高中數(shù)學教學論文 解數(shù)學題不應是公式(通用)_第1頁
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文檔簡介

1、解數(shù)學題不應是公式、規(guī)則的演繹游戲 高考題和數(shù)學競賽題,在高中數(shù)學教學中有著引領的作用。這些題目的好壞影響很大。構(gòu)建一道好的題目也十分不易。顯然,絕大多數(shù)的高考題和競賽題是不錯的。有些題目還十分精彩。而且從近幾年看,題目出的越來越好。但也不可否認確實有個別題目出的不好,對高中數(shù)學教學造成不好的影響。也引起學生和家長的不滿。令人不安的是,目前很少能聽到對這些題目的批評意見。對個別不好的題目,沒有人站出來說:“不!”相反,上級教育主管部門對這些考題的評價都是正面的、肯定的。當然,批評的意見不一定就是對的。要允許別人反批評。由于這些題的影響較大,在這里,應該要對事不對人地開展討論,才能有利于高中數(shù)學

2、教育的發(fā)展。筆者水平有限,但卻希望在此,結(jié)合幾個具體的題目,發(fā)表一些意見。歡迎批評指正。首先討論兩道高中數(shù)學聯(lián)賽的題。這是很多年以前的題目了。所以還拿出來討論是因為,目前這類題目仍在高中課堂廣泛講授,被有些老師稱為經(jīng)典題。成為高考復習的題型之一,其影響還很大。1 設函數(shù),求的值。點評:請問這道題應該讓學生如何來思考?我們在高中學過,等差數(shù)列和等比數(shù)列,知道如何求它們的前項和。這是等差數(shù)列或等比數(shù)列嗎?它們不是!那么,我們能用求等差、等比數(shù)列前項和公式的方法,來處理這道題嗎?也不成!事實上,出題者是利用這道題中的函數(shù)的一個特殊性質(zhì):,而編造出來的。而這個性質(zhì)卻不是顯然的,人們根本無法一眼看出。請

3、問,用這樣的題如何培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力?如果允許這樣來編造數(shù)學題,我們可以把這題改得更難,例如,讓,此時該函數(shù)滿足:。還可以再復雜,讓,此時,該函數(shù)滿足:。若還覺得簡單,可以把上述函數(shù)表達式進行通分,甚至分子、分母同乘一個代數(shù)式,等等。我們也可以編造滿足或更復雜的函數(shù)關系來出這類型的題。學生得到的收獲只能是:今后看到類似題型,要根據(jù)題目中數(shù)列的值,如這里的,反過來猜測給定的函數(shù)的特殊性質(zhì)。這種思維是數(shù)學思維嗎?我們在培養(yǎng)學生的什么能力?這是數(shù)學嗎?數(shù)學作為一門科學,它研究的問題,無論是來自實際還是來自數(shù)學本身,都是有意義的。它的思想方法非常豐富(例如我們熟知的類比、歸納等等),體現(xiàn)

4、著人類思考問題、分析問題的一般方法。如果采用這種生編硬造的方法玩花樣,(類似地還有:把一些因式乘起來,讓人去做因式分解;從一個明顯的不等式出發(fā),例如,兩邊加、乘同樣的式子,使其復雜化,讓人去證明這復雜的不等式,等等。)數(shù)學將變成定義、規(guī)則和演繹法的游戲,它既沒有動力也沒有目標。數(shù)學將不會吸引任何有理智的人,它也喪失了其生命力。2 設函數(shù) 定義在區(qū)間上,求這個函數(shù)的最大值與最小值的和。點評:對一個函數(shù)來說,我們自然會關心它的最大值和最小值。它們給出了該函數(shù)因變量變化的范圍,而且在應用中,最大、最小值也十分重要。有時也會關心最大值與最小值的差,它反映了因變量變化的幅度。但是,我們?yōu)槭裁匆笞畲笾蹬c

5、最小值的和?它有何意義?如果不關心其意義,我們就可以提出一大堆問題,如,求最大值與最小值的乘積、商、平方和等等。解決這類根本不知道其意義的問題,不是數(shù)學!這是沒有目標的演繹游戲。 退一步說,如果問題本身沒有意義,但我們有一個好的方法,能對一般的函數(shù)求出其最大值與最小值的和,即存在一種通性通法。這也還算可以。但我們卻沒有這種方法。于是,按照一般的做法,我們只能分別求出該函數(shù)的最大、最小值,然后再對它們求和。由于該函數(shù)最后一項是+3,我們只需求函數(shù)的最大、最小值。這個函數(shù)的圖像很難畫出,學生無法利用幾何直觀來猜想。我們在課堂上教給學生的是,對這種問題,最一般的方法是,通過求導數(shù),然后解一個方程,來

6、求極大、極小值點。但是,這個函數(shù)求導后,得到的三項中,分別包含,指數(shù)、對數(shù)和多項式。無法求出其零點。 那么,這題如何做呢?這題目的標準答案說, 是一個奇函數(shù),從而在對稱區(qū)間上,最大、最小值的和為0。怎么就會想到是奇函數(shù)?從函數(shù)表達式根本看不出來,的圖像又不易畫出。我們想通過這道題教給學生什么思考問題、分析問題的方法呢?這里又是編造一個特殊的函數(shù)來為難學生,卻沒有任何意義。學生得到的收獲只能是:今后如果出現(xiàn)求最大、最小值的和的題,要看它是否是奇函數(shù)。這種收獲,在分析問題、解決問題上沒有任何意義,不是在學數(shù)學,而是在對付考試、對付題型。而這種題型不是真正意義上的數(shù)學問題。是數(shù)學中的垃圾。下面討論兩

7、道近年的高考題。(這不是新課標實施后的考題)3 下面是一道選擇題,其正確答案是。(2020年重慶卷理科10) 函數(shù)f(x)=() 的值域是(B )(A)-(B)-1,0 (C)- D)-命題者給出該題的標準答案如下:方法1:特殊值法,sinx=0,cosx=1則f(x)=淘汰A,令得當時sinx= -1時,所以矛盾.淘汰C, D.方法2:其中 f(x)-1,0.當x=p時, 方法3:令 k表示圓x2+y2=1上的點與點(1,1)連線的斜率,點評:求一個連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間的值域,只需求出該函數(shù)在這區(qū)間的最大、最小值。其關鍵的步驟是求出該函數(shù)在這區(qū)間的極值,再和函數(shù)在區(qū)間端點的值進行比較。這是高中熟

8、知的內(nèi)容。而求函數(shù)極值的一般方法是,首先對函數(shù)求導,然后解一個導數(shù)為零的方程。這個方法也是學生熟知的。它是微積分中的一個基本的方法,是通性通法。但是,本題卻沒有考核學生對這個基本方法掌握的程度。相反,如果學生用這個方法,將面臨解一個有關(或)的四次方程。這個方程有一對共軛的復根和兩個實數(shù)根。學生不掌握解四次方程的辦法。從而無法用求導數(shù)的辦法來解決這道題。那么命題者打算讓學生如何來解決這個問題呢?命題者在他們給出的答案中,給出了三種方法。方法1是所謂的排除法。它說,經(jīng)過驗證,在所給出的四個選項中有三個是錯誤的,可以排除在外。因此,剩下的一個選項就是對的。這是學習數(shù)學嗎?這是考試學!是考試的方法,

9、而不是研究數(shù)學的方法。把這種方法作為標準答案,實不可取。方法2和方法3都是把該函數(shù)的表示式,用三角恒等表換公式,變成 ,然后,再討論它的值域。它們的解法卻過分復雜(甚至出現(xiàn)了斜率)。事實上,人們很容易看到 從而連續(xù)函數(shù) 取值在0和1之間。當在所給的定義域區(qū)間時,該式可以取到0和1。因此,該函數(shù)的值域是。而我們要求的函數(shù)和它只相差一個負號,從而它的定義域是。方法2和方法3顯得過于繁瑣了。不過,這道題的問題不在于答案給出的解法麻煩。其致命的缺陷是:我們的問題明明是讓學生求函數(shù)的值域,但我們用這道題要告訴學生的卻是,你們學過的求極值的通性通法在這里卻不適用。在這里要用一個巧妙的變形??上У氖牵@個變

10、形,只適合這一道題。換了別的題就不成了。甚至把這道題目中函數(shù)表達式的任何一個數(shù)或符號改一下,例如,把3改為4或把2改為5,或把減號改成加號,等等。上述的解題方法也失靈。也就是說,本題給出的方法,只能解這一道題。換一個數(shù)或符號就失效,這樣的題目有意義嗎?也許有人說,這是考三角恒等變換。我個人認為,三角恒等變換公式反映了,特定三角函數(shù)值的內(nèi)在關系。其功能主要是,化簡和證明一些恒等式。使學生能認識到一些看似十分復雜的表示式,由于其內(nèi)在的關系,原來如此簡單?;虬l(fā)現(xiàn)表面不同的兩個式子原來是恒等的。我們也可以用三角恒等變換,來做一些計算(例如,數(shù)學分析中的積分計算)。因此,如果要考核學生三角恒等變換,應該

11、在化簡、證明恒等式或計算方面考核。使學生體會這些公式的作用。而不是在形式推演上玩花樣。我國的學生在形式演算方面能力很強,但有些過分了。上世紀70年代末,筆者在美國做訪問學者,在討論班上,常常會不由自主地想到把已知的條件,用一個公式做恒等變形,甚至,對分子、分母同乘一個式子,或加一項再減一項,等等。試圖通過這種途徑找到解決問題的辦法。每當我這樣做時,我的導師,美國科學院院士,F(xiàn).Spitzer教授,都會疑惑地望著我,問我:“Why?”(為什么?)在他看來,沒有數(shù)學思想,沒有方法,靠這種形式演算,變來變?nèi)?,是無法解決問題的。這使我逐漸清楚:我們的這些強項,有時也會把我們引入歧途。這表現(xiàn)在,在教學中

12、,把知識分解為知識點,過分關注細節(jié)和技巧,而忽略了對數(shù)學整體的把握。津津樂道于一些巧題、妙題,而忽視數(shù)學中最常見的、最基本的思想和方法。事實上,幾乎沒有一個重大的數(shù)學成果是靠單純的形式推演而得到的。通常,人們通過直觀猜測、類比、歸納等各種途徑得到結(jié)果,其思路和方法都是清楚、合理的。最后,再靠形式的推理給以驗證。因此,形式演算能力雖然是學習數(shù)學的一種重要能力,但不能過分。特別是,不應該做沒有目標的演算,或只在技巧上玩花樣。如果在學生學過用導數(shù)求極值的一般方法后,我們故意出一道用導數(shù)無法求解的題目,用一個只對這一道題有用的方法來求解。勢必引導教師在高中教學中,去找這樣的偏題怪題來做,而忽視了通性通

13、法的學習。特別是,我們要清楚高中數(shù)學的定位,在我看來,這樣的解題技巧,對一個高中數(shù)學教師或者一個數(shù)學系的學生來說,都不是最重要的。何況,我們的高中生。他們將來大都不專攻數(shù)學,讓他們做這種題就更不必要。他們應該掌握的是最基本的、通性通法,如用導數(shù)求極值,等等。而不是本題中給出的技巧。4 下面這道題的第2問,江西全省沒有考生做出來,喪失了考題選拔的功能。學生、教師反映極大。 (2020年江西理科卷第22題) 各項均為正數(shù)的數(shù)列an,a1=a, a2=b,且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m,n,p,q都有 (1)當時,求通項an ,;(2)證明:對任意a, 存在與a有關的常數(shù)l,使得對于每個正整數(shù)n,

14、都有命題者給出該題的標準答案如下:解:() 由得將代入化簡得所以 故數(shù)列為等比數(shù)列,從而即可驗證,滿足題設條件.() 由題設的值僅與有關,記為則 考察函數(shù) ,則在定義域上有 故對, 恒成立. 又 ,注意到,解上式得取,即有 . 點評:先看第(1)小題的標準答案。由于給出了數(shù)列的第1、2項,利用已知條件得到一個遞推關系這還是自然的。但是,隨后由這個遞推關系得到卻沒有給出任何思路。(答案上只用了“所以”兩個字。)學生無從下手。如果只是恒等變形、化來化去,就沒有任何意義。這樣的問題不能培養(yǎng)任何分析和解決問題的能力。無助于對數(shù)學的理解。少數(shù)學生能做出這道題,是因為老師大量補充關于遞推關系(實質(zhì)上是差分

15、方程)的各種解題技巧。這種題目在高考中出現(xiàn),勢必引導高中老師給學生補充遞推關系的各種題型和技巧。這大大超出了高中課標對學生的要求,加重學生負擔。而對學生的數(shù)學素養(yǎng)沒有多少好處,甚至起著相反的作用。下面我們重點來討論第(2)小題。首先,這里問題的提法就很奇怪。為什么要找一對互為倒數(shù)的正數(shù):和,使得 (1)一個自然的提法是:證明:存在兩個正數(shù)和使得 (2)這意味著,這個數(shù)列是有界的且不會趨于零。這個提法,在數(shù)學上,是有意義的。不難證明,這兩個提法是充分必要的。事實上,若(1)成立,令,就得到(2);反過來,若(2)成立,取一個數(shù)滿足: (這樣的有無窮多個),則(1)成立。雖然這兩個結(jié)論等價,但若無

16、特殊需要,我們是不會提出考題中所問的問題的。考題的這種提法必定要引導學生去找一個特殊的數(shù)。如前所述,它有無窮多個,具體是哪一個并不重要。那么,我們?nèi)绾蝸碚疫@個數(shù)呢?從命題者給出的標準答案來看,他根本沒有去找,只是證明數(shù)列滿足一個一元二次不等式,從而得到的上、下界 然后,答案說,經(jīng)過恒等變換可知,上、下界恰巧互為倒數(shù),于是,我們得到了!從而證明了我們的結(jié)論。原來只是恰巧成立!這種解決問題方法,說得過去嗎?它培養(yǎng)學生什么能力?我們并不是不允許出難題,但要有自然的解題思路,通過對問題一步步的分析,最終解決問題。要通過解決問題來培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。像這題的解法,不給出如何尋找數(shù)的思路,最

17、后,靠“恰好成立”來完成證明。實在不可取。 順便指出,答案中,用形式的計算,來發(fā)現(xiàn)的上、下界互為倒數(shù),對一般人來說,也是很難想到的。因為這兩個界的表達式比較復雜,無法一眼看出。(如果用根與系數(shù)關系的韋達定理,不用計算直接可以得出。)這種考核,不是考學生的能力,用這種東西考學生,并不能選拔出優(yōu)秀的學生。當然,這題的難點還不止這些。為了要說明數(shù)列滿足一個一元二次不等式,答案中首先通過數(shù)列,造了一個新的數(shù)列,然后給出了的下界。這個下界還不像通常那樣,是一個數(shù),而是參數(shù)的一個函數(shù)。這對考生來說,極不容易想到。而且,有了這個下界還無法得到數(shù)列的界(事實上,無論有界還是無界。都是的下界。這一點學生也很難看出。),還要利用題目的已知條件,最終才能得到滿足的不等式。這樣的題目難度很大,遠不是中學學生和教師能夠把握的。更何況,如上所述,問題的提法和解題的方法都不自然。這樣的題目出現(xiàn)在高考的試題中,影響很不好??荚嚭?,在互聯(lián)網(wǎng)上學生罵聲一片。江西上饒的一個教育局副局長對我說,你們搞數(shù)學教育的,出這樣的題,讓學生都遠離數(shù)學,怕數(shù)學,甚至恨數(shù)學。應該反思反思。

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