工程數(shù)學(xué)之概率論-第三章1節(jié)

1、1 二 維 隨 機(jī) 變 量,二維隨機(jī)變量 聯(lián)合分布函數(shù) 聯(lián)合分布律 聯(lián)合概率密度,返回主目錄,設(shè) T 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是 =， 設(shè) X=X( ) 和 Y=Y() 是定義在 上的隨機(jī)變量。 由它們構(gòu)成的一個(gè)向量 (X, Y) ，叫做二維隨機(jī) 向量，或二維隨機(jī)變量。,X(),Y(),1 二 維 隨 機(jī) 變 量,一定義,返回主目錄,注 意 事 項(xiàng),1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,二維隨機(jī)變量的例子,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,二維隨機(jī)變量的例子,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,二二維r.v的分布函數(shù)定義,返回主目錄,二元分布函數(shù)的幾

2、何意義,y,o,(x, y),(X, Y ),1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,一個(gè)重要的公式,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),1 二 維 隨 機(jī) 變 量,分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：,F (x , y )是變量 x , y 的不減函數(shù)，即 對(duì)于任意固定的 y , 當(dāng) x1 x2時(shí)， 對(duì)于任意固定的 x , 當(dāng) y1 y2時(shí)，,對(duì)于任意固定的 Y , 對(duì)于任意固定的 X ,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,3),2),返回主目錄,4）F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )

3、=F(x ,y+0), 即 F (x , y )關(guān)于 x 右連續(xù)，關(guān)于 y 也右連續(xù).,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),1 二 維 隨 機(jī) 變 量,5),說(shuō) 明,上述五條性質(zhì)是二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的最基本的 性質(zhì)，即任何二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)都具有這五 條性質(zhì)； 更進(jìn)一步地，我們還可以證明：如果某一二元函數(shù) 具有這五條性質(zhì)，那么，它一定是某一二維隨機(jī)變 量的分布函數(shù)（證明略）,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,例1,設(shè),討論F (x, y)能否成為二維r.v.的分布函數(shù)？,解,x+ y =

4、 1,故F(x, y)不能作為某二維 r.v.的分布函數(shù).,n 維隨機(jī)變量,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,n維隨機(jī)變量的分布函數(shù),1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,三二維離散型隨機(jī)變量,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律的性質(zhì),1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,例 1,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,例 1（續(xù)）,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,例 1（續(xù)）,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,例 2,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,例 2（續(xù)）,1 二 維 隨

5、機(jī) 變 量,返回主目錄,例 2（續(xù)）,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,由題意知，X=i，Y=j的取值情況是：i=1,2,3,4，且是等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整數(shù)。由乘法公式求得 ( X,Y ) 的分布律。,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,設(shè)隨機(jī)變量 X 在 1,2,3,4四個(gè)數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)隨機(jī)變量 Y 在1X 中等可能地取一整數(shù)值。試求 ( X,Y ) 的分布律。,例 3,解：,返回主目錄,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,Y,X,1 2 3 4,1 2 3 4,例 3（續(xù)）,返回主目錄,四二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù),1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,例:已知

6、二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為,求(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y),解:(0,0),(0,1)(1,0)(1,1)將平面 分成若干塊,1,0,1,x,y,(1),(1),(1),(2),(3),(4),(5),（）當(dāng)x0或y0時(shí),（）當(dāng) 0 x1,0 y 1,（）當(dāng)x 1, y1時(shí),（）當(dāng)x1,0 y 1時(shí),=0.1+0.3=0.4,(5)當(dāng)x1,y1時(shí),=0.1+0.2+0.3+0.4=1,因此,對(duì)于二維隨機(jī)變量 ( X,Y ) 分布函數(shù) F (x , y )，如 果存在非負(fù)函數(shù) f (x , y )，使得對(duì)于任意的 x，y有：,則稱 ( X,Y ) 是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量，函數(shù)

7、f (x , y )稱為二維隨機(jī)變量 ( X,Y )的概率密度，或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合概率密度。,三二維連續(xù)型隨機(jī)變量,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,按定義，概率密度 f (x , y ) 具有以下性質(zhì)：,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,40 設(shè) G 是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn) ( X,Y )落在 G 內(nèi) 的概率為：,返回主目錄,在幾何上 z = f (x , y) 表示空間的一個(gè)曲面，上式 即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 為底，以曲面 z = f (x , y)為頂?shù)闹w體積,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,x,y,o,z,z=f(x,y),G,例 4,1 二 維 隨 機(jī)

8、 變 量,返回主目錄,例 4（續(xù)）,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,例 4（續(xù)）,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,例 5,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,例 5（續(xù)）,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,例 5(續(xù)）,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,例 5(續(xù)）,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,例 6,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,x+y=1,x=1,y=2,返回主目錄,例 6(續(xù)）,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,x+y=1,x=1,y=2,返回主目錄,y,0,1,2,y=2,X=1,當(dāng)x0或y0時(shí),（x , y),當(dāng)0 x 1,0 y 2時(shí),X,y,(x, y),x=1,y=2,當(dāng)0 x 1, y 2時(shí),X,(x, y),X=1,y=2,2,當(dāng)x 1,0 y 2時(shí),1,y,(x, y),X=1,y=2,當(dāng)x 1,0 y 2時(shí),1,2,(x, y),x=1,y=2,所以,二維均勻分布,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,二維均勻分布幾何意義,1 二 維 隨 機(jī) 變 量,返回主目錄,P(X,Y) G此概率與子區(qū)域的