第0章 矢量分析new.ppt

1、1/48,常用坐標(biāo)系,標(biāo)量場的梯度,矢量場的通量與散度,矢量場的環(huán)量與旋度,亥姆霍茲定理,電磁場的特殊形式,第0章 矢量分析,(Vector Analysis),矢量代數(shù),2/48,0.1 矢量代數(shù),標(biāo)量（Scalar）是只有大小的物理量（可以包括相位），例如：電壓，電流，電荷量，能量，溫度 矢量（Vector）是同時(shí)具有大?。梢园ㄏ辔唬┖头较虻奈锢砹浚?例如：速度，電場強(qiáng)度，磁場強(qiáng)度,Vector Algebra,3/48,矢量點(diǎn)積,a B = |a|B| cos qaB,矢量點(diǎn)積為標(biāo)量,4/48,矢量叉積,A B = aN|A|B| sin qAB,矢量叉積為矢量,5/48,場是一個(gè)標(biāo)

2、量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量。,例如，在直角坐標(biāo)下：,標(biāo)量場和矢量場,如流速場、電場、渦流場等。,Scalar Field and Vector Field,數(shù)學(xué)形式,6/48,其方程為:,圖0.1.1 等高線,(1) 標(biāo)量場-等值線(面),形象描繪場分布的工具場線,思考,在某一高度上沿什么方向高度變化最快？,7/48,三維場,二維場,圖0.1.2 矢量線,矢量場-矢量線,矢量線方程：,在直角坐標(biāo)下：,如何描繪矢量場?,8/48,0.2 常用坐標(biāo)系,引入坐標(biāo)系的目的 電磁場物理規(guī)律本身與坐標(biāo)系無關(guān)； 在實(shí)際描述求解電磁場問題時(shí)需要坐標(biāo)系，同時(shí)，合理的選擇坐標(biāo)系

3、可以降低分析問題的難度； 坐標(biāo)系的最基本要求“正交性”。,Common Coordinate System,直角坐標(biāo)系,圓柱坐標(biāo)系,球坐標(biāo)系,9/48,直角坐標(biāo)系,10/48,場分量與單位向量,11/48,圓柱坐標(biāo)系,12/48,圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換,13/48,球坐標(biāo)系,14/48,如何確定標(biāo)量場？,任意標(biāo)量場都可以由場的梯度和場中某一點(diǎn)的值唯一確定。,15/48,0.3 標(biāo)量場的梯度 Gradient of Scalar Field,設(shè),式中 , , 分別是任一方向 與 x, y, z 軸的夾角,則有：,當(dāng) ， 最大,設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù) (x，y，z)，若函數(shù) 在點(diǎn) P 可微，則 在點(diǎn)

4、P 沿任意方向 的方向?qū)?shù)為,梯度(gradient),哈密頓算子,式中,圖0.3.1 等溫線分布,梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向，即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。,梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即該點(diǎn)最大方向?qū)?shù)。,標(biāo)量場的梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。,梯度的特點(diǎn),nabla,那卜拉,例 0.3.1 三維高度場的梯度,圖0.3.2 三維高度場的梯度,高度場的梯度與過該點(diǎn)的等高線垂直；,數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變 化率；,指向地勢升高的方向。,梯度的方向在等位面的法線方向，等位面的法線方向是場變化最快的方向。,例 0.3.2 電位場的梯度,圖0.3.3

5、電位場的梯度,電位場的梯度與過該點(diǎn)的等位線垂直；,數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；,指向電位增加的方向。,19/48,如何確定矢量場?,確定矢量場的必要條件： 必須同時(shí)確定該矢量場散度和旋度，否則場的解答不唯一。,20/48,0.4 矢量場的通量與散度,0.4.1 通量 ( Flux ),矢量E 沿有向曲面 S 的面積分,若 S 為閉合曲面 根據(jù)通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)：,Flux and Divergence of Vector,圖0.4.1 矢量場的通量,21/48,引入散度的目的,通量描述的是整個(gè)體積“流量”的情況，是一個(gè)宏觀性質(zhì)的物理量，如果想知道一點(diǎn)處流量的情況，應(yīng)如何考慮？ （閉

6、合面內(nèi)某點(diǎn)處矢量的通量性質(zhì)）,22/48,0.4.2 散度 ( Divergence ),應(yīng)用曲面積分奧氏公式,在直角坐標(biāo)下通量可以寫成:,矢量場A的散度（上式右式看作V內(nèi)各點(diǎn)處發(fā)散強(qiáng)度的體積分）,哈密頓算子表示,23/48,散度,如果包圍點(diǎn) P 的閉合面 S 所圍區(qū)域 V 以任意方式縮小到點(diǎn) P 時(shí)，通量與體積之比的極限存在，即：,散度 (divergence),24/48,散度的意義,在矢量場中，若 A= 0，稱之為有源場， 稱為 ( 通量 ) 源密度；若矢量場中處處 A=0 ，稱之為無源場。,矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；,散度是微分量，代表矢量場的通量源的分布特性。,25/

7、48,0.4.3 散度定理 ( Divergence Theorem ),圖0.4.4 散度定理,散度定理 （高斯定理）,由于 是通量源密度，對其進(jìn)行體積分后，所得結(jié)果為整個(gè)體積的通量。,26/48,關(guān)于散度定理的說明,散度定理,矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。,表明了區(qū)域V 中場A與邊界S上的場A之間的關(guān)系。,散度定理使用條件：場量連續(xù),27/48,0.5 矢量場的環(huán)量與旋度,0.5.1 環(huán)量 ( Circulation ),矢量 A 沿空間有向閉合曲線 L 的線積分,環(huán)量,環(huán)量的大小與閉合路徑有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。,Circulation and Rotation of V

8、ector Field,圖0.5.1 環(huán)量的計(jì)算,水流沿平行于水管軸線方向流動，= 0，無渦旋運(yùn)動。,例：流速場,圖0.5.2 流速場,流體做渦旋運(yùn)動， 0，有產(chǎn)生渦旋的源。,29/48,0.5.2 旋度 ( Rotation ),1. 環(huán)量密度,過點(diǎn) P 作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為L，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當(dāng) S 點(diǎn) P 時(shí)，存在極限,環(huán)量密度,環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。,30/48,引入旋度的原因,環(huán)量面密度描述的是一個(gè)面積上“旋轉(zhuǎn)”強(qiáng)度的情況，是一個(gè)“宏觀”的物理量，如果要知道場中一點(diǎn)處“旋轉(zhuǎn)”最強(qiáng)的方向，應(yīng)如何考慮？,31/48,2. 旋度,應(yīng)用斯托克斯公式,在

9、直角坐標(biāo)下環(huán)量可以寫成:,矢量場A的旋度（上式右式看作矢量穿過曲面S的通量）,哈密頓算子表示,32/48,2. 旋度,旋度是一個(gè)矢量，其大小等于環(huán)量密度的最大值；其方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向,旋度(curl), S 的法線方向,它與環(huán)量密度的關(guān)系為,在直角坐標(biāo)下:,（類比梯度和方向?qū)?shù)之間關(guān)系）,33/48,3. 旋度的物理意義,矢量的旋度仍為矢量，為微分量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。,某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值，其 方向是最大環(huán)量密度的方向。,在矢量場中，若 A=J 0 稱之為旋度場（或渦旋場），J 稱為旋度源（或渦旋源）。,若矢量場處處 A= 0 ，稱之為無旋場。,34/48,4. 斯托

10、克斯定理 ( Stockes Theorem ),圖 0.5.3 斯托克斯定理,斯托克斯定理,A 是環(huán)量密度，即圍繞單位面積環(huán)路上的環(huán)量。因此，其面積分后，環(huán)量為,35/48,斯托克斯定理,矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。,上述公式表明了區(qū)域S中場A與邊界L上的場A之間的關(guān)系。,旋度定理使用條件：積分路徑方向，場量連續(xù)。,斯托克斯定理（旋度定理）,36/48,例 0.5.1試判斷下列各圖中矢量場的性質(zhì)。,散度和旋度定理應(yīng)用,37/48,重要性質(zhì)（標(biāo)量場）,定理：任意標(biāo)量場梯度的旋度恒等于零,推論：如果一個(gè)矢量場是無旋的，則該場可用標(biāo)量場梯度表示,38/48,無源場和無旋場,無源場 設(shè)有矢量

11、場A，如果在場域內(nèi)每一點(diǎn)處恒有 ，那么稱A為無源場。 無旋場 設(shè)有矢量場A，如果在場域內(nèi)每一點(diǎn)處恒有 ，那么稱A為無旋場。 調(diào)和場 散度和旋度都等于零的矢量場稱為調(diào)和場。（無源無旋場）,39/48,重要性質(zhì)（矢量場）,定理：任意矢量場旋度的散度恒等于零,推論：如果一個(gè)矢量場是無散的，則該場可用矢量場的旋度表示,40/48,0.6 亥姆霍茲定理,亥姆霍茲定理： 在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。,已知：,Hymherze Theorem,41/48,亥姆霍茲定理的意義,根據(jù)亥姆霍茲定理，必須研究電磁場中基本場量（如電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度）的散度特性和旋度特性掌握了這些特性，才

12、能完全掌握了整個(gè)場的特性。,42/48,亥姆霍茲定理應(yīng)用舉例,根據(jù)亥姆霍茲定理，任意矢量場可以分解成無旋場部分和無散場部分的疊加,其中：,43/48,亥姆霍茲定理應(yīng)用舉例,任意矢量場可以表示為,44/48,0.7 特殊形式的電磁場,如果在經(jīng)過某一軸線( 設(shè)為 z 軸）的一族平行平面上，場 F 的分布都相同，即 F= f（x，y）， 則稱這個(gè)場為平行平面場。,1. 平行平面場,Special Forms of Electromagnetic Field,如無限長直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場。,0,45/48,如果在經(jīng)過某一軸線 ( 設(shè)為 z 軸 )的一族子午面上，場 F 的分布都相同，即 F=f（r,），則稱這個(gè)場為軸對稱場。,2. 軸對稱場,如螺線管線圈產(chǎn)生的磁場；有限長直帶電導(dǎo)線產(chǎn)生的電場。,46/48,3. 球面對稱場,如果在