高中數(shù)學(xué) 報刊專題研究精選 例談橢圓定義在解題中的應(yīng)用素材（通用）

1、例談橢圓定義在解題中的應(yīng)用 定義是揭示事物的本質(zhì)屬性，對于某些數(shù)學(xué)問題，若能靈活運(yùn)用定義解題，往往事半功倍，本文舉例說明橢圓定義在解題中的應(yīng)用。一. 解方程 例1. 分析：常規(guī)方法是經(jīng)過兩次平方去根號求解，但運(yùn)算繁雜，難免不出錯。如果聯(lián)想到橢圓的第一定義，將方程配方后令，得，則點(diǎn)M（x，y）的軌跡是以F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，從而原方程的解等價于已知橢圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)去求它們的橫坐標(biāo)。 解：由原方程可得 解得二. 判斷方程表示的曲線 例2. 已知，且滿足，試判斷點(diǎn)M的軌跡是怎樣的曲線。 分析：若將原方程平方，化簡后并不能直接判斷出軌跡是什么曲線，注意式子結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)

2、，左邊可看成點(diǎn)M到點(diǎn)（2，0）的距離，從而可聯(lián)想右邊可化為點(diǎn)M到直線的距離，即有，由此聯(lián)想到橢圓的第二定義，就很簡單地求出點(diǎn)M的軌跡是橢圓。三. 求參數(shù)的取值范圍 例3. （2020年高考全國卷III）設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)是F1（-c，0）、F2（c，0）（c0），且橢圓上存在點(diǎn)P，使得直線PF1與直線PF2垂直，求m的取值范圍。 解：由題意知m0，且 2得： 又 所以，即，所以 例4. （1997年全國聯(lián)賽題）若方程表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是（ ） A. （0，1）B. （1，+） C. （0，5）D. （5，+） 分析：由已知得 即 依題意，此方程表示橢圓，根據(jù)橢圓的第二定義，得，解得

3、m5，選D。四. 求最值 例5. （1）（1999年全國聯(lián)賽題）給定A（-2，2），已知B是橢圓上動點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，當(dāng)取最小值時，求B點(diǎn)坐標(biāo)。 （2）已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)，M是橢圓上動點(diǎn)，求|MP|+|MF|的最小值。 分析：此題如果按一般求最值的方法先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，因含有兩個根式的和，代入消元不易，難以求解，但如果我們注意數(shù)量特征，利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化，則可得到如下簡解。 解：（1）顯然點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，由橢圓第二定義可得：B到橢圓左準(zhǔn)線l的距離，所以，結(jié)合平面幾何知識，可知，當(dāng)ABl時，最小，此時易求B點(diǎn)坐標(biāo)為（，2） （2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，由平面幾何

4、知識，得，當(dāng)且僅當(dāng)M為線段FP的延長線與橢圓交點(diǎn)時取等號。 所以 所以的最小值為。五. 求軌跡方程 例6. （2002年春季高考題）已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上一個動點(diǎn)，如果延長F1P到Q，使得，那么動點(diǎn)Q的軌跡是（ ） A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線一支D. 拋物線 解：因?yàn)椋?由橢圓第一定義得，故，即Q點(diǎn)軌跡是以F1為圓心，以2a為半徑的圓，選A。六. 求焦點(diǎn)三角形的面積 例7. 已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是兩個焦點(diǎn)，且F1PF2，求F1PF2的面積S。 解：PF1F2中，由余弦定理，得 所以 故七. 求離心率 例8. 已知P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)若PF1F2，PF2F1，求橢圓離心率。 解：PF1F2中，由正弦定理有 八. 求離心率取值范圍 例9. （2001年