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1、圓錐曲線弦長(zhǎng)公式關(guān)于直線與圓錐曲線相交求弦長(zhǎng),通用方法是將直線代入曲線方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo),利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng),這種整體代換,設(shè)而不求的思想方法對(duì)于求直線與曲線相交弦長(zhǎng)是十分有效的,然而對(duì)于過(guò)焦點(diǎn)的圓錐曲線弦長(zhǎng)求解利用這種方法相比較而言有點(diǎn)繁瑣,利用圓錐曲線定義及有關(guān)定理導(dǎo)出各種曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式就更為簡(jiǎn)捷。. 橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 若橢圓方程為,半焦距為,焦點(diǎn),設(shè)過(guò)的直線的傾斜角為交橢圓于a、b兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)。解:連結(jié),設(shè),由橢圓定義得,由余弦定理得,整理可得,同理可求得,則弦長(zhǎng)同理可求得焦點(diǎn)在y軸上的過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為(a為長(zhǎng)半軸,b為短半軸,c為半焦距) 結(jié)論:橢圓
2、過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式: 二. 雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 設(shè)雙曲線,其中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為,過(guò)的直線的傾斜角為,交雙曲線于a、b兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|ab|。 。解:(1)當(dāng)時(shí),(如圖2)直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)a、b在同一交點(diǎn)上,連,設(shè),由雙曲線定義可得,由余弦定理可得整理可得,同理,則可求得弦長(zhǎng) (2)當(dāng)或時(shí),如圖3,直線l與雙曲線交點(diǎn)a、b在兩支上,連,設(shè),則,由余弦定理可得, 整理可得,則 因此焦點(diǎn)在x軸的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為 同理可得焦點(diǎn)在y軸上的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式 三其中a為實(shí)半軸,b為虛半軸,c為半焦距,為ab的傾斜角。. 拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 若拋物線與過(guò)焦點(diǎn)的直線相交于a、b兩點(diǎn),若的傾斜角為,求弦長(zhǎng)|ab|?(圖4) 解:過(guò)a、b兩點(diǎn)分別向x軸作垂線為垂足,設(shè),則點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)b橫坐標(biāo)為,由拋物線定義可得 即 則 同理的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為 的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為,所以拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為 由以上三
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