小學(xué)數(shù)學(xué)精講教案5_4_1 約數(shù)與倍數(shù)（一） 學(xué)生版

1、5-4-1.約數(shù)與倍數(shù)（一）教學(xué)目標1. 本講主要對課本中的：約數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。2. 本講核心目標：讓孩子對數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個深入的認識，例如：（1）約數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的內(nèi)在關(guān)系；（2）整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“任何一個數(shù)字都可以表示為的結(jié)構(gòu)，而且表達形式唯一”知識點撥一、 約數(shù)、公約數(shù)與最大公約數(shù)概念(1)約數(shù):在正整數(shù)范圍內(nèi)約數(shù)又叫因數(shù),整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)；(2)公約數(shù):如果一個整數(shù)同時是幾個整數(shù)的約數(shù)，稱這個整數(shù)為它們的“公約數(shù)”；(3)最大公約數(shù)：公約數(shù)中最大的

2、一個就是最大公約數(shù)；(4)0被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外1 求最大公約數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來例如：，所以；短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘例如：，所以；輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)(如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的)例如，求600和1515

3、的最大公約數(shù)：；所以1515和600的最大公約數(shù)是152 最大公約數(shù)的性質(zhì)幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以3 求一組分數(shù)的最大公約數(shù)先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，其他分數(shù)不變；求出各個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個分數(shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求4 約數(shù)、公約數(shù)最大公約數(shù)的關(guān)系（1）約數(shù)是對一個數(shù)說的；（2）公約數(shù)是最大公約數(shù)的約數(shù)，最大公約數(shù)是公約數(shù)的倍數(shù)二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)(1)倍數(shù):一個整數(shù)能夠被另一整數(shù)整除，這個整數(shù)就是另一整數(shù)的倍數(shù)(2)公倍

4、數(shù):在兩個或兩個以上的自然數(shù)中，如果它們有相同的倍數(shù)，那么這些倍數(shù)就叫做它們的公倍數(shù)(3)最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的那個稱為這些正整數(shù)的最小公倍數(shù)。1. 求最小公倍數(shù)的方法分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：，所以；短除法求最小公倍數(shù)；例如： ，所以；2. 最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)3. 求一組分數(shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；求出各個分數(shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個分數(shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求例如： 注意：兩個最簡分數(shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小

5、公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：4 倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的關(guān)系（1）倍數(shù)是對一個數(shù)說的；（2）最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的約數(shù)，公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1 兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果為、的最大公約數(shù)，且，那么互質(zhì)，所以、的最小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：，即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；最大公約數(shù)是、及最小公倍數(shù)的約數(shù)2 兩個數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。即，此性質(zhì)比較簡單，學(xué)生比較容易掌握。3 對于任意3個連續(xù)的自然數(shù)，如果三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為a)奇偶奇，那么這三個數(shù)的乘積

6、等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)例如：，210就是567的最小公倍數(shù)b)偶奇偶，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍數(shù)為性質(zhì)（3）不是一個常見考點，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾個數(shù)最小公倍數(shù)一定不會比他們的乘積大”。四、求約數(shù)個數(shù)與所有約數(shù)的和1 求任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù)一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。如:1400嚴格分解質(zhì)因數(shù)之后為，所以它的約數(shù)有(3+1)(2+1) (1+1)=432=24個。(包括1和1400本身)約數(shù)個數(shù)的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應(yīng)

7、重點講解，公式的推導(dǎo)過程是建立在開篇講過的數(shù)字“唯一分解定理”形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點在于公式的逆推，有相當一部分常考的偏難題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴一個數(shù)有多少個約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個條件將原數(shù)“還原構(gòu)造”出來，或者是“構(gòu)造出可能的最值”。2 求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：，所以21000所有約數(shù)的和為此公式?jīng)]有第一個公式常用，推導(dǎo)過程相對復(fù)雜，需要許多步提取公因

8、式，建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的記憶即可。例題精講模塊一、求最大公約數(shù)【例 1】 把一張長1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，而沒有剩余，問：能裁成最大的正方形紙塊的邊長是多少？共可裁成幾塊？【鞏固】 一個房間長450厘米，寬330厘米現(xiàn)計劃用方磚鋪地，問需要用邊長最大為多少厘米的方磚多少塊(整塊)，才能正好把房間地面鋪滿？ 【例 2】 將一個長和寬分別是是1833厘米和423厘米的長方形分割成若干修正在方形，則正方形最少是（ ）個。（A）78 （B）7 （C）5 （D）6【例 3】 如圖，某公園有兩段路，AB175米，BC125米，在這兩段路上安裝路燈，要求A、B、C三點各

9、設(shè)一個路燈，相鄰兩個路燈間的距離都相等，則在這兩段路上至少要安裝路燈_個.【例 4】 把20個梨和25個蘋果平均分給小朋友，分完后梨剩下2個，而蘋果還缺2個，一共最多有多少個小朋友？ 【例 5】 有336個蘋果，252個桔子，210個梨，用這些水果最多可以分成多少份同樣的禮物？在每份禮物中，三樣水果各多少？ 【鞏固】 教師節(jié)那天，某校工會買了320個蘋果、240個桔子、200個鴨梨，用來慰問退休的教職工，問用這些果品，最多可以分成多少份同樣的禮物(同樣的禮物指的是每份禮物中蘋果、桔子、鴨梨的個數(shù)彼此相等)？在每份禮物中，蘋果、桔子、鴨梨各多少個？ 模塊二、約數(shù)【例 6】 2004的約數(shù)中，比1

10、00大且比200小的約數(shù)是 ?！纠?7】 過冬了，小白兔只儲存了180只胡蘿卜，小灰兔只儲存了120棵大白菜，為了冬天里有胡蘿卜吃，小灰兔用十幾棵大白菜換了小白兔的一些胡蘿卜，這時他們儲存的糧食數(shù)量相等，則一棵大白菜可以換_只胡蘿卜?！纠?8】 一個自然數(shù)，它的最大的約數(shù)和次大的約數(shù)的和是111，這個自然數(shù)是_.【例 9】 一個兩位數(shù)有6個約數(shù)，且這個數(shù)最小的3個約數(shù)之和為10，那么此數(shù)為幾？【例 10】 如果你寫出12的所有約數(shù)，1和12除外，你會發(fā)現(xiàn)最大的約數(shù)是最小約數(shù)的3倍現(xiàn)有一個整數(shù)n，除掉它的約數(shù)1和n外，剩下的約數(shù)中，最大約數(shù)是最小約數(shù)的15倍，那么滿足條件的整數(shù)n有哪些？ 模塊三

11、、公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【例 11】 馬鵬和李虎計算甲、乙兩個兩位數(shù)的乘積，馬鵬把甲數(shù)的個位數(shù)字看錯了，得乘積473；李虎把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯了，得乘積407，那么甲、乙兩數(shù)的乘積應(yīng)是_.【例 12】 用2、3、4、5、6、7這六個數(shù)碼組成兩個三位數(shù)A和B，那么A、B、540這三個數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是_【例 13】 現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？【例 14】 10個非零不同自然數(shù)的和是1001，則它們的最大公約數(shù)的最大值是多少？【鞏固】 100個非0自然數(shù)的和等于2006，那么它們的最大公約數(shù)最大可能值是（ ）。【例 15】 三個兩兩不同的正整數(shù)，和為126，則它們兩兩最大公約數(shù)之和的最大值為 【例 16】 用這九個數(shù)碼可以組成362880個沒有重復(fù)數(shù)字的九位數(shù)，求這些數(shù)的最大公約數(shù)【例 17】 少年宮手工組的小朋友們做工藝品“豬娃娃”。每個人先各做一個紙“豬娃娃”；接著每2個人合做一個泥“豬娃娃”；然后每3個人合做一個布“豬娃娃”；最后每4個人合做一個電動