高中數(shù)學教學論文 解數(shù)學題不應是公式（通用）

1、解數(shù)學題不應是公式、規(guī)則的演繹游戲 高考題和數(shù)學競賽題，在高中數(shù)學教學中有著引領的作用。這些題目的好壞影響很大。構(gòu)建一道好的題目也十分不易。顯然，絕大多數(shù)的高考題和競賽題是不錯的。有些題目還十分精彩。而且從近幾年看，題目出的越來越好。但也不可否認確實有個別題目出的不好，對高中數(shù)學教學造成不好的影響。也引起學生和家長的不滿。令人不安的是，目前很少能聽到對這些題目的批評意見。對個別不好的題目，沒有人站出來說：“不！”相反，上級教育主管部門對這些考題的評價都是正面的、肯定的。當然，批評的意見不一定就是對的。要允許別人反批評。由于這些題的影響較大，在這里，應該要對事不對人地開展討論，才能有利于高中數(shù)學

2、教育的發(fā)展。筆者水平有限，但卻希望在此，結(jié)合幾個具體的題目，發(fā)表一些意見。歡迎批評指正。首先討論兩道高中數(shù)學聯(lián)賽的題。這是很多年以前的題目了。所以還拿出來討論是因為，目前這類題目仍在高中課堂廣泛講授，被有些老師稱為經(jīng)典題。成為高考復習的題型之一，其影響還很大。1 設函數(shù)，求的值。點評：請問這道題應該讓學生如何來思考？我們在高中學過，等差數(shù)列和等比數(shù)列，知道如何求它們的前項和。這是等差數(shù)列或等比數(shù)列嗎？它們不是！那么，我們能用求等差、等比數(shù)列前項和公式的方法，來處理這道題嗎？也不成！事實上，出題者是利用這道題中的函數(shù)的一個特殊性質(zhì)：，而編造出來的。而這個性質(zhì)卻不是顯然的，人們根本無法一眼看出。請

3、問，用這樣的題如何培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力？如果允許這樣來編造數(shù)學題，我們可以把這題改得更難，例如，讓，此時該函數(shù)滿足：。還可以再復雜，讓，此時，該函數(shù)滿足：。若還覺得簡單，可以把上述函數(shù)表達式進行通分，甚至分子、分母同乘一個代數(shù)式，等等。我們也可以編造滿足或更復雜的函數(shù)關系來出這類型的題。學生得到的收獲只能是：今后看到類似題型，要根據(jù)題目中數(shù)列的值，如這里的，反過來猜測給定的函數(shù)的特殊性質(zhì)。這種思維是數(shù)學思維嗎？我們在培養(yǎng)學生的什么能力？這是數(shù)學嗎？數(shù)學作為一門科學，它研究的問題，無論是來自實際還是來自數(shù)學本身，都是有意義的。它的思想方法非常豐富（例如我們熟知的類比、歸納等等），體現(xiàn)

4、著人類思考問題、分析問題的一般方法。如果采用這種生編硬造的方法玩花樣，（類似地還有：把一些因式乘起來，讓人去做因式分解；從一個明顯的不等式出發(fā)，例如，兩邊加、乘同樣的式子，使其復雜化，讓人去證明這復雜的不等式，等等。）數(shù)學將變成定義、規(guī)則和演繹法的游戲，它既沒有動力也沒有目標。數(shù)學將不會吸引任何有理智的人，它也喪失了其生命力。2 設函數(shù) 定義在區(qū)間上，求這個函數(shù)的最大值與最小值的和。點評：對一個函數(shù)來說，我們自然會關心它的最大值和最小值。它們給出了該函數(shù)因變量變化的范圍，而且在應用中，最大、最小值也十分重要。有時也會關心最大值與最小值的差，它反映了因變量變化的幅度。但是，我們?yōu)槭裁匆笞畲笾蹬c

5、最小值的和？它有何意義？如果不關心其意義，我們就可以提出一大堆問題，如，求最大值與最小值的乘積、商、平方和等等。解決這類根本不知道其意義的問題，不是數(shù)學！這是沒有目標的演繹游戲。 退一步說，如果問題本身沒有意義，但我們有一個好的方法，能對一般的函數(shù)求出其最大值與最小值的和，即存在一種通性通法。這也還算可以。但我們卻沒有這種方法。于是，按照一般的做法，我們只能分別求出該函數(shù)的最大、最小值，然后再對它們求和。由于該函數(shù)最后一項是+3，我們只需求函數(shù)的最大、最小值。這個函數(shù)的圖像很難畫出，學生無法利用幾何直觀來猜想。我們在課堂上教給學生的是，對這種問題，最一般的方法是，通過求導數(shù)，然后解一個方程，來

6、求極大、極小值點。但是，這個函數(shù)求導后，得到的三項中，分別包含，指數(shù)、對數(shù)和多項式。無法求出其零點。 那么，這題如何做呢？這題目的標準答案說， 是一個奇函數(shù)，從而在對稱區(qū)間上，最大、最小值的和為0。怎么就會想到是奇函數(shù)？從函數(shù)表達式根本看不出來，的圖像又不易畫出。我們想通過這道題教給學生什么思考問題、分析問題的方法呢？這里又是編造一個特殊的函數(shù)來為難學生，卻沒有任何意義。學生得到的收獲只能是：今后如果出現(xiàn)求最大、最小值的和的題，要看它是否是奇函數(shù)。這種收獲，在分析問題、解決問題上沒有任何意義，不是在學數(shù)學，而是在對付考試、對付題型。而這種題型不是真正意義上的數(shù)學問題。是數(shù)學中的垃圾。下面討論兩

7、道近年的高考題。（這不是新課標實施后的考題）3 下面是一道選擇題，其正確答案是。(2020年重慶卷理科10) 函數(shù)f(x)=() 的值域是(B )(A)-(B)-1,0 (C)- D)-命題者給出該題的標準答案如下：方法1：特殊值法，sinx=0,cosx=1則f(x)=淘汰A，令得當時sinx= -1時,所以矛盾.淘汰C， D.方法2：其中 f(x)-1,0.當x=p時, 方法3：令 k表示圓x2+y2=1上的點與點(1，1)連線的斜率，點評：求一個連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間的值域，只需求出該函數(shù)在這區(qū)間的最大、最小值。其關鍵的步驟是求出該函數(shù)在這區(qū)間的極值，再和函數(shù)在區(qū)間端點的值進行比較。這是高中熟

8、知的內(nèi)容。而求函數(shù)極值的一般方法是，首先對函數(shù)求導，然后解一個導數(shù)為零的方程。這個方法也是學生熟知的。它是微積分中的一個基本的方法，是通性通法。但是，本題卻沒有考核學生對這個基本方法掌握的程度。相反，如果學生用這個方法，將面臨解一個有關（或）的四次方程。這個方程有一對共軛的復根和兩個實數(shù)根。學生不掌握解四次方程的辦法。從而無法用求導數(shù)的辦法來解決這道題。那么命題者打算讓學生如何來解決這個問題呢？命題者在他們給出的答案中，給出了三種方法。方法1是所謂的排除法。它說，經(jīng)過驗證，在所給出的四個選項中有三個是錯誤的，可以排除在外。因此，剩下的一個選項就是對的。這是學習數(shù)學嗎？這是考試學！是考試的方法，

9、而不是研究數(shù)學的方法。把這種方法作為標準答案，實不可取。方法2和方法3都是把該函數(shù)的表示式，用三角恒等表換公式，變成 ，然后，再討論它的值域。它們的解法卻過分復雜（甚至出現(xiàn)了斜率）。事實上，人們很容易看到 從而連續(xù)函數(shù) 取值在0和1之間。當在所給的定義域區(qū)間時，該式可以取到0和1。因此，該函數(shù)的值域是。而我們要求的函數(shù)和它只相差一個負號，從而它的定義域是。方法2和方法3顯得過于繁瑣了。不過，這道題的問題不在于答案給出的解法麻煩。其致命的缺陷是：我們的問題明明是讓學生求函數(shù)的值域，但我們用這道題要告訴學生的卻是，你們學過的求極值的通性通法在這里卻不適用。在這里要用一個巧妙的變形?？上У氖牵@個變

10、形，只適合這一道題。換了別的題就不成了。甚至把這道題目中函數(shù)表達式的任何一個數(shù)或符號改一下，例如，把3改為4或把2改為5，或把減號改成加號，等等。上述的解題方法也失靈。也就是說，本題給出的方法，只能解這一道題。換一個數(shù)或符號就失效，這樣的題目有意義嗎？也許有人說，這是考三角恒等變換。我個人認為，三角恒等變換公式反映了，特定三角函數(shù)值的內(nèi)在關系。其功能主要是，化簡和證明一些恒等式。使學生能認識到一些看似十分復雜的表示式，由于其內(nèi)在的關系，原來如此簡單?；虬l(fā)現(xiàn)表面不同的兩個式子原來是恒等的。我們也可以用三角恒等變換，來做一些計算（例如，數(shù)學分析中的積分計算）。因此，如果要考核學生三角恒等變換，應該

11、在化簡、證明恒等式或計算方面考核。使學生體會這些公式的作用。而不是在形式推演上玩花樣。我國的學生在形式演算方面能力很強，但有些過分了。上世紀70年代末，筆者在美國做訪問學者，在討論班上，常常會不由自主地想到把已知的條件，用一個公式做恒等變形，甚至，對分子、分母同乘一個式子，或加一項再減一項，等等。試圖通過這種途徑找到解決問題的辦法。每當我這樣做時，我的導師，美國科學院院士，F(xiàn).Spitzer教授，都會疑惑地望著我，問我：“Why?”（為什么？）在他看來，沒有數(shù)學思想，沒有方法，靠這種形式演算，變來變?nèi)?，是無法解決問題的。這使我逐漸清楚：我們的這些強項，有時也會把我們引入歧途。這表現(xiàn)在，在教學中

12、，把知識分解為知識點，過分關注細節(jié)和技巧，而忽略了對數(shù)學整體的把握。津津樂道于一些巧題、妙題，而忽視數(shù)學中最常見的、最基本的思想和方法。事實上，幾乎沒有一個重大的數(shù)學成果是靠單純的形式推演而得到的。通常，人們通過直觀猜測、類比、歸納等各種途徑得到結(jié)果，其思路和方法都是清楚、合理的。最后，再靠形式的推理給以驗證。因此，形式演算能力雖然是學習數(shù)學的一種重要能力，但不能過分。特別是，不應該做沒有目標的演算，或只在技巧上玩花樣。如果在學生學過用導數(shù)求極值的一般方法后，我們故意出一道用導數(shù)無法求解的題目，用一個只對這一道題有用的方法來求解。勢必引導教師在高中教學中，去找這樣的偏題怪題來做，而忽視了通性通

13、法的學習。特別是，我們要清楚高中數(shù)學的定位，在我看來，這樣的解題技巧，對一個高中數(shù)學教師或者一個數(shù)學系的學生來說，都不是最重要的。何況，我們的高中生。他們將來大都不專攻數(shù)學，讓他們做這種題就更不必要。他們應該掌握的是最基本的、通性通法，如用導數(shù)求極值，等等。而不是本題中給出的技巧。4 下面這道題的第2問，江西全省沒有考生做出來，喪失了考題選拔的功能。學生、教師反映極大。 (2020年江西理科卷第22題) 各項均為正數(shù)的數(shù)列an，a1=a, a2=b,且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m,n,p,q都有 (1)當時，求通項an ,;(2)證明：對任意a, 存在與a有關的常數(shù)l，使得對于每個正整數(shù)n，

14、都有命題者給出該題的標準答案如下：解：() 由得將代入化簡得所以 故數(shù)列為等比數(shù)列，從而即可驗證，滿足題設條件.() 由題設的值僅與有關,記為則 考察函數(shù) ,則在定義域上有 故對， 恒成立. 又 ,注意到,解上式得取,即有 . 點評：先看第(1)小題的標準答案。由于給出了數(shù)列的第1、2項，利用已知條件得到一個遞推關系這還是自然的。但是，隨后由這個遞推關系得到卻沒有給出任何思路。(答案上只用了“所以”兩個字。)學生無從下手。如果只是恒等變形、化來化去，就沒有任何意義。這樣的問題不能培養(yǎng)任何分析和解決問題的能力。無助于對數(shù)學的理解。少數(shù)學生能做出這道題，是因為老師大量補充關于遞推關系(實質(zhì)上是差分

15、方程)的各種解題技巧。這種題目在高考中出現(xiàn)，勢必引導高中老師給學生補充遞推關系的各種題型和技巧。這大大超出了高中課標對學生的要求，加重學生負擔。而對學生的數(shù)學素養(yǎng)沒有多少好處，甚至起著相反的作用。下面我們重點來討論第(2)小題。首先，這里問題的提法就很奇怪。為什么要找一對互為倒數(shù)的正數(shù)：和，使得 （1）一個自然的提法是：證明：存在兩個正數(shù)和使得 （2）這意味著，這個數(shù)列是有界的且不會趨于零。這個提法，在數(shù)學上，是有意義的。不難證明，這兩個提法是充分必要的。事實上，若（1）成立，令，就得到（2）；反過來，若（2）成立，取一個數(shù)滿足： （這樣的有無窮多個），則（1）成立。雖然這兩個結(jié)論等價，但若無

16、特殊需要，我們是不會提出考題中所問的問題的。考題的這種提法必定要引導學生去找一個特殊的數(shù)。如前所述，它有無窮多個，具體是哪一個并不重要。那么，我們?nèi)绾蝸碚疫@個數(shù)呢？從命題者給出的標準答案來看，他根本沒有去找，只是證明數(shù)列滿足一個一元二次不等式，從而得到的上、下界 然后，答案說，經(jīng)過恒等變換可知，上、下界恰巧互為倒數(shù)，于是，我們得到了！從而證明了我們的結(jié)論。原來只是恰巧成立！這種解決問題方法，說得過去嗎？它培養(yǎng)學生什么能力？我們并不是不允許出難題，但要有自然的解題思路，通過對問題一步步的分析，最終解決問題。要通過解決問題來培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。像這題的解法，不給出如何尋找數(shù)的思路，最

17、后，靠“恰好成立”來完成證明。實在不可取。 順便指出，答案中，用形式的計算，來發(fā)現(xiàn)的上、下界互為倒數(shù)，對一般人來說，也是很難想到的。因為這兩個界的表達式比較復雜，無法一眼看出。（如果用根與系數(shù)關系的韋達定理，不用計算直接可以得出。）這種考核，不是考學生的能力，用這種東西考學生，并不能選拔出優(yōu)秀的學生。當然，這題的難點還不止這些。為了要說明數(shù)列滿足一個一元二次不等式，答案中首先通過數(shù)列，造了一個新的數(shù)列，然后給出了的下界。這個下界還不像通常那樣，是一個數(shù)，而是參數(shù)的一個函數(shù)。這對考生來說，極不容易想到。而且，有了這個下界還無法得到數(shù)列的界（事實上，無論有界還是無界。都是的下界。這一點學生也很難看出。），還要利用題目的已知條件，最終才能得到滿足的不等式。這樣的題目難度很大，遠不是中學學生和教師能夠把握的。更何況，如上所述，問題的提法和解題的方法都不自然。這樣的題目出現(xiàn)在高考的試題中，影響很不好?？荚嚭?，在互聯(lián)網(wǎng)上學生罵聲一片。江西上饒的一個教育局副局長對我說，你們搞數(shù)學教育的，出這樣的題，讓學生都遠離數(shù)學，怕數(shù)學，甚至恨數(shù)學。應該反思反思。