使得數(shù)列的每一項均為整數(shù),則由(2)可知:,由,可知,2當(dāng)時,為整數(shù),利用,結(jié)合式,可知的每一項均為整數(shù);當(dāng)時,變?yōu)?,用?shù)學(xué)歸納法證明為偶數(shù),為整數(shù)時,結(jié)論顯然成立,假設(shè)時結(jié)論成立
9、,這時為偶數(shù),為整數(shù),故為偶數(shù),為整數(shù),時,命題成立故數(shù)列是整數(shù)列綜上所述,為1,2時,數(shù)列是整數(shù)列20(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù),(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若,試判斷函數(shù)在區(qū)間,內(nèi)的極值點的個數(shù),并說明理由;(3)求證:對任意的正數(shù),都存在實數(shù),滿足:對任意的,解:(1)當(dāng)時,令,列表分析10單調(diào)遞減單調(diào)遞增故的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為(2),其中,令,分析的零點情況,令,列表分析,0單調(diào)遞減單調(diào)遞增,而,若,則,故在,內(nèi)沒有極值點;若,則,因此在,有兩個零點,在,內(nèi)有兩個極值點;若,則,因此在,有一個零點,在,內(nèi)有一個極值點;綜上所述,當(dāng),時,在,內(nèi)沒有極值點;當(dāng),時,在,內(nèi)
10、有兩個極值點;當(dāng),時,在,內(nèi)有一個極值點(3)猜想:,恒成立證明如下:由(2)得在,上單調(diào)遞增,且(1),因為當(dāng)時,所以故在上存在唯一的零點,設(shè)為 由, 0單調(diào)遞減單調(diào)遞增知,(1),又,而時,所以(1)即,所以對任意的正數(shù),都存在實數(shù),使對任意的,使補充證明令,所以在,上單調(diào)遞增所以時,(1),即補充證明令,所以在,上單調(diào)遞減所以時,(1),即海安中學(xué)2020屆高三階段測試三數(shù)學(xué)附加題21選做題,本題包括三小題,請選定其中兩題,并在相應(yīng)區(qū)域作答A.已知二階矩陣,矩陣屬于特征值的一個特征向量為,屬于特征值的一個特征向量為求矩陣解:由特征值、特征向量定義可知,即,得 同理可得 解得,因此矩陣 B
11、在極坐標(biāo)系中,已知 1, , 9, ,線段的垂直平分線與極軸交于點,求的極坐標(biāo)方程及的面積解:由題意,線段的中點坐標(biāo)為,設(shè)點為直線上任意一點,在直角三角形中,所以,的極坐標(biāo)方程為, 令,得,即(8分)所以,的面積為:22已知實數(shù),滿足,求證:證明:由,可得,要證,即證,由于,即證,即為,顯然成立故原不等式成立23如圖,在四棱錐中,已知棱,兩兩垂直,長度分別為1,2,2若,且向量與夾角的余弦值為(1)求實數(shù)的值;(2)求直線與平面所成角的正弦值解:以為坐標(biāo)原點,分別以,為,軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系;則:,0,0,2,0,;,可得,2,(1),2,2,向量與夾角的余弦值為可得,解得(舍去)或?qū)崝?shù)的值為2;(2),2,2,平面的法向量,則且,即:,不妨去,平面的法向量,1,又,0,故直線與平面所成角的
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