定積分的概念最新版本

1、,.,實(shí)例1 （求曲邊梯形的面積）,一、問題的提出,.,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,（四個(gè)小矩形）,（九個(gè)小矩形）,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,播放,.,曲邊梯形如圖所示，,.,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,.,實(shí)例2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）,思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值,.,（1）分割,（2）求和,（3）取極限,路程的精確值,.,二、定積分的定義,定義,.,記為,積分上限

2、,積分下限,Riemann積分和,.,注意：,.,對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:,.,定理1,定理2,三、存在定理,稍后證明。,.,注：1)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，即使有無限多個(gè)間斷點(diǎn)，仍不失其可積性.,在0,1上可積.,2)在有限區(qū)間a,b上可積的函數(shù)必在該區(qū)間上有界. 簡(jiǎn)言之，可積必定有界.反之不真.,例如Dirichlet 函數(shù)在0，1上不可積.,.,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,四、定積分的幾何意義,.,幾何意義：,.,解,(1)如圖，,例：用定積分的幾何意義求下列定積分的值：,(2)如圖，,.,例1 利用定義計(jì)算定積分,解,.,注：積分存在時(shí)，求積分值時(shí)可等分區(qū)間且取特殊點(diǎn)為介點(diǎn)，比如小區(qū)

3、間的左右端點(diǎn)、中點(diǎn)；但證明函數(shù)的可積時(shí)，區(qū)間的劃分和介點(diǎn)的選取必須是任意的。,.,例2 利用定義計(jì)算定積分,解,.,例2 利用定義計(jì)算定積分,解,.,.,證明,利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)得,.,極限運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算換序得,.,故,注：存在不可積函數(shù)，例如Dirichlet 函數(shù).,.,五、小結(jié),定積分的實(shí)質(zhì)：Riemann和式的極限,定積分的思想和方法：,求近似以直（不變）代曲（變）,取極限,.,思考題,將和式極限：,表示成定積分.,.,思考題解答,原式,.,練 習(xí) 題,.,.,練習(xí)題答案,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩

4、形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,.,觀察下