2集合的基本關(guān)系及運(yùn)算

1、集合的基本關(guān)系和運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解集合之間包含和相等的含義，并確定給定集合的一些子集。在特定情況下，理解空集和全集的含義。2.理解兩個(gè)集合的交和并的含義，就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交和并。理解給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)的意義，就能找到給定子集的補(bǔ)。梳理要點(diǎn)要點(diǎn)一：集合之間的關(guān)系1.集合之間的“包含”關(guān)系集合a是由集合b的一些元素組成的集合，我們說集合b包含集合a；子集：如果集合A的任何元素是集合B的元素，我們說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，而集合A是集合B的子集。當(dāng)集合A不包含在集合B中時(shí)，它被記為AB，文氏圖用來表示兩個(gè)集合之間的“包含”關(guān)系：要點(diǎn)說明：(1)“是子集”的含義是“是”的任何元素都是一個(gè)元素

2、，也就是說，它可以從任何。(2)當(dāng)它不是的子集時(shí)，我們將其寫為“(或)”并將其讀為“不包含在”(或“不包含”)。適當(dāng)子集：如果集合中有元素xB，那么集合A就是集合b的適當(dāng)子集它規(guī)定空集是任何集合的子集，是任何非空集的適當(dāng)子集。2.集合之間的“平等”關(guān)系，A和B中的元素是相同的，所以A=B要點(diǎn)說明：任何集合都是自身的子集，稱為。二、集合的運(yùn)算1.聯(lián)盟通常，由屬于集合A或集合B的所有元素組成的集合被稱為集合A和集合B的并集，它被標(biāo)記為：AB發(fā)音為“A和B”，即AB=x|xA，或xB維恩圖顯示：要點(diǎn)說明：(1)“xa或xB”包含三種情況：“”;”； 。(2)當(dāng)兩個(gè)集合合并時(shí)，結(jié)果仍然是一個(gè)集合，它由

3、集合A和集合B的所有元素組成(重復(fù)的元素只出現(xiàn)一次)。2.交集一般來說，由屬于集合A和集合B的元素組成的集合稱為集合A和集合B的交集；它被寫成：AB，它被理解為“A付B”，即，AB= x | xA，和XB ；交叉口的維恩圖表示：要點(diǎn)說明：(1)沒有任何兩組具有共同的元素。當(dāng)集合A和集合B沒有公共元素時(shí)，不能說集合A和集合B不相交。(2)概念中“所有”一詞的含義不僅是“AB中的任何元素都是A和B的共同元素”，而且是“A和B的共同元素都屬于AB”。(3)當(dāng)兩個(gè)集合相交時(shí)，結(jié)果仍然是一個(gè)集合，它由集合A和集合b的所有公共元素組成.3.補(bǔ)集全集：一般來說，如果一個(gè)集合包含了我們研究的問題中涉及的所有元

4、素，那么它被稱為全集，通常被記錄為u .補(bǔ)集：對(duì)于完備集u的子集a，由完備集u中不屬于集合a的所有元素組成的集合被稱為集合a相對(duì)于完備集u的補(bǔ)集，它被簡(jiǎn)稱為集合a的補(bǔ)集，并被寫成：補(bǔ)集的維恩圖表示：要點(diǎn)說明：(1)當(dāng)我們理解互補(bǔ)集的概念時(shí)，應(yīng)該注意到互補(bǔ)集是給定集、定集的一個(gè)相對(duì)概念，不同集的互補(bǔ)集是不同的.(2)全集與研究問題相關(guān)。如果我們只研究整數(shù)范圍內(nèi)的問題，它就是完整的集合；當(dāng)問題擴(kuò)展到實(shí)數(shù)集時(shí)，它是一個(gè)完整的集合，然后它不是一個(gè)完整的集合。(3)當(dāng)u是完備集的補(bǔ)集時(shí)，如果完備集被其他集(如)代替，符號(hào)中的“u”也必須被相應(yīng)的集(如)代替。4.集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論如果AB=A，那么反

5、之亦然如果AB=B，那么反之亦然如果x(AB)，則xA和xB如果x(AB)，則xA或xB求集合的并、交、補(bǔ)是集合之間的基本運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果仍然是集合。區(qū)分交集和并集的關(guān)鍵是“和”或。在處理交與并的問題時(shí)，我們經(jīng)常從這兩個(gè)詞中揭示和挖掘假設(shè)條件，并結(jié)合文氏圖或數(shù)軸以集合語(yǔ)言來表達(dá)它們，從而增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思維方法。典型示例第一類，集合之間的關(guān)系例1。設(shè)定，設(shè)定，那么它們之間的關(guān)系是()。A.以上都不正確答案 b【總結(jié)與升華】判斷兩個(gè)集合之間關(guān)系的關(guān)鍵是找出這兩個(gè)集合的元素組成，即找出這兩個(gè)集合由哪些元素組成。這需要將更抽象的集合具體化(例如，通過枚舉來表示集合)和可視化(例如，通過維恩圖或數(shù)字集合

6、來表示它們)?；ハ囝惐龋鹤冃?如果設(shè)置，則()。A.學(xué)士=博士答案 c例2。寫集合a，b，c的所有不同子集。摘要和升華要寫一個(gè)集合的所有子集，我們可以根據(jù)子集中元素的數(shù)量分別寫它們。當(dāng)元素的數(shù)量相同時(shí)，我們應(yīng)該在編寫剩余的子集之前依次考慮每個(gè)元素。例如，在這個(gè)例子中，要寫兩個(gè)元素的子集，我們應(yīng)該從A開始，其中A用a，b，a，c匹配每個(gè)元素，然后看B而不是A互相類比：變體1是已知的，那么這樣的集合有一個(gè)。答案 7變式2同時(shí)滿足：；，則has()的非空集合A.公元前16年，公元前15年，公元7年，公元6年答案 c例3:集合A=x|y=x2 1，B=y|y=x2 1，C=(x，y)|y=x2 1，D

7、=y=x2 1是否代表同一集合？答案以上四套都不一樣認(rèn)識(shí)集合的屬性是突破這些問題的關(guān)鍵。首先，應(yīng)該明確集合的表示方法是枚舉還是描述；其次，對(duì)于通過描述表達(dá)的集合，我們必須尋找有代表性的元素，并準(zhǔn)確理解對(duì)有代表性元素的約束?；ハ囝惐龋鹤凅w1如果設(shè)置了集合，則()A.學(xué)士學(xué)位答案 d變體2如果設(shè)置了集合，則和之間的關(guān)系為()A.學(xué)士學(xué)位答案 a變型3讓M=x|x=a2 1，aN，N=x|x=b2-4b 5，bN，然后M和N滿足()A.M=N b . MN c . NM d . MN=答案 b例4。眾所周知，如果M=N，那么。A.-公元前200年-公元100年【思路】要解決這個(gè)問題，我們應(yīng)該從集合元

8、素的三個(gè)特征入手，關(guān)注集合中元素的異質(zhì)性。答案 d【總結(jié)與升華】要解決這個(gè)問題，很容易忽視集合元素的“異質(zhì)性”特征，卻找不到問題的突破口。因此，集合元素的特征是分析和解決一些集合問題的切入點(diǎn)?；ハ囝惐龋鹤凅w1讓a、bR、set，然后b-a=()答案 2類型2，機(jī)組運(yùn)行例5。讓我們?cè)O(shè)定，并尋找。回答，總結(jié)和升華找到兩個(gè)集合的交集或并集的關(guān)鍵是找出哪些元素是由這兩個(gè)集合組成的，因此有時(shí)有必要對(duì)這些集合進(jìn)行轉(zhuǎn)換、具體化和可視化。例如，用自然語(yǔ)言描述這些集合有助于找出集合元素的構(gòu)成。同樣，如果一個(gè)集合元素的特征由不等式給出，這個(gè)問題可以用數(shù)軸來表示。互相類比：變型1如果集合M=y|y=x2-4x 3，

9、xR，N=y|y=-x2-2x 8，xR，則MN等于()A.公元前-1，9年-1，9答案 d例6。設(shè)M=3，a，N=x|x2-2x0，xZ，M ; N= 1 ，則MN為()A.1，3，a B. 1，2，3，a C. 1，2，3 D. 1，3思想首先，簡(jiǎn)化集合n，然后利用集合中元素的異質(zhì)性來解決問題。答案 d互相類比：變式1 (1)已知M=x|x2，P=x|x2-x-2=0，求MP和MP；(2)已知A=y|y=3x2，B=y|y=-x2 4，并求出：a b，AB；(3)已知集A=-3，a2，1 a，B=a-3，a2 1，2a-1，其中aR，如果A ; B=-3 ，則找到a B .答案 (1)x|

10、x2或x=-1， 2 ；(2)y|0y4，R；(3)-4，-3，0，1，2?？偨Y(jié)升華這個(gè)例子不僅練習(xí)了集合的操作，還考察了集合元素的異質(zhì)性。其中，(1)當(dāng)易錯(cuò)點(diǎn)是并集時(shí)，你是否意識(shí)到你應(yīng)該組成孤立點(diǎn)-1；在(2)中，結(jié)合了二次函數(shù)的值域問題。在(3)中，根據(jù)集合元素的異質(zhì)性，有必要進(jìn)行分類和討論。當(dāng)獲得值A(chǔ)時(shí)，有必要檢查它是否滿足主題的條件。變型2讓集合A=2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，如果a B= 2，3，則找到AB .答案 2，3，6，18例7。了解全套并找到CuA。CuA意味著，因?yàn)?，注意不?yīng)該被遺忘的情況?；卮甬?dāng)時(shí)，cua=；當(dāng)時(shí)，cua=；當(dāng)時(shí)，CuA=?！究偨Y(jié)與升華

11、】要找到一個(gè)集合的互補(bǔ)集，只需從完備集合中剔除該集合的元素，形成一個(gè)集合。因?yàn)楸局黝}中集合的元素是不確定的，所以必須分類討論?；ハ囝惐龋簐ariant 1設(shè)完備集U=xN |x8，如果a (cub)= 1，8，(cua)，b=2，6，(cua)(cub)= 4，7，答案 1，3，5，8，2，3，5，6。成套設(shè)備U=1，2，3，4，5，6，7，8根據(jù)a (cub)= 1，8，a中有1，8個(gè)元素，b中沒有。從(cua)B= 2，6，我們知道有2，6個(gè)元素不是在A中而是在B中；根據(jù)(cua)(cub)= 4，7，如果有4，7個(gè)元素不在a和b中，那么元素3，5必須在ab中.可從集合的圖標(biāo)中獲得A=1，

12、3，5，8，B=2，3，5，6。三、集合運(yùn)算的綜合應(yīng)用例8。已知完備集A=x|-2x4，B=x|xa。(1)如果AB ,求現(xiàn)實(shí)數(shù)A的取值范圍；(2)如果ABA，求實(shí)數(shù)A的取值范圍；(3)如果AB和ABA，則為實(shí)數(shù)A的取值范圍.【思路】(1)畫一個(gè)數(shù)軸；(2)注意是否包括端點(diǎn)。答案(1)A4；(2)a - 2；(3)-2a4?！究偨Y(jié)與升華】這個(gè)問題從問題的角度看是一個(gè)集合運(yùn)算，但其本質(zhì)是一個(gè)固定區(qū)間和一個(gè)移動(dòng)區(qū)間。其思想是使移動(dòng)區(qū)間沿固定區(qū)間滑動(dòng)，并通過組合數(shù)字和形狀來解決問題?；ハ囝惐龋鹤凅w1已知集合p=x x2 1，m=a。如果PM=P，a的取值范圍是()A.(-，-1B1，)C.-1，1d

13、 .(-，-11，)答案 c例9。設(shè)置一組。(1)如果，值；(2)如果，找到值。【思路】解決這一問題的關(guān)鍵是弄清、的含義，并根據(jù)問題的需要將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)關(guān)系和。同時(shí)，在包容關(guān)系中，不要錯(cuò)過這種情況。回答 (1)或；(1)2 .總結(jié)升華兩個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)換：非常重要，注意應(yīng)用。此外，在解決條件集問題時(shí)，不要忽視這種情況?；ハ囝惐龋鹤冃?已知集合，如果是實(shí)數(shù)的值域。回答或變型2讓完整的集合，如果是CuA，設(shè)定為現(xiàn)實(shí)數(shù)字的值范圍。回答鞏固練習(xí)1.1。如果A=(x，y)| |x 1| (y-2)2=0，B=-1，2，則必須有()A、B、C、A=B、D、AB=設(shè)M=y| y=x2-1，xR，N=x| y=，則M

14、N等于()甲、(-，1)、(，1)乙、c、D、3.了解完整的集合后，正確表示集合和關(guān)系的維恩圖是()4.如果已知集合滿足，則以下公式必須成立()A.工商管理學(xué)士學(xué)位5.如果設(shè)置了、和，則的值為()a1 B- 1c . 1或-1 D.1或-1或06.設(shè)定一組，然后()A.學(xué)士學(xué)位7.如果，那么。8.一個(gè)班有55名學(xué)生，包括43名體育愛好者、34名音樂愛好者和4名既不喜歡體育也不喜歡音樂的人，所以班里同時(shí)喜歡體育和音樂的人數(shù)是人。9.如果是，那么。10.如果，則=。11.讓成套和集合等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。12.假設(shè)一個(gè)集合是一個(gè)包含兩個(gè)元素的子集，并滿足以

15、下要求：對(duì)于任何，()，兩個(gè)都有(代表兩個(gè)數(shù)字中較小的一個(gè))，則最大值為。13.假設(shè)，其中if是實(shí)際數(shù)字的值域。14.設(shè)置、組裝和；如果為，則找到的值。15.準(zhǔn)備，準(zhǔn)備。滿足以下兩個(gè)條件：(1)(2)集合中所有元素的和是124，其中。尋求價(jià)值?；卮鸷头治?.答案 d分析。學(xué)生們?nèi)菀族e(cuò)誤地選擇C。錯(cuò)誤在于沒有正確理解集合的概念，并且a=-1，2是錯(cuò)誤的。實(shí)際上(x，y)| |x 1| (y-2)2=0=(-1，2)，a是點(diǎn)集，b是點(diǎn)集，所以正確答案應(yīng)該是d。2.答案 Cresolution集合m中的元素是y，它表示函數(shù)y=x2-1的值域。集合n中的元素是x，它代表函數(shù)y=的域。當(dāng)M=y| y-1，N=x| -x時(shí)，知道M ; N= t |-1t 時(shí)，選擇c。3.回答乙解析 by，get，然后選擇b .答案 C分析5.答案 D分析