函數(shù)的最大值最小值

1、1.3.1.2 函數(shù)的最大值、最小值,觀察下列函數(shù)的圖象，找出函數(shù)圖象上的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)的坐標(biāo)。,最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，0）,最高點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，0）,如何使用函數(shù)的解析式和數(shù)學(xué)語(yǔ)言 刻畫函數(shù)圖象的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)？即如何用“數(shù)”刻畫“形”？,最小值的“形”的定義：當(dāng)一個(gè)函數(shù)f(x)的圖象有最低點(diǎn)時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)有最小值。當(dāng)函數(shù)圖象沒(méi)有最低點(diǎn)時(shí)我們說(shuō)這個(gè)函數(shù)沒(méi)有最小值。,函數(shù)圖象最低點(diǎn)的數(shù)的刻畫：函數(shù)圖象在最低點(diǎn)處 的函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上最小的值。對(duì)于函 數(shù) 而言，即對(duì)于函數(shù)定義域中任意的 ，都有 .,函數(shù)圖象最高點(diǎn)的數(shù)的刻畫：函數(shù)圖象在最高點(diǎn)處 的函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上最大的值。

2、對(duì)應(yīng)函數(shù) 而言，即對(duì)于任意的 ，都有,函數(shù)最大值的“形”的定義：當(dāng)函數(shù)圖象有最高點(diǎn)，我們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)有最大值。當(dāng)函數(shù)圖象無(wú)最高點(diǎn)時(shí)，我們說(shuō)這個(gè)函數(shù)沒(méi)有最大值。,探究點(diǎn)1 函數(shù)最大（?。┲档臄?shù)的定義,函數(shù)最大值定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足： （1）對(duì)任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 。 那么，我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。,請(qǐng)同學(xué)們仿此給出函數(shù)最小值的定義,函數(shù)最小值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)N滿足： （1）對(duì)任意是 ，都有 ； （2）存在 ，使得 。 那么，我們就稱N是函數(shù)y=f(x)的最小值。,探究點(diǎn)2 對(duì)函數(shù)

3、最值的理解,1.函數(shù)最大值首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在 使得 。并不是滿足所有滿足 的函數(shù) 都有最大值。如函數(shù) ,雖然對(duì)定義 域上的任意自變量都有 ，但不存在自變量使得函 數(shù)值等于1.,2.函數(shù)的最值是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)，即這個(gè)函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上的最大的值或者是最小的值。,探究點(diǎn)3 例題解析,例3.“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一。制造時(shí)一般是期 望它在達(dá)到最高點(diǎn)爆裂。如果煙花離地面的高度h m與時(shí) 間t s之間的關(guān)系為 ，那么煙花 沖出后什么時(shí)刻爆裂是最佳時(shí)刻？這時(shí)離地面的高度是多 少（精確到1 m）？,分析：煙花的高度是時(shí)間的二次函數(shù)，根據(jù)題意就是求出這個(gè)二次函數(shù)在什么時(shí)刻達(dá)

4、到最大值，以及這個(gè)最大值是多少。,顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時(shí)刻，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是距地面的高度。,解：畫出這個(gè)函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的知識(shí)，對(duì)于函數(shù) 我們有：,于是，煙花沖出1.5s是它爆裂的最佳時(shí)刻，此時(shí)距底面的高度約為29m.,例4.已知函數(shù) ，求這個(gè)函數(shù)的最大值和最小值。,【分析】這個(gè)函數(shù)在區(qū)間2,6上，顯然解析式的分母是正值且隨著自變量的增大而增大，因此函數(shù)值隨著自變量的增大而減少，也就是說(shuō)這個(gè)函數(shù)在區(qū)間2，6上是減函數(shù)，因此這個(gè)函數(shù)在定義的兩個(gè)端點(diǎn)上取得最值。,【解題過(guò)程分析】函數(shù)在定義域上是減函數(shù)必需進(jìn)行證明，然后再根據(jù)這個(gè)單調(diào)性確定函數(shù)取

5、得最值的點(diǎn)。因此解題過(guò)程分為兩個(gè)部分，證明函數(shù)在2，6上是減函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的最大值和最小值。,解：設(shè)x1,x2是區(qū)間2,6上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1x2,所以，函數(shù) 是區(qū)間2,6上的減函數(shù)。,因此，函數(shù)的最大值是f(2)=2，最小值是f(6)=0.4.,1.求函數(shù) 在區(qū)間-1,3的最大值和最小值。,【提示】證明函數(shù)在區(qū)間-1,3上是增函數(shù)。,【答案】最大值是9，最小值是-3.,2.求函數(shù) 在區(qū)間-1,3上的最大值和最小值。,【提示】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在區(qū)間-1,0上是減函數(shù)，在區(qū)間(0,3上是增函數(shù)，最小值一定在x=0時(shí)取得，最大值就是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值中最大的。,【答案】最大值9，

6、最小值0.,對(duì)基本的函數(shù)如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，今后可以不加證明地使用他們的單調(diào)性求函數(shù)最值,3.求函數(shù) 在區(qū)間0,2上的最大值和最小值。,【提示】當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)；當(dāng)k0時(shí)函數(shù)是一次函數(shù)，再根據(jù)k0,k0時(shí)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答。,【答案】k=0時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值都是2； k0時(shí)，函數(shù)的最小值是2，最大值是2k+2; k0時(shí)，函數(shù)的最小值是2k+2,最大值是2.,4.求函數(shù) 在區(qū)間0,4上的最小值。,【提示】二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=a是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界 點(diǎn)。根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間0,4的關(guān)系，分 a4,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解決。畫出不 同情況下函數(shù)的圖象，有利于理清解題的思路。,【答案】,5.周長(zhǎng)為12的矩形的面積的最大值是多少？,【提示】以x表示矩形的一邊長(zhǎng)，根據(jù)周長(zhǎng)也可以用x表示矩形的另外一邊長(zhǎng)，這樣就建立起了矩形的面積關(guān)于x的函數(shù)。,【答案】設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x,另外一邊長(zhǎng)為6-x，矩形 的面積y=x(6-x)= ,當(dāng)x=3時(shí)矩形的面積最 大，最大值是9.,1.函數(shù)的最值是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，函數(shù)的最值是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)。,2.具有單調(diào)性的函數(shù)在其取得最值的點(diǎn)的左右附近的單調(diào)性恰好相反，這是函數(shù)的單調(diào)性和最值的