在實(shí)際應(yīng)用中柯西積分公式的用途-正文

1、柯西積分公式的應(yīng)用姓名：武小娜 班級(jí)：2014級(jí)數(shù)學(xué)教育 學(xué)號(hào)：201430626摘要:闡述了柯西積分公式在解析函數(shù)理論中的重要地位,敘述了各種不同表示形式的柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式,并舉例說明了這些公式在積分計(jì)算中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞:解析函數(shù);復(fù)積分;柯西積分公式.1 前言 實(shí)變函數(shù)與泛函分析是綜合性大學(xué)理工科的基礎(chǔ)課程，其中柯西積分定理和柯西積分公式是基礎(chǔ)，是關(guān)鍵，也是19實(shí)際最獨(dú)特的創(chuàng)造，是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一許多重要的性質(zhì)定理由它們直接或者間接推導(dǎo)出來的柯西積分公式是復(fù)變函數(shù)的基本公式，是解析函數(shù)的一種積分表達(dá)式，它深刻地反映了解析函數(shù)在解析區(qū)域內(nèi)邊界值與內(nèi)部值的關(guān)系柯西積分公式的

2、基本理論和相關(guān)性質(zhì)已經(jīng)有了詳細(xì)而全面的闡述但柯西積分公式仍然存在一些有待解決和完善的方面有些理論的證明比較復(fù)雜，為初學(xué)者帶來了諸多的不便；柯西積分公式只給出了求解光滑周線域的復(fù)積分方法；已經(jīng)證明了的理論給出的例題還不夠考慮到柯西積分公式是復(fù)變函數(shù)積分的基礎(chǔ)，對(duì)其進(jìn)行研究具有較強(qiáng)的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義 通過閱讀大量的專著，期刊還有網(wǎng)上的資料，本文將對(duì)實(shí)變函數(shù)中的柯西積分公式和它的幾個(gè)重要的推論的意義及其性質(zhì)進(jìn)行歸納總結(jié)，并舉出相應(yīng)的例子，化抽象為具體；還將對(duì)柯西積分公式的使用條件和使用方法進(jìn)行總結(jié)；然后總結(jié)歸納參考文獻(xiàn)中得到的結(jié)論，并試圖將歸納得到的這些結(jié)論做進(jìn)一步的推廣；在論文的最后，會(huì)選取一些

3、經(jīng)典例題做供大家參考！為完成本文我查閱大量的相關(guān)資料，力求把課本上的知識(shí)運(yùn)用到實(shí)踐中去 2 預(yù)備知識(shí) 2.1 柯西積分定理 設(shè)函數(shù)在平面上的單連通區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一條周線，則 2.2 推廣的柯西積分定理 設(shè)是一條周線，為之內(nèi)部，函數(shù)在閉域上解析，則 2.3 復(fù)周線柯西積分定理 設(shè)是有復(fù)周線所圍成的有界連通區(qū)域，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則 2.4 柯西積分公式設(shè)區(qū)域的邊界是周線(或復(fù)周線)，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則有 () 3 柯西積分公式的推論 3.1 解析函數(shù)平均值定理如果函數(shù)在內(nèi)解析，在閉圓上連續(xù)，則 ， 即在圓心的值等于它在圓周上的值的算術(shù)平均數(shù) 證：設(shè)表示圓周，則， 即 ， 由此

4、， 根據(jù)柯西積分公式 3.2 高階導(dǎo)數(shù)公式設(shè)區(qū)域的邊界是周線(或復(fù)周線)，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，并且有 這是一個(gè)用解析函數(shù)的邊界值表示其各階導(dǎo)函數(shù)內(nèi)部值的積分公式 現(xiàn)行教材中，僅應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明了它的特殊形式高階導(dǎo)數(shù)公式，而數(shù)學(xué)歸納法比較繁瑣下面首先給出引理，然后利用該結(jié)論導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式一種簡(jiǎn)單的證明引理 設(shè)是一條可求長(zhǎng)的曲線，是上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)于每個(gè)自然數(shù)及復(fù)平面上的每個(gè)點(diǎn)，定義函數(shù) 那么每個(gè)在區(qū)域上解析，且 證明：首先證明是區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，即要證明，對(duì)于內(nèi)的任意點(diǎn)，不論多么小，總存在，只要（在內(nèi)的點(diǎn)），就有因?yàn)?(1) 所以 （2）因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以存在某

5、個(gè)常數(shù)，使得對(duì)于上一切點(diǎn)，設(shè)與的距離為那么對(duì)于任意及，有于是有（2）得 ，其中為曲線的長(zhǎng)令 取 那么，當(dāng)，就有其次證明在區(qū)域上解析，且滿足，在內(nèi)任取一點(diǎn)，設(shè)，由（1）得 ，因?yàn)椋詫?duì)于滿足不等式的每個(gè)，在上連續(xù)根據(jù)前一部分的證明，上式右邊的每個(gè)積分都在上定義了一個(gè)變量的連續(xù)函數(shù)，因此，當(dāng)時(shí)的極限存在，即 對(duì)于內(nèi)的一切均成立下面使用這個(gè)引理證明高階導(dǎo)數(shù)公式:證明：由柯西積分公式，對(duì)于內(nèi)的任意點(diǎn)，有 ，記根據(jù)引理， 即 3.3 柯西不等式設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)一點(diǎn)，以為心作圓周，只要及其內(nèi)部均含于，則有 證：由上面的推導(dǎo)可由柯西積分公式得到高階導(dǎo)數(shù)公式，下面再有高階導(dǎo)數(shù)公式證明柯西不等式應(yīng)用上

6、面得到的定理，則有 注：柯西不等式是對(duì)解析函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)模的估計(jì)式，說明解析函數(shù)在解析點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)與它的解析區(qū)域的大小密切相關(guān)3.4 劉維爾定理有界整函數(shù)必為常數(shù) 證：設(shè)的上界為，則在柯西不等式中，對(duì)無論什么樣的，均有于是命時(shí)有 ，上式對(duì)一切均成立，讓，即知，而是平面上任一點(diǎn)，故在平面上的導(dǎo)數(shù)為零，所以，必為常數(shù)3.5 摩勒拉定理若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對(duì)內(nèi)任一周線，有 ， 則在內(nèi)解析證：在假設(shè)條件下，即知 在內(nèi)解析，且但解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)還是解析的即是說在內(nèi)解析 4 奇點(diǎn)在積分路徑上的柯西積分公式我們一般討論的復(fù)積分，要就被積函數(shù)在積分路徑上有界，并且奇點(diǎn)不在積分路徑上，這類積分可以直

7、接套用柯西積分公式可求，如果積分路徑上存在奇點(diǎn)，就不滿足條件了，就不能直接用柯西積分公式了，此時(shí)一般用復(fù)積分概念，利用極限來求解，但比較復(fù)雜，甚至求不出結(jié)果下面結(jié)合holder條件和奇異積分相關(guān)知識(shí)，對(duì)被積函數(shù)分析變形，針對(duì)奇點(diǎn)在積分路徑上的復(fù)積分得出一種新的求解公式定義1 設(shè)是復(fù)平面內(nèi)的簡(jiǎn)單逐段光滑曲線，函數(shù)在上連續(xù)，在附近無界，在上的兩邊各取一點(diǎn)，若 存在，則稱此極限值是沿的奇異積分，記為 定義2 設(shè)是復(fù)平面內(nèi)的簡(jiǎn)單逐段光滑曲線，函數(shù)在上連續(xù)，在附近無界，以為心、充分小的正數(shù)為半徑做圓周，使它與的交點(diǎn)恰為，若極限存在，則稱此極限值是沿的柯西主值積分，記為 定理1 設(shè)施光滑曲線，取正向，若滿

8、足holder條件，即 （其中都是實(shí)常數(shù)，是上任意兩點(diǎn)）則稱柯西主值積分存在，且有 證：又 （其中為上任意連續(xù)分支，），為當(dāng)從沿變動(dòng)到時(shí)的幅角改變量，當(dāng)即時(shí)，它的極限值為又因?yàn)闈M足holder條件，即 而，則積分 存在于是，得 定理2 若是簡(jiǎn)單逐段光滑曲線，是以為邊界的有界單連通區(qū)域，在內(nèi)解析，在上連續(xù)，在的鄰域有 為常數(shù) 則 證：以為心，充分小的為半徑作圓，在上取下一小段弧，在內(nèi)得到圓弧，取正向，有柯西積分定理 設(shè)的參數(shù)方程為 故 定理3 設(shè)區(qū)域的邊界是周線（或復(fù)周線），在內(nèi)解析，在上連續(xù)，且在上滿足holder條件，則有 此式稱為在邊界上的柯西積分公式證：滿足holder條件，則有 那么由

9、定理1知： 而 于是由定理3得 故有 另外，當(dāng)是復(fù)平面內(nèi)的簡(jiǎn)單逐段光滑曲線，函數(shù)在上連續(xù)，在附近無界，以為心、充分小的正數(shù)為半徑做圓周，使它與的交點(diǎn)恰為，若極限不一定存在因此，此時(shí)的柯西積分主值不能確定，故此時(shí)在邊界上的柯西積分公式也不能確定5.3 柯西積分公式的方法與技巧 柯西積分公式是復(fù)積分基本公式，是解析函數(shù)的一種積分表達(dá)式，它深刻地反映了解析函數(shù)在解析區(qū)域內(nèi)邊界值與內(nèi)部值的關(guān)系解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)給我們一個(gè)利用導(dǎo)數(shù)來求積分的公式，是求沿閉曲線的積分更加簡(jiǎn)潔而尤其重要的是，高階導(dǎo)數(shù)公式告訴我們：只要函數(shù)在內(nèi)處處可導(dǎo)（解析），則它的各階導(dǎo)數(shù)在區(qū)域內(nèi)存在到此為止，我們已經(jīng)掌握了關(guān)于復(fù)積分計(jì)算的

10、基本定理和公式因此，計(jì)算復(fù)積分不再是應(yīng)用某一定理或某一公式，而往往是同時(shí)應(yīng)用幾個(gè)定理或幾個(gè)公式，這就要求我們加強(qiáng)對(duì)綜合問題的分析、研究和求解能力的培養(yǎng)當(dāng)被積函數(shù)為有理函數(shù)或被積函數(shù)可化為分母為多項(xiàng)式的函數(shù)式，如果在封閉曲線內(nèi)含有分母的一個(gè)零點(diǎn)而分子在內(nèi)處處解析（即對(duì)，或，在內(nèi)，而在內(nèi)處處解析），則可直接應(yīng)用柯西積分公式或高階導(dǎo)數(shù)公式來計(jì)算積分而在有理函數(shù)情形，若內(nèi)含有分母一個(gè)以上零點(diǎn)而分子解析，則要先將被積函數(shù)化為部分分式，然后依據(jù)具體問題是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈデ蠓e6 舉例應(yīng)用 例1 計(jì)算積分 解：化為，即內(nèi)有奇點(diǎn)，作以和為心的位于內(nèi)的互不相交且互不包含的小圓周和，依復(fù)閉合定理與柯西積分公式，有 例

11、2 計(jì)算積分 （1），（2）分析：（1）和（2）的主要區(qū)別在于積分路徑上是否存在奇點(diǎn)，（1）的結(jié)果很好求，符合積分定理的條件，可直接使用柯西積分定理（2）應(yīng)為奇點(diǎn)在積分路徑上，所以就不能直接用柯西積分定理來求，但滿足定理3條件，可利用定理3求值解（1）直接用柯西積分定理得 （2）因?yàn)?又有柯西積分公式有 由定理3有 所以 例3 計(jì)算積分分析：此題如果用廣義積分來求解，計(jì)算繁冗，有一定難度，但通過變形，轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)，利用定理3求解就簡(jiǎn)單多了解： （其中經(jīng)過定積分的計(jì)算可以得到積分） 設(shè)，滿足holder條件，且的奇點(diǎn)在積分路徑上，由定理3得 （其中是連接和的一段弧，則是閉曲線） 由約當(dāng)引理知所以

12、參考文獻(xiàn) 1 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論m.北京:高等教育出版社,2009 2 孫清華,孫昊.復(fù)變函數(shù)內(nèi)容、方法和技巧m.武漢:華中科技大學(xué)出版社,2003 3 西安交大.復(fù)變函數(shù)第四版m.西安:高等教育出版社,2007 4 楊麗,張偉偉.柯西積分公式的應(yīng)用j.滄州師范專科學(xué)校學(xué)報(bào).2006,22 (3):65-67 5易才鳳,潘恒毅.柯西積分公式及其在積分中的應(yīng)用j.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào).2010,34 (1):5-7,12 6 邱雙月.復(fù)積分的計(jì)算j.邯鄲學(xué)院學(xué)報(bào).2009,19 (3):57-60 7 朱茱,劉敏.在積分路徑上的柯西積分公式j(luò).阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào).2004,21 (4):60-63 8 完巧玲.周線上復(fù)積分的幾種算法j.隴東學(xué)院學(xué)報(bào).2010,21 (2):7-99 張慶.cauchy積分公式及其應(yīng)用j.唐山師專學(xué)報(bào).2000,22 (2):27-2810 崔