《機(jī)械基礎(chǔ)》(教程全集)2、3章

1、機(jī)械基礎(chǔ),第2章 構(gòu)件的靜力分析,學(xué)習(xí)目的與要求主要內(nèi)容：本章主要介紹力的基本性質(zhì)、平面匯交力系、力矩與力偶和平面一般力系。學(xué)習(xí)目的與要求：掌握力的基本性質(zhì)，會(huì)進(jìn)行受力分析；掌握平面匯交力系和平面一般力系的平衡問(wèn)題；理解力矩與力偶的概念。學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)：物體的受力分析；力矩和力偶的概念；平面一般力系的平衡問(wèn)題。,靜力分析是研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律。力系是作用在同一物體上的一組力。平衡是指物體相對(duì)于慣性參考系處于靜止或作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，靜力分析中通常將物體視為剛體。所謂剛體，就是一個(gè)理想化的力學(xué)模型，即在力的作用下不會(huì)變形的物體。事實(shí)上，并不存在絕對(duì)的剛體，而微小變形對(duì)研究平衡

2、問(wèn)題不起主要作用，將其略去不僅不會(huì)影響問(wèn)題的研究結(jié)果，反而可使問(wèn)題的研究得到簡(jiǎn)化。靜力分析在工程中有十分重要的意義，是設(shè)計(jì)桿件尺寸、選擇桿件材料的基礎(chǔ)。,2.1力的基本性質(zhì) 2.1.1力1.力的定義力的概念是人們?cè)陂L(zhǎng)期的生產(chǎn)實(shí)踐中建立起來(lái)的。力是物體間的相互作用，這種作用使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變或使物體產(chǎn)生變形。使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的效應(yīng)稱(chēng)為力的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)或外效應(yīng)。如人推小車(chē)，小車(chē)由靜止變?yōu)檫\(yùn)動(dòng)。力的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)是本章研究的內(nèi)容。使物體產(chǎn)生變形的效應(yīng)稱(chēng)為力的變形效應(yīng)或內(nèi)效應(yīng)。如彈簧受拉力作用會(huì)伸長(zhǎng)；橋式起重機(jī)的橫梁在起吊重物時(shí)要發(fā)生彎曲變形等。力的變形效應(yīng)屬第3章研究范圍。力的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)和變形效應(yīng)

3、總是同時(shí)產(chǎn)生的，在一般情況下，工程上用的構(gòu)件大多是用金屬材料制成的，它們都具有足夠的抵抗變形的能力，即在外力的作用下，它們產(chǎn)生的變形是微小的，對(duì)研究力的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)影響不大，故在靜力分析中，可以將其變形忽略不計(jì)。本章就以剛體為研究對(duì)象，只討論力的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)。,實(shí)踐證明，力對(duì)物體的作用效應(yīng)，由力的大小、方向和作用點(diǎn)的位置所決定，這三個(gè)因素稱(chēng)為力的三要素。這三個(gè)要素中任何一個(gè)改變時(shí)，力的作用效果就會(huì)改變。例如，用扳手?jǐn)Q螺母時(shí)(圖2-1)，作用于扳手的力，因大小不同，方向不同，或作用點(diǎn)位置不同，產(chǎn)生的效果就不一樣。,力是一個(gè)具有大小和方向的矢量，圖示時(shí)，常用一條帶箭頭的線(xiàn)段表示(圖2-2)，線(xiàn)段長(zhǎng)度AB按

4、一定比例代表力的大小，線(xiàn)段的方位和箭頭表示力的方向，其起點(diǎn)或終點(diǎn)表示力的作用點(diǎn)。書(shū)面表達(dá)時(shí)，用黑體字母F代表力矢量，并以同一非黑體字母F代表力的大小。書(shū)寫(xiě)時(shí)則在表示力的字母上加一帶箭頭的橫線(xiàn)，如F表示力矢量。,圖2-1力的三要素,圖2-2力的表示,圖2-3二力平衡及二力構(gòu)件,力的單位采用我國(guó)的法定計(jì)量單位：“牛頓”(N)或“千牛頓”(kN)。2.力系的分類(lèi)通常根據(jù)力系中各力作用線(xiàn)的分布情況將力系進(jìn)行分類(lèi)：各力的作用線(xiàn)都在同一平面內(nèi)的力系，稱(chēng)為平面力系；各力作用線(xiàn)不在同一平面內(nèi)的力系，稱(chēng)為空間力系。在這兩類(lèi)力系中，各力的作用線(xiàn)相交于一點(diǎn)的力系，稱(chēng)為匯交力系；各力的作用線(xiàn)互相平行的力系，稱(chēng)為平行力

5、系；各力的作用線(xiàn)既不全交于一點(diǎn)，也不全平行的力系，稱(chēng)為一般力系或任意力系。本章主要介紹平面力系。,2.1.2力的基本性質(zhì)力的基本性質(zhì)由靜力學(xué)公理來(lái)說(shuō)明。靜力學(xué)公理概括了力的一些基本性質(zhì)，反映了力所遵循的客觀(guān)規(guī)律，它們是進(jìn)行桿件受力分析、研究力系的簡(jiǎn)化和力系平衡的理論依據(jù)。公理一二力平衡公理剛體若僅受兩力作用而平衡，其必要與充分條件為：這兩個(gè)力大小相等，方向相反，且作用在同一直線(xiàn)上(圖2-3a)。該公理指出了剛體平衡時(shí)最簡(jiǎn)單的性質(zhì)，是推證各種力系平衡條件的依據(jù)。,在機(jī)械或結(jié)構(gòu)中凡只受兩力作用而處于平衡狀態(tài)的構(gòu)件，稱(chēng)為二力構(gòu)件。二力構(gòu)件的自重一般不計(jì)，形狀可以是任意的，因其只有兩個(gè)受力點(diǎn)，根據(jù)二力

6、平衡公理，二力構(gòu)件所受的兩力必在兩個(gè)受力點(diǎn)的連線(xiàn)上，且等值、反向，如圖2-3b所示的BC桿。在結(jié)構(gòu)中找出二力構(gòu)件，對(duì)物體的受力分析至關(guān)重要。公理二加減平衡力系公理在已知力系上加上或減去任意一個(gè)平衡力系，不會(huì)改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效應(yīng)。這一公理對(duì)研究力系的簡(jiǎn)化問(wèn)題很重要。由這個(gè)公理可以導(dǎo)出力的可傳性原理(圖2-4)：作用在剛體上的力，可沿其作用線(xiàn)移到剛體上任一點(diǎn)，不會(huì)改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)。由力的可傳性原理可看出，作用于剛體上的力的三要素為：力的大小、方向和力的作用線(xiàn)，不再?gòu)?qiáng)調(diào)力的作用點(diǎn)。,圖2-4力的可傳性,圖2-5力的合成法則,公理三力的平行四邊形公理作用在物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力的合力，作用點(diǎn)也

7、在該點(diǎn)上，大小和方向由以這兩個(gè)力為鄰邊所作的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)確定，這稱(chēng)為力的平行四邊形公理。如圖2-5所示：作用在物體A點(diǎn)上的兩已知力F1、F2的合力為FR，力的合成可寫(xiě)成矢量式FRF1+F2力的平行四邊形公理是力系合成的依據(jù)。,公理四作用力與反作用力公理當(dāng)甲物體給乙物體一作用力時(shí)，甲物體也同時(shí)受到乙物體的反作用力，且兩個(gè)力大小相等、方向相反、作用在同一直線(xiàn)上。這一公理表明，力總是成對(duì)出現(xiàn)的，有作用力，必有反作用力，二者總是同時(shí)存在，同時(shí)消失。一般習(xí)慣上將作用力與反作用力用同一字母表示，其中一個(gè)加撇以示區(qū)別。,2.1.3約束和約束力1.約束和約束力凡是對(duì)一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)起限制作用的其

8、他物體，都稱(chēng)為這個(gè)物體的約束。約束限制著物體的運(yùn)動(dòng)，阻擋了物體本來(lái)可能產(chǎn)生的某種運(yùn)動(dòng)，從而改變了物體可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這種約束對(duì)物體的作用力稱(chēng)為約束力。約束力的方向總是與該約束所限制的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反，其作用點(diǎn)在約束與被約束體的接觸處。能使物體運(yùn)動(dòng)或有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的力稱(chēng)為主動(dòng)力，主動(dòng)力一般是已知的，而約束力往往是未知的。一般情況下根據(jù)約束的性質(zhì)只能判斷約束力的作用點(diǎn)位置或作用力方向，約束力的大小要根據(jù)平衡條件來(lái)確定。然而，不同類(lèi)型的約束，其約束力也不同。下面介紹幾種工程中常見(jiàn)的約束類(lèi)型及其約束力。,2.常見(jiàn)約束類(lèi)型(1)柔性約束繩索、鏈條、傳送帶等柔性物體形成的約束即為柔性約束。柔性物體只能承受拉力

9、，而不能受壓。作為約束，它只能限制被約束物體沿其中心線(xiàn)伸長(zhǎng)方向的運(yùn)動(dòng)，所以柔性約束產(chǎn)生的約束力，通過(guò)接觸點(diǎn)沿著柔體的中心線(xiàn)背離被約束物體(使被約束物體受拉)。如圖2-6所示的帶傳動(dòng)，帶的約束力沿著輪緣的切向離開(kāi)輪子向外指。,圖2-6柔性約束,(2)光滑面約束當(dāng)兩物體直接接觸，并忽略接觸處的摩擦?xí)r就可視為光滑面約束。這種約束只能限制物體沿著接觸點(diǎn)公法線(xiàn)方向的運(yùn)動(dòng)，因此，光滑面約束的約束力必過(guò)接觸點(diǎn)，沿接觸面的公法線(xiàn)并指向被約束的物體，稱(chēng)為法向約束力或正壓力，如圖2-7所示。,(3)鉸鏈約束鉸鏈約束是工程上連接兩個(gè)桿件的常見(jiàn)約束方式，是由兩個(gè)端部帶圓孔的桿件，用一個(gè)銷(xiāo)軸聯(lián)接而成的。根據(jù)被連接物體的

10、形狀、位置及作用，光滑鉸鏈約束又可分為以下幾種形式：1)中間鉸鏈約束，如圖2-8a所示，1、2分別是兩個(gè)帶圓孔的桿件，將圓柱形銷(xiāo)釘穿入桿件1和2的圓孔中，便構(gòu)成中間鉸鏈，通常用如圖2-8b所示的符號(hào)表示。,圖2-7光滑接觸面約束,1)中間鉸鏈約束，如圖2-8a所示，1、2分別是兩個(gè)帶圓孔的桿件，將圓柱形銷(xiāo)釘穿入桿件1和2的圓孔中，便構(gòu)成中間鉸鏈，通常用如圖2-8b所示的符號(hào)表示。中間鉸鏈對(duì)物體的約束特點(diǎn)：作用線(xiàn)通過(guò)銷(xiāo)釘中心，方向不定。通常用通過(guò)鉸鏈中心的兩個(gè)正交分力來(lái)表示約束力，如圖2-8c所示。,圖2-8中間鉸鏈約束,圖2-9固定鉸鏈支座約束,2)固定鉸鏈支座約束，如圖2-9a所示，將中間鉸

11、鏈中構(gòu)件1換成支座，且與基礎(chǔ)固定在一起，則構(gòu)成固定鉸鏈支座約束，符號(hào)如圖2-9b所示。固定鉸鏈支座對(duì)物體的約束力特點(diǎn)與中間鉸鏈相同，如圖2-9c所示。 3)活動(dòng)鉸鏈支座約束，如圖2-10a所示，將固定鉸鏈支座底部安裝若干滾子，并與支承面接觸，則構(gòu)成活動(dòng)鉸鏈支座，又稱(chēng)滾軸支座。這類(lèi)支座常見(jiàn)于橋梁、屋架等結(jié)構(gòu)中，通常用如圖2-10b所示的符號(hào)表示?；顒?dòng)鉸鏈支座對(duì)物體的約束特點(diǎn)：只能限制構(gòu)件沿支承面垂直方向的移動(dòng)，不能阻止物體沿支承面的運(yùn)動(dòng)或繞銷(xiāo)釘軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此活動(dòng)鉸鏈支座的約束力通過(guò)銷(xiāo)釘中心，垂直于支承面，指向不定，如圖2-10c所示。,(4)固定端約束物體的一部分固嵌于另一物體內(nèi)所構(gòu)成的約束，

12、稱(chēng)為固定端約束。如圖2-11所示，建筑物上的陽(yáng)臺(tái)，車(chē)床上的刀具，立在路旁的電線(xiàn)桿等都可視為固定端約束。平面問(wèn)題中一般用如圖2-12a所示簡(jiǎn)圖符號(hào)表示，約束作用如圖2-12b所示，兩個(gè)正交分力表示限制構(gòu)件移動(dòng)的約束作用，一個(gè)約束力偶表示限制構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)的約束作用。,圖2-10活動(dòng)鉸鏈支座約束,圖2-11固定端約束實(shí)例圖,圖2-12固定端約束,2.1.4受力圖在求解力學(xué)問(wèn)題時(shí)，必須根據(jù)已知條件和待求量，從與問(wèn)題有關(guān)的許多物體中，選擇其中一個(gè)物體(或幾個(gè)物體的組合)作為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行受力分析。為了清楚地表示所研究物體的受力情況，需將研究對(duì)象從周?chē)奈矬w中分離出來(lái)，即解除全部約束，單獨(dú)畫(huà)出。這種被分離

13、出來(lái)的物體稱(chēng)為分離體。為了使分離體的受力情況與原來(lái)的受力情況一致，必須將研究對(duì)象所受的全部主動(dòng)力和約束力畫(huà)在分離體上，這樣的簡(jiǎn)圖稱(chēng)為受力圖。下面舉例說(shuō)明受力圖的畫(huà)法。,圖2-13圓球的受力分析,2.2平面匯交力系根據(jù)由簡(jiǎn)到繁、由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，我們先從比較簡(jiǎn)單的平面匯交力系開(kāi)始研究。 平面匯交力系是指各力的作用線(xiàn)都在同一平面內(nèi)，且匯交于同一點(diǎn)的力系。如圖2-14所示的起重機(jī)吊鉤的受力就是平面匯交力系。2.2.1力在坐標(biāo)軸上的投影力在坐標(biāo)軸上的投影定義為：從力F的兩端分別向坐標(biāo)軸x、y作垂線(xiàn)，兩垂足間的距離就是力F在該軸上的投影，如圖2-15所示。圖中ab和a1b1分別為力F在x軸和y軸上

14、的投影。力的投影是代數(shù)量，其正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：由投影的起點(diǎn)a(a1)到終點(diǎn)b(b1)的方向與坐標(biāo)軸的正向一致時(shí)，力的投影為正，反之為負(fù)。,圖2-14平面匯交力系實(shí)例,圖2-15力在坐標(biāo)軸上的投影,2.2.2合力投影定理合力在任意軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這一關(guān)系稱(chēng)為合力投影定理。2.2.3平面匯交力系的平衡條件由于平面匯交力系合成的結(jié)果是一合力，因此，平面匯交力系平衡的必要與充分條件為：該力系的合力等于零。即FR=0，可得平面匯交力系的平衡條件是Fx=0Fy=0(2-3)即平面匯交力系的平衡條件是：力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。式(2-3)稱(chēng)為平面匯交力系

15、的平衡方程。平面匯交力系能夠列出兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程式，因此，只能求解兩個(gè)未知量。例2-2圖2-16a所示為一簡(jiǎn)易起重機(jī)。利用絞車(chē)和繞過(guò)滑輪的繩索吊起重物，其重力G20kN,各桿件與滑輪的重量不計(jì)，并略去滑輪的大小和各接觸處的摩擦。試求桿AB和BC所受的力。,圖2-16簡(jiǎn)易起重機(jī)受力分析,2.3力矩與力偶2.3.1力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)物體除了運(yùn)動(dòng)效應(yīng)外，有時(shí)還會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。如圖2-17所示，當(dāng)用扳手?jǐn)Q緊螺母時(shí)，力F對(duì)螺母擰緊的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)不僅取決于力F的大小和方向，而且還與該力到O點(diǎn)的垂直距離d有關(guān)。F與d的乘積越大，轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)越強(qiáng)，螺母就越容易擰緊。因此，在力學(xué)上用物理量Fd及其轉(zhuǎn)向來(lái)度量力F使物體繞O

16、點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，稱(chēng)為力對(duì)O點(diǎn)之矩，簡(jiǎn)稱(chēng)力矩，以符號(hào)MO(F)表示。,即 MO(F)=Fd(2-4)式(2-4)中，O點(diǎn)稱(chēng)為力矩的中心,簡(jiǎn)稱(chēng)矩心；O點(diǎn)到力F作用線(xiàn)的垂直距離d稱(chēng)為力臂。式中正負(fù)號(hào)表示兩種不同的轉(zhuǎn)向。通常規(guī)定：使物體產(chǎn)生逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的力矩為正，反之為負(fù)。力矩的單位是Nm或kNm。顯然，力矩在下列兩種情況下等于零：1)力等于零。2)力的作用線(xiàn)通過(guò)矩心，即力臂等于零。,圖2-17力對(duì)點(diǎn)之矩,2.3.2力偶和力偶矩1.力偶的概念實(shí)際生活中，常見(jiàn)到鉗工用手動(dòng)絲錐攻螺紋(圖2-18a)、汽車(chē)司機(jī)用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤(pán)(圖2-18b)等。這時(shí)在絲錐、方向盤(pán)上都作用著一對(duì)等值、反向、作用線(xiàn)不在一條直線(xiàn)上的

17、平行力，它們能使物體發(fā)生單純的轉(zhuǎn)動(dòng)。這種大小相等、方向相反、作用線(xiàn)平行而不重合的兩個(gè)力，稱(chēng)為力偶，記作(F，F(xiàn))。,力偶中的兩個(gè)力之間的距離d稱(chēng)為力偶臂(圖2-18c)，力偶所在的平面稱(chēng)為力偶的作用面。力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于力偶中力的大小、力偶臂d的長(zhǎng)度和力偶的轉(zhuǎn)向。因此，力學(xué)中用F與d的乘積，加上適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)作為度量力偶在其作用平面內(nèi)對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量，稱(chēng)為力偶矩，并用符號(hào)M表示。即M=Fd(2-5),圖2-18力偶和力偶矩,2.力偶的性質(zhì)1)力偶在任一軸上投影的代數(shù)和為零(圖2-19)，力偶無(wú)合力，力偶不能用一個(gè)力來(lái)代替。一個(gè)力偶作用在物體上只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)，而一個(gè)力作用在物體上時(shí),

18、將使物體移動(dòng)或既移動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，力偶無(wú)合力,且不能與一個(gè)力平衡，即力偶必須用力偶來(lái)平衡。力偶和力是組成力系的兩個(gè)基本物理量。由于力偶中的兩力等值、反向，所以力偶在任一軸上投影的代數(shù)和等于零(圖2-19)。2)力偶對(duì)其作用面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩恒等于該力偶的力偶矩，而與矩心的位置無(wú)關(guān)。如圖2-20所示，已知力偶(F，F(xiàn))的力偶矩M=Fh。在力偶的作用面內(nèi)任取一點(diǎn)O為矩心，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，可以證明力偶(F，F(xiàn))對(duì)O點(diǎn)之矩仍為原力偶矩M。,圖2-19力偶在軸上的投影,圖2-20力偶中力對(duì)任一點(diǎn)的矩,該性質(zhì)說(shuō)明力偶使物體對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)是相同的。由此可以得到：只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變，力偶可以

19、在其平面內(nèi)任意移動(dòng)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不會(huì)改變力偶對(duì)物體的作用效應(yīng)。因此，力偶也可以用一帶箭頭的弧線(xiàn)表示(圖2-21)。,圖2-21力偶的等效性和不同表示,2.3.3平面力偶系的合成和平衡條件在同一平面內(nèi)，由若干個(gè)力偶組成的力偶系稱(chēng)為平面力偶系。根據(jù)力偶的性質(zhì)可以證明，平面力偶系合成的結(jié)果為一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。即M=M1+M2+Mn=Mi(2-6)若物體在平面力偶系作用下處于平衡狀態(tài)，則合力偶矩必定為零。即M=Mi=0(2-7),上式稱(chēng)為平面力偶系的平衡方程。利用這個(gè)平衡方程，可以求出一個(gè)未知量。圖2-22工件的受力分析例2-3用多軸鉆床在水

20、平工件上鉆孔時(shí)(圖2-22)，三個(gè)鉆頭對(duì)工件施加力偶的力偶矩分別為M1=M2=10Nm，M3=20Nm，固定螺栓A和B之間的距離l=200mm，試求兩螺栓所受的水平約束力。解選取工件為研究對(duì)象。工件在水平面內(nèi)受三個(gè)力偶和兩個(gè)螺栓的水平約束力的作用而平衡，三個(gè)力偶合成后仍為一力偶，根據(jù)力偶的性質(zhì)，力偶只能和力偶相平衡，故兩個(gè)螺栓的水平約束力FNA和FNB必然組成一個(gè)力偶，且FNA、FNB大小相等，方向相反。工件的受力如圖2-22所示。,圖2-22工件的受力分析,2.4平面一般力系 2.4.1力的平移定理 定理：可以把作用在物體上某點(diǎn)的力F平行移到物體上任一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于

21、原來(lái)的力對(duì)新作用點(diǎn)之矩。 利用力的平移定理可以解決一些實(shí)際問(wèn)題，例如：鉗工攻螺紋時(shí)，必須用雙手同時(shí)動(dòng)作而且用力要相等，以產(chǎn)生力偶，如圖2-24b所示。若只用一只手扳動(dòng)鉸杠，根據(jù)力的平移定理，作用在鉸杠AB一端的力F與作用在O點(diǎn)的一個(gè)力F和一個(gè)附加力偶矩M等效，如圖2-24a所示，這個(gè)附加力偶使絲錐轉(zhuǎn)動(dòng)，而力F卻易使絲錐折斷。,圖2-23力的平移,圖2-24絲錐攻螺紋,2.4.2平面一般力系的平衡方程和應(yīng)用設(shè)在剛體上作用著平面一般力系F1，F(xiàn)2Fn，使剛體處于平衡狀態(tài)(圖2-25a)。在力系所在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，將作用在剛體上的各力F1，F(xiàn)2Fn平移到O點(diǎn)。于是得到匯交于O點(diǎn)的平面匯交力系(F1

22、,F2Fn)和與各力相對(duì)應(yīng)的附加力偶所組成的平面力偶系(M1，M2Mn)，如圖2-25b所示。,圖2-25平面一般力系的簡(jiǎn)化,若要?jiǎng)傮w平衡，則必須使合力FR=(Fx)2+(Fy)2=0，合力偶矩MO=0，由此可得平面一般力系的平衡方程為Fx=0Fy=0MO(F)=0(2-8)式(2-8)表明，平面一般力系平衡時(shí)，力系中各力在平面內(nèi)任選的直角坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和為零，各力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也為零。式(2-8)最多能夠求解包括力的大小和方向在內(nèi)的3個(gè)未知量。,圖2-26減速器齒輪軸的受力,2.4.3平面平行力系的平衡方程平面平行力系是平面一般力系的一種特殊情況，其平衡方程可由平面一般力系

23、的平衡方程導(dǎo)出。若力系中各力的作用線(xiàn)與x軸(或y軸垂直)，則式(2-8)中Fx0(或Fy0)，則力系的獨(dú)立平衡方程為Fy=0(或Fy=0)MO(F)=0(2-9)線(xiàn)至機(jī)身中心距離為6m。試求保證起重機(jī)滿(mǎn)載和空載時(shí)不翻倒的平衡塊重。,第3章 桿件的基本變形學(xué)習(xí)目的與要求,主要內(nèi)容：本章主要介紹桿件四種基本變形的概念和強(qiáng)度計(jì)算，簡(jiǎn)單介紹彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形和疲勞強(qiáng)度。學(xué)習(xí)目的與要求：了解桿件的強(qiáng)度與剛度，理解軸向拉伸與壓縮、剪切與擠壓、圓軸的扭轉(zhuǎn)、直梁的彎曲這四種基本變形的概念和強(qiáng)度計(jì)算，了解彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形的概念和強(qiáng)度計(jì)算。學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)是理解和基本會(huì)分析圓軸的扭轉(zhuǎn)、直梁的彎曲；難點(diǎn)是理

24、解彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形等概念。 本章要以前一章的知識(shí)為基礎(chǔ)，通過(guò)分析桿件內(nèi)部的受力情況，著重研究桿件的強(qiáng)度問(wèn)題，為桿件設(shè)計(jì)提供基本理論和計(jì)算方法。,3.1概述 3.1.1桿件的強(qiáng)度與剛度桿件是各種工程結(jié)構(gòu)組成單元的統(tǒng)稱(chēng)。例如機(jī)械中的軸、桿件，建筑物中的梁等均稱(chēng)為桿件。當(dāng)桿件工作時(shí)，都要承受載荷作用，為確保桿件能正常工作，桿件必須滿(mǎn)足以下要求：1)有足夠的強(qiáng)度，保證桿件在載荷作用下不發(fā)生破壞。例如起吊重物的鋼索不能被拉斷。我們把桿件這種抵抗破壞的能力稱(chēng)為強(qiáng)度。2)有足夠的剛度，工程上對(duì)有的桿件不僅要求具有足夠的強(qiáng)度，而且對(duì)桿件的變形也有一定的要求。例如減速器中的軸，如果受載過(guò)大，就會(huì)出現(xiàn)較大的變

25、形，使軸承、齒輪的磨損加劇，降低零件壽命，且影響齒輪的正確嚙合，使機(jī)器不能順利地運(yùn)轉(zhuǎn)。桿件這種抵抗變形的能力稱(chēng)為剛度。,綜上所述，為了保證桿件正常工作，桿件必須具有足夠的強(qiáng)度和剛度(有的桿件還要考慮穩(wěn)定性問(wèn)題)。桿件的強(qiáng)度和剛度不僅與桿件本身的截面形狀、尺寸有關(guān)，還與桿件的材料有關(guān)。本章研究的對(duì)象為變形固體。固體的變形可分為彈性變形和塑性變形。載荷卸除后能消失的變形稱(chēng)為彈性變形；載荷卸除后不能消失的變形稱(chēng)為塑性變形。3.1.2內(nèi)力、截面法、應(yīng)力1.內(nèi)力桿件內(nèi)部各部分之間存在著相互作用的內(nèi)力，從而使桿件內(nèi)部各部分之間相互聯(lián)系以維持其原有形狀。在外部載荷作用下，桿件內(nèi)部各部分之間相互作用的內(nèi)力會(huì)隨

26、之改變，這個(gè)因外部載荷作用而引起桿件內(nèi)力的改變量，稱(chēng)為附加內(nèi)力，簡(jiǎn)稱(chēng)內(nèi)力。,顯然，內(nèi)力是由于外載荷對(duì)桿件的作用而引起的，并隨著外載荷的增大而增大。但是，任何桿件的內(nèi)力的增大都是有一定限度的，當(dāng)外力超過(guò)內(nèi)力的極限值時(shí)，桿件就會(huì)發(fā)生破壞。可見(jiàn)桿件承受載荷的能力與其內(nèi)力密切相關(guān)。因此，內(nèi)力是研究桿件強(qiáng)度、剛度等問(wèn)題的基礎(chǔ)。,2.截面法截面法是求內(nèi)力的基本方法。如圖3-1a所示桿件兩端受拉力作用而處于平衡狀態(tài)。欲求m-n截面上的內(nèi)力，可用一假想平面將桿件在m-n處切開(kāi)，分成左右兩部分，如圖3-1b所示。右部分對(duì)左部分的作用，用合力FN表示，左部分對(duì)右部分的作用，用合力FN表示，F(xiàn)N和FN互為作用力和反

27、作用力，它們大小相等、方向相反。因此，計(jì)算內(nèi)力時(shí)，只需取截面兩側(cè)的任一段來(lái)研究即可。,圖3-1 截面法 a.平衡狀態(tài) b.分體受力,3.應(yīng)力對(duì)于每一種材料，單位截面面積上能承受的內(nèi)力是有一定限度的，超過(guò)這個(gè)限度，物體就要破壞。為了解決強(qiáng)度問(wèn)題，不但需要知道桿件可能沿哪個(gè)截面破壞，而且還需要知道從截面上哪一點(diǎn)開(kāi)始破壞。因此，僅僅知道截面上的內(nèi)力是不夠的，還必須知道內(nèi)力在截面上各點(diǎn)的分布情況。為此必須引入應(yīng)力的概念。,內(nèi)力在截面上某點(diǎn)處的分布集度稱(chēng)為該點(diǎn)處的應(yīng)力。當(dāng)截面上應(yīng)力均勻分布時(shí)，應(yīng)力就等于單位面積上的內(nèi)力。通常將與橫截面垂直的應(yīng)力稱(chēng)為正應(yīng)力，用表示；與橫截面相切的應(yīng)力稱(chēng)為切應(yīng)力，用表示。在

28、國(guó)際單位制中，應(yīng)力的單位是帕斯卡，其代號(hào)為帕(Pa)，1Pa等于每平方米面積上作用1N的力，即1Pa1N/m2。應(yīng)力的常用單位還有兆帕(MPa)、吉帕(GPa)，其換算關(guān)系為1MPa106Pa，1GPa109Pa，顯然，1MPa1N/mm2。,3.1.3桿件的基本變形工程實(shí)際中的構(gòu)件多種多樣，本章主要以桿件作為研究對(duì)象。桿件一般指縱向尺寸遠(yuǎn)大于橫向尺寸的構(gòu)件。軸線(xiàn)為直線(xiàn)的桿件稱(chēng)為直桿；軸線(xiàn)為曲線(xiàn)的桿件稱(chēng)為曲桿。當(dāng)外力以不同的方式作用于桿件時(shí)，將產(chǎn)生各種各樣的變形形式，但其基本變形只有四種，即拉伸與壓縮；剪切；扭轉(zhuǎn)；彎曲。以后的各節(jié)先分別介紹桿件四種基本變形的強(qiáng)度計(jì)算，然后對(duì)組合變形作簡(jiǎn)單介紹。

29、,3.2軸向拉伸與壓縮3.2.1拉伸與壓縮的概念軸向拉伸與壓縮是工程中常見(jiàn)的一種基本變形，如圖3-2a所示支架中，AB桿受到拉伸、BC桿受到壓縮(圖3-2b)。這類(lèi)桿件的受力特點(diǎn)是：外力或合外力的作用線(xiàn)與桿件的軸線(xiàn)重合。變形特點(diǎn)是：桿件沿軸線(xiàn)伸長(zhǎng)或縮短。桿件的這種變形形式稱(chēng)為軸向拉伸或壓縮，這類(lèi)桿件稱(chēng)為拉桿或壓桿。,拉伸和壓縮的實(shí)例 a.支架 b.桿的受力,3.2.2軸力和應(yīng)力1.軸力為了對(duì)拉壓桿進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，首先分析其內(nèi)力。如圖3-3a.,圖2-32題三-3圖,圖3-1截面法,圖3-2拉伸和壓縮的實(shí)例,2.橫截面上的應(yīng)力拉壓桿橫截面上的軸力是橫截面上分布內(nèi)力的合力，為確定拉壓桿橫截面上各點(diǎn)的

30、應(yīng)力，需要知道軸力在橫截面上的分布。實(shí)驗(yàn)表明，拉壓桿橫截面的內(nèi)力是均勻分布的，且方向垂直于橫截面(圖3-4)。因此，拉壓桿橫截面上各點(diǎn)產(chǎn)生的是正應(yīng)力。,圖3-3軸力,圖3-4正應(yīng)力,3.2.3材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能，主要指材料受外力作用時(shí)，在強(qiáng)度和變形方面所表現(xiàn)出來(lái)的性能。材料的力學(xué)性能是通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段獲得的。實(shí)驗(yàn)采用國(guó)家統(tǒng)一規(guī)圖3-5拉伸試件定的標(biāo)準(zhǔn)試件，如圖3-5所示，l為試件的實(shí)驗(yàn)長(zhǎng)度，稱(chēng)為標(biāo)距。對(duì)圓截面試件，標(biāo)距與橫截面直徑有兩種比例:l=10d和l=5d。,圖3-5拉伸試件,下面以低碳鋼和鑄鐵分別為塑性材料和脆性材料的代表，介紹它們?cè)诔仂o載下的力學(xué)性能。1.低碳鋼

31、的力學(xué)性能(1)拉伸時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼是工程上廣泛使用的金屬材料，它在拉伸時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的力學(xué)性能具有典型性。通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以得到低碳鋼的-曲線(xiàn)(應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn))(圖3-6)。其中=l/l(l為試件的伸長(zhǎng)量)，稱(chēng)為線(xiàn)應(yīng)變。,圖3-6低碳鋼的-曲線(xiàn),根據(jù)低碳鋼拉伸時(shí)的-曲線(xiàn)，分析低碳鋼的力學(xué)性能如下：1)比例極限。如圖3-6所示的拉伸初始階段Oa段為一直線(xiàn)段，它表明應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系，即=E(3-2)上式稱(chēng)為拉(壓)胡克定律，E為材料的彈性模量。顯然，Oa段的斜率tan=E。Oa段的a對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值p，是材料服從胡克定律的最大應(yīng)力值，稱(chēng)為材料的比例極限。b點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力e是材料只產(chǎn)生彈性變形的最大應(yīng)力，

32、稱(chēng)為材料的彈性極限。a、b兩點(diǎn)非常接近，一般工程上不作嚴(yán)格區(qū)分。,2)屈服點(diǎn)。如圖3-6所示的bc段為屈服階段。在-曲線(xiàn)上出現(xiàn)一段近似水平的“鋸齒”形階段，在此階段內(nèi)，應(yīng)力幾乎不變，而應(yīng)變卻急劇增加，材料失去繼續(xù)抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱(chēng)為屈服，bc段稱(chēng)為屈服階段。屈服階段的最低應(yīng)力值s稱(chēng)為材料的屈服點(diǎn)。3)抗拉強(qiáng)度。如圖3-6所示的ce段為強(qiáng)化階段。該階段的最高點(diǎn)e點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值b是材料斷裂前能夠承受的最大應(yīng)力，稱(chēng)為材料的抗拉強(qiáng)度。,4)斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率。,(2)壓縮時(shí)的力學(xué)性能 低碳鋼壓縮時(shí)的-曲線(xiàn)(圖3-7),2.鑄鐵的力學(xué)性能鑄鐵是工程上廣泛應(yīng)用的一種脆性材料。用鑄鐵制成標(biāo)準(zhǔn)試

33、件，同樣可得到鑄鐵拉伸和壓縮時(shí)的-曲線(xiàn)，如圖3-8所示。圖中虛線(xiàn)表示鑄鐵拉伸時(shí)的-曲線(xiàn)。從中可以看出試件拉伸時(shí)在較小的變形下就突然破壞，破壞斷面與軸線(xiàn)約成45的傾角。比較圖中兩條曲線(xiàn)，顯然鑄鐵的抗壓強(qiáng)度比抗拉強(qiáng)度要高得多，約為拉伸時(shí)的4倍。其他脆性材料也有這樣的性質(zhì)。因此，鑄鐵一類(lèi)的脆性材料多用于制造承壓桿件。,圖3-7低碳鋼壓縮時(shí)的-曲線(xiàn),圖3-8鑄鐵壓縮時(shí)的-曲線(xiàn),3.2.4拉伸與壓縮時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算1.許用應(yīng)力與安全系數(shù)材料喪失正常工作能力時(shí)的應(yīng)力，稱(chēng)為極限應(yīng)力。通過(guò)前面對(duì)材料力學(xué)性能的研究，可知塑性材料和脆性材料的極限應(yīng)力分別為屈服點(diǎn)和抗拉強(qiáng)度。為了確保桿件在外力作用下安全可靠地工作，應(yīng)使

34、它的工作應(yīng)力小于材料的極限應(yīng)力，并使桿件的強(qiáng)度留有必要的強(qiáng)度儲(chǔ)備。為此，將極限應(yīng)力除以一個(gè)大于1的系數(shù)作為桿件工作時(shí)允許產(chǎn)生的最大應(yīng)力，這個(gè)應(yīng)力稱(chēng)為許用應(yīng)力，用表示。對(duì)于塑性材料,對(duì)于脆性材料,式中ns、nb分別為屈服安全系數(shù)和斷裂安全系數(shù)。,確定安全系數(shù)的大小是一項(xiàng)很重要的工作，它不僅反映了桿件工作的安全程度和材料的強(qiáng)度儲(chǔ)備量，又反映了材料合理使用的情況。安全系數(shù)取得過(guò)大，浪費(fèi)材料，且使桿件笨重；取得太小則不安全。所以安全系數(shù)的選取涉及安全與經(jīng)濟(jì)的問(wèn)題。對(duì)一般桿件常取ns=1.32.0，nb=2.03.5，具體在應(yīng)用時(shí)可查閱機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)。2.拉伸與壓縮的強(qiáng)度條件為了保證桿件具有足夠的強(qiáng)度，必

35、須使其最大工作應(yīng)力max小于或等于材料在拉伸(壓縮)時(shí)的許用應(yīng)力，即,式(3-3)稱(chēng)為拉(壓)桿的強(qiáng)度條件，是拉(壓)桿強(qiáng)度計(jì)算的依據(jù)。產(chǎn)生最大正應(yīng)力max的截面稱(chēng)為危險(xiǎn)截面。式中FN和A分別為危險(xiǎn)截面的軸力和橫截面面積。根據(jù)強(qiáng)度條件，可以解決強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷三個(gè)方面的問(wèn)題。,3.3剪切與擠壓 3.3.1剪切的概念 剪床剪鋼板是剪切的典型實(shí)例(圖3-10a)。剪切時(shí)，上、下刀刃以大小相等、方向相反、作用線(xiàn)相距很近的兩力F作用于鋼板上，如圖3-10b所示，使鋼板在兩力間的截面m-m發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。在工程實(shí)際中的許多聯(lián)接件，如鉚釘(圖3-11)、鍵(圖3-12)等都受到剪切變形，對(duì)它

36、們進(jìn)行受力分析可知其受力特點(diǎn)是：桿件受到一對(duì)大小相等、方向相反、作用線(xiàn)平行且相距很近的外力；變形特點(diǎn)是：桿件兩力間的截面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的截面(圖中的m-m截面)稱(chēng)為剪切面，它位于兩個(gè)反向的外力作用線(xiàn)之間，并與外力平行。,圖3-10受剪鋼板,圖3-11鉚釘,圖3-12鍵,2.擠壓的概念在桿件發(fā)生剪切變形的同時(shí),往往伴隨著擠壓變形，如前述的鉚釘和鍵聯(lián)接，在傳遞力的接觸面上，由于局部承受較大的壓力，會(huì)出現(xiàn)塑性變形，這種現(xiàn)象稱(chēng)為擠壓。發(fā)生擠壓的接觸面稱(chēng)為擠壓面。擠壓面上的壓力稱(chēng)為擠壓力。擠壓面就是兩桿件的接觸面，一般垂直于外力作用線(xiàn)。,3.3.2剪切和擠壓的實(shí)用計(jì)算在工程上，剪切和擠壓的計(jì)

37、算都采用實(shí)用計(jì)算法，即認(rèn)為剪力在剪切面上的分布和擠壓力在擠壓面上的分布都是均勻的，并分別建立其強(qiáng)度條件：抗剪強(qiáng)度條件,式中FQ剪切面上的剪力，單位為N；A剪切面的面積，單位為m2； 材料的許用切應(yīng)力，單位為Pa，可從有關(guān)手冊(cè)中查得。,擠壓強(qiáng)度條件,式中Fjy擠壓面上的擠壓力，單位為N；Ajy擠壓面面積，單位為m2；jy材料的許用擠壓應(yīng)力，單位為Pa，具體數(shù)據(jù)可從有關(guān)手冊(cè)中查得。計(jì)算擠壓面面積時(shí)應(yīng)注意：當(dāng)擠壓面為平面時(shí)，擠壓面面積為實(shí)際接觸面的面積；當(dāng)擠壓面為半圓柱面時(shí)(如鉚釘連接)，擠壓面面積按半圓柱面的正投影面積計(jì)算。,抗剪強(qiáng)度條件和擠壓強(qiáng)度條件也可以解決強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面、確定許可載荷這三

38、類(lèi)問(wèn)題。值得注意的是，因?yàn)閿D壓變形具有相互性，所以在擠壓強(qiáng)度計(jì)算中，當(dāng)連接件和被連接件的材料不同時(shí)，應(yīng)對(duì)擠壓強(qiáng)度較低的桿件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。,3.4圓軸的扭轉(zhuǎn) 3.4.1扭轉(zhuǎn)的概念 工程實(shí)際中，有很多桿件是承受扭轉(zhuǎn)作用而傳遞動(dòng)力的。例如，用于鉆孔的鉆頭(圖3-14a)，汽車(chē)轉(zhuǎn)向軸(圖3-14b)以及傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)軸AB(圖3-14c)等均是扭轉(zhuǎn)變形的實(shí)例，它們都可簡(jiǎn)化為如圖3-14d所示的計(jì)算簡(jiǎn)圖。從計(jì)算簡(jiǎn)圖可以看出，桿件扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)是：在與桿件軸線(xiàn)垂直的平面內(nèi)受到若干個(gè)力偶的作用；其變形特點(diǎn)是：桿件的各橫截面繞桿軸線(xiàn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿軸線(xiàn)始終保持直線(xiàn)。工程上常將以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件稱(chēng)為軸。機(jī)

39、械中的軸，多數(shù)是圓截面和圓環(huán)形截面，統(tǒng)稱(chēng)為圓軸。本節(jié)只研究圓軸的扭轉(zhuǎn)變形。,圖3-14扭轉(zhuǎn)的實(shí)例,3.4.2圓軸外力偶矩的計(jì)算工程中的傳動(dòng)軸通常不直接給出外力偶矩，只給出其轉(zhuǎn)速和所傳遞的功率，則外力偶矩的計(jì)算公式為,式中Me外力偶矩，單位為Nm；P軸傳遞的功率，單位為kW；n軸的轉(zhuǎn)速，單位為r/min。,3.4.3扭矩和扭矩圖1.扭矩如圖3-15a所示，圓軸在一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶矩Me的作用下產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，此時(shí)橫截面上就產(chǎn)生了抵抗變形和破壞的內(nèi)力，我們可用截面法把它顯示出來(lái)，如圖3-15b、c所示。取左段為研究對(duì)象由平衡關(guān)系可知，扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上內(nèi)力合成的結(jié)果必定是一個(gè)力偶，這個(gè)內(nèi)力偶

40、矩稱(chēng)為扭矩，用符號(hào)T表示。由平衡條件T-Me=0得T=Me,若取右段為研究對(duì)象，同樣可求得T，它們大小相等、轉(zhuǎn)向相反，是作用力偶矩和反作用力偶矩的關(guān)系。為了使不論取左段還是取右段求得的扭矩大小、符號(hào)都一致，對(duì)扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：按右手螺旋法則，四指順著扭矩的轉(zhuǎn)向握住軸線(xiàn)，則大拇指的指向離開(kāi)截面時(shí)為正；反之為負(fù)(圖3-16)。2.扭矩圖為了形象地表示各截面扭矩的大小和正負(fù)，常需畫(huà)出扭矩隨截面位置變化的圖像，這種圖像稱(chēng)為扭矩圖。取平行于軸線(xiàn)的橫坐標(biāo)x表示各截面的位置，垂直于軸線(xiàn)的縱坐標(biāo)T表示相應(yīng)截面上的扭矩，正扭矩畫(huà)在x軸的上方，負(fù)扭矩畫(huà)在x軸的下方(圖3-15d)。,圖3-15扭矩和扭矩圖,當(dāng)

41、軸受多個(gè)外力偶作用時(shí),由平衡條件可得計(jì)算扭矩的簡(jiǎn)捷方法:圓軸任一截面的扭矩等于該截面一側(cè)(左側(cè)或右側(cè))軸段上所有外力偶矩的代數(shù)和。按右手定則，四指表示外力偶矩的轉(zhuǎn)向，圓軸左側(cè)截面以左大拇指指向左或圓軸右側(cè)截面大拇指指向右的外力偶矩，在截面上產(chǎn)生正的扭矩，簡(jiǎn)稱(chēng)為“左左右右，扭矩為正”；反之，則產(chǎn)生負(fù)的扭矩。,圖3-16扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定,3.4.4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力通過(guò)實(shí)驗(yàn)和理論推導(dǎo)得知:圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上只產(chǎn)生切應(yīng)力,而橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，方向與過(guò)該點(diǎn)的半徑垂直。圓心處切應(yīng)力為零，在圓軸表面上各點(diǎn)的切應(yīng)力最大，如圖3-18所示，并且可以導(dǎo)出橫截面上任一點(diǎn)的切

42、應(yīng)力公式為,式中T橫截面上的扭矩，單位為Nm；Ip橫截面對(duì)圓心的極慣性矩，單位為m4；橫截面上任一點(diǎn)到圓心的距離，單位為m。顯然，當(dāng)=R時(shí)，切應(yīng)力最大，即,令Wp=Ip/R，于是上式可改寫(xiě)為,式中Wp抗扭截面系數(shù)，單位為m3。,截面的慣性矩Ip和抗扭截面系數(shù)Wp都是與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量。工程中承受扭轉(zhuǎn)變形的圓軸常采用實(shí)心圓軸和空心圓軸兩種形式，其橫截面如圖3-19所示。它們的Ip和Wp的計(jì)算公式分別為,(1)實(shí)心圓軸,式中D軸的直徑，單位為m或mm。,圖3-18扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布規(guī)律,圖3-19圓軸的截面,(2)空心圓軸,式中D空心圓軸的外徑，單位為m；d空心圓軸的內(nèi)徑，dD。,3.4.5

43、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件為了保證受扭圓軸能正常工作，應(yīng)使圓軸內(nèi)的最大工作切應(yīng)力不超過(guò)材料的許用切應(yīng)力。所以，抗扭強(qiáng)度條件為,式中T為圓軸危險(xiǎn)截面(產(chǎn)生最大切應(yīng)力的截面)上的扭矩，Wp為危險(xiǎn)截面的抗扭截面系數(shù)，為材料的許用切應(yīng)力，根據(jù)扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)確定，可從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)中查得。在靜載荷作用下它與材料的許用拉應(yīng)力之間存在如下關(guān)系塑性材料=(0.50.6)脆性材料=(0.81.0)應(yīng)用圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件可以進(jìn)行強(qiáng)度校核、設(shè)計(jì)截面、確定許可載荷三類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算。,3.5直梁的彎曲彎曲變形是工程上常見(jiàn)的一種基本變形。例如機(jī)車(chē)的輪軸(圖3-22)、橋式起重機(jī)的橫梁(圖3-23)等。這類(lèi)桿件的受力與變形的主要特點(diǎn)是：在

44、桿件軸線(xiàn)平面內(nèi)受垂直于軸線(xiàn)方向的外力作用，或承受力偶作用，使桿件的軸線(xiàn)由直線(xiàn)變成曲線(xiàn)，這種變形形式稱(chēng)為彎曲變形。凡是以彎曲變形為主的桿件稱(chēng)為梁。,圖3-22 機(jī)車(chē)輪軸 輪軸示意圖 輪軸受力圖,圖3-23橋式起重機(jī)的橫梁,3.5.1平面彎曲1.靜定梁的基本形式作用在梁上的外力包括載荷與支座約束力。僅由平衡方程可求出全部支座約束力的梁稱(chēng)為靜定梁，按照支座對(duì)梁的約束情況，靜定梁有以下三種基本形式：(1)簡(jiǎn)支梁梁的一端是固定鉸鏈支座，另一端是活動(dòng)鉸鏈支座(圖3-24a)。(2)外伸梁一端或兩端有外伸部分的簡(jiǎn)支梁(圖3-24b)。(3)懸臂梁一端固定，另一端自由的梁(圖3-24c)。梁的兩個(gè)支座之間的距

45、離l，稱(chēng)為梁的跨度。,圖3-24靜定梁的基本形式,2.平面彎曲的概念工程中常見(jiàn)的多數(shù)梁，其橫截面至少有一根對(duì)稱(chēng)軸，如圖3-25所示。截面的對(duì)稱(chēng)軸與梁的軸線(xiàn)所確定的平面稱(chēng)為梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)平面(圖3-26)。若梁上所有外力(包括外力偶)都作用在梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)，則變形后梁的軸線(xiàn)將變成位于縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)的一條平面曲線(xiàn)，這種彎曲稱(chēng)為平面彎曲。它是彎曲問(wèn)題中最簡(jiǎn)單的一種情況，是本節(jié)主要討論的問(wèn)題。,圖3-25有對(duì)稱(chēng)軸的梁,圖3-26縱向?qū)ΨQ(chēng)平面,3.5.2梁橫截面上的內(nèi)力剪力和彎矩1.剪力、彎矩的概念分析梁橫截面上的內(nèi)力仍用截面法。如圖3-27a所示簡(jiǎn)支梁，為確定任一截面m-n的內(nèi)力，我們用截面法沿橫截

46、面m-n將梁截為左、右兩段(圖3-27b、c)。由于整個(gè)梁是平衡的，它的任一部分也應(yīng)是平衡的。若取左段為研究對(duì)象，由其平衡可知在m-n截面上必然存在著兩個(gè)內(nèi)力分量：,1)與截面相切的內(nèi)力分量，稱(chēng)為剪力，用FQ表示。2)作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)的力偶矩，稱(chēng)為彎矩，用M表示。由平衡方程可計(jì)算出m-n截面的FQ與MFy=0，F(xiàn)A-FQ=0FQ=FAMC(F)=0，M-FAx=0M=FAx截面m-n上的剪力和彎矩，也可取右段為研究對(duì)象根據(jù)平衡方程求得。顯然，取右段所求得的剪力和彎矩與取左段求得的剪力和彎矩大小相等、方向相反，它們是作用與反作用的關(guān)系(圖3-27b、c)。,圖3-27梁橫截面上的剪力和彎矩,

47、為使取左段梁和右段梁求得的同一橫截面上的剪力與彎矩符號(hào)相同，根據(jù)梁的變形情況，對(duì)剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：以某一截面為界，左右兩段梁發(fā)生左上右下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，該截面上的剪力為正，反之為負(fù)(圖3-28)；使某段梁彎曲呈上凹下凸?fàn)顣r(shí)，該橫截面上的彎矩為正，反之為負(fù)(圖3-29)。,圖3-28剪力的正負(fù)號(hào),圖3-29彎矩的正負(fù)號(hào),2.計(jì)算剪力和彎矩的簡(jiǎn)捷法截面法是計(jì)算剪力和彎矩的基本方法，在這一方法的基礎(chǔ)上，可引出直接由梁的外力求截面上的剪力和彎矩的方法，即簡(jiǎn)捷法：1)梁任一橫截面上的剪力等于截面一側(cè)(左側(cè)或右側(cè))所有外力的代數(shù)和，即FQ=F。 其中，截面左側(cè)向上的外力或截面右側(cè)向下的外力，在該截

48、面上產(chǎn)生正的剪力。因此可概括為“左上右下，剪力為正”；反之，則產(chǎn)生負(fù)的剪力。2)梁任一截面上的彎矩等于截面一側(cè)(左側(cè)或右側(cè))所有外力(包括外力偶)對(duì)該截面形心力矩的代數(shù)和，即M=MC。其中，截面左側(cè)對(duì)截面形心順時(shí)針的力矩或截面右側(cè)對(duì)截面形心逆時(shí)針的力矩，在該截面上產(chǎn)生正的彎矩。因此可概括為“左順右逆，彎矩為正”；反之，則產(chǎn)生負(fù)的彎矩。,3.5.3剪力圖和彎矩圖1.根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫(huà)剪力圖和彎矩圖一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩是隨截面位置而發(fā)生變化的，若以梁的軸線(xiàn)為x軸，表示橫截面的位置，則梁上各橫截面的剪力和彎矩都可以表示為x的函數(shù)，即FQ=FQ(x)M=M(x)上述兩式即為剪力和彎

49、矩隨截面位置變化的函數(shù)關(guān)系式，分別稱(chēng)為剪力方程和彎矩方程。梁的剪力和彎矩隨截面位置變化的圖像，分別稱(chēng)為剪力圖和彎矩圖。值得注意的是：在列剪力方程和彎矩方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)梁上載荷的分布情況分段進(jìn)行，集中力(包括支座反力)、集中力偶的作用點(diǎn)和分布載荷的起、止點(diǎn)均為分段點(diǎn)。利用剪力圖和彎矩圖很容易確定梁的最大剪力和彎矩，找到危險(xiǎn)截面的位置，以便進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算。下面舉例說(shuō)明剪力圖和彎矩圖的畫(huà)法。,3.5.4純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力一般情況下，梁的橫截面上既有彎矩，又有剪力，這種彎曲稱(chēng)為橫力彎曲。若梁的橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力，稱(chēng)為純彎曲。1.中性層與中性軸如圖3-32所示矩形截面梁，在其兩端受到兩個(gè)力

50、偶的作用發(fā)生純彎曲變形。觀(guān)察純彎曲梁的變形，可以發(fā)現(xiàn)凹邊的縱向纖維層縮短，凸邊的縱向纖維層伸長(zhǎng)。由于變形的連續(xù)性，因此其間必有一層既不伸長(zhǎng)也不縮短的縱向纖維層，稱(chēng)為中性層。中性層與橫截面的交線(xiàn)稱(chēng)為中性軸，即如圖3-32所示的z軸。可以證明，中性軸必過(guò)梁橫截面的形心且與縱向?qū)ΨQ(chēng)平面垂直；由于中性軸位于中性層上，故中性軸是橫截面上伸長(zhǎng)區(qū)域與縮短區(qū)域的分界線(xiàn)。,2.梁橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律梁橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律如圖3-33所示。其規(guī)律可總結(jié)如下： 1)純彎曲變形時(shí)，梁的橫截面上只有正應(yīng)力，沒(méi)有切應(yīng)力。 2)梁橫截面上正應(yīng)力的大小沿梁的高度呈線(xiàn)性分布，中性軸上各點(diǎn)(y0)的正應(yīng)力為零，與中性軸等距的各