第四章 熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值解法.ppt

1、第四章熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值解法,4-1 導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想 4-2 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法 4-3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代 數(shù)方程的求解 4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法,有限差分法的基本思想：用有限小的差分、差商近似代替無(wú)限小的微分、微商，用代數(shù)形式的差分方程近似代替微分方程，并通過(guò)求解差分方程求取有限時(shí)刻物體有限節(jié)點(diǎn)上的溫度值。,4-1 導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想,數(shù)值計(jì)算方法的基本思想,將時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量場(chǎng)，用有限離散點(diǎn)上數(shù)值的集合來(lái)代替，并通過(guò)求解離散點(diǎn)物理量組成的代數(shù)方程來(lái)求解，所得的解稱(chēng)為數(shù)值解。,1,2,6,3,4,5,數(shù)值計(jì)算方法的優(yōu)點(diǎn)： 多維 變物性

2、復(fù)雜幾何形狀 復(fù)雜邊界,4-1 導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想,二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題,Step-1: 控制方程及邊界條件,4-1 導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想,二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題,Step-2: 計(jì)算域離散化,基本概念： 網(wǎng)格線 節(jié)點(diǎn)（內(nèi)節(jié)點(diǎn)、邊界節(jié)點(diǎn)） 控制容積 界面線 步長(zhǎng) 均勻/非均勻網(wǎng)格,4-1 導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想,二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題,Step-3: 建立節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程,基本方法： Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開(kāi)法 控制容積平衡法(熱平衡法),內(nèi)節(jié)點(diǎn),邊界節(jié)點(diǎn),平直邊界節(jié)點(diǎn),邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn),邊界外節(jié)點(diǎn),4-1

3、 導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想,Step-4: 設(shè)置溫度場(chǎng)的迭代初值 代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問(wèn)題的有限差分法中主要采用迭代法，對(duì)被求溫度場(chǎng)預(yù)先設(shè)定一個(gè)解，這個(gè)解稱(chēng)為初場(chǎng)，并在求解過(guò)程中不斷改進(jìn)。,Step-5: 節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解 除 m=1 的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余(M-1)N個(gè)節(jié)點(diǎn)均需建立離散方程，共有(M-1)N個(gè)方程，則構(gòu)成一個(gè)封閉的代數(shù)方程組。,Step-6: 解的分析 如何判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？ 三個(gè)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、精確分析解驗(yàn)證、特定問(wèn)題的基準(zhǔn)解驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算中偏差 總是存在的，增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目可以減小誤差。 計(jì)算網(wǎng)格獨(dú)立性。 通過(guò)求解代數(shù)方程

4、，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場(chǎng)應(yīng)進(jìn)一步計(jì)算通過(guò)的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等。,4-1 導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想,內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法）,1. 對(duì)相鄰節(jié)點(diǎn)寫(xiě)出溫度 t 對(duì)內(nèi)節(jié)點(diǎn)(m, n) 的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式,x : (m,n)的相鄰節(jié)點(diǎn)為(m+1,n), (m-1,n) y : (m,n)的相鄰節(jié)點(diǎn)為(m,n+1), (m,n-1),X方向,4-2 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法,內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法）,2. 整理得到二階導(dǎo)數(shù)的中心差分,截?cái)嗾`差： 級(jí)數(shù)余項(xiàng)中的x的最低階數(shù)為2 即中心差分格式具有二階精度。,3. 由控制方程得到內(nèi)節(jié)點(diǎn)(m,n)的離散代數(shù)方程,中心差

5、分,4-2 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法,內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）,基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。,從所有方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)熱源生成熱 控制體內(nèi)能的增量,穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源時(shí)： 從所有方向流入控制體的總熱量0,4-2 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法,內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）,對(duì)控制體每個(gè)界面線（圖中虛線）應(yīng)用傅立葉導(dǎo)熱定律。,4-2 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法,4-2 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法,建立節(jié)點(diǎn)離散方程的泰勒級(jí)數(shù)法與熱平衡法的比較：

6、 泰勒級(jí)數(shù)法屬于純數(shù)學(xué)方法，而熱平衡法基于能量守恒原理，物理概念明確，且推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)捷； 泰勒級(jí)數(shù)法對(duì)于建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程較困難； 當(dāng)導(dǎo)熱物體物性或內(nèi)熱源不均勻時(shí)，泰勒級(jí)數(shù)法不適用，而熱平衡法能夠方便處理。,4-2 內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法,節(jié)點(diǎn)離散方程的建立基本方法： Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開(kāi)法 控制容積平衡法(熱平衡法),內(nèi)節(jié)點(diǎn),邊界節(jié)點(diǎn),平直邊界節(jié)點(diǎn),邊界內(nèi)節(jié)點(diǎn),邊界外節(jié)點(diǎn),為什么要建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程？,一類(lèi)邊界條件：方程組封閉，可直接求解 二類(lèi)、三類(lèi)邊界條件：邊界溫度未知，方程組不封閉,將第二類(lèi)邊界條件及第三類(lèi)邊界條件合并起來(lái)考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。

7、用表示內(nèi)熱源。,4-3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 及代數(shù)方程的求解,邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：,二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題,從所有方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)熱源生成熱 0,平直邊界節(jié)點(diǎn),4-3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 及代數(shù)方程的求解,邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：,二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題,從所有方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)熱源生成熱 0,邊界外角點(diǎn),4-3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 及代數(shù)方程的求解,邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)（熱平衡法）：,二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問(wèn)題,從所有方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)熱源生成熱 0,邊界內(nèi)角點(diǎn),4-3 邊界

8、節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 及代數(shù)方程的求解,邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的兩個(gè)具體問(wèn)題：,邊界熱流密度的具體處理方法,絕熱邊界,第二類(lèi)邊界,第三類(lèi)邊界,不規(guī)則邊界的處理方法,多段折線模擬不規(guī)則邊界，網(wǎng)格越密越接近實(shí)際,坐標(biāo)變換：保角變換,4-3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 及代數(shù)方程的求解,n個(gè)未知節(jié)點(diǎn)溫度，n個(gè)代數(shù)方程式：,節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解,直接解法,迭代解法,直接解法：矩陣求逆、高斯消元法等 缺點(diǎn)：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時(shí)不便、不適用于非線性問(wèn)題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點(diǎn)溫度差分方程中的導(dǎo)熱系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計(jì)算過(guò)程中要相應(yīng)地不斷更新）,4-3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 及代數(shù)

9、方程的求解,迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法等 先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（給定初始值）、在迭代計(jì)算過(guò)程中不斷予以改進(jìn)、直到計(jì)算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱(chēng)迭代計(jì)算已經(jīng)收斂。,節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解,Gauss-Seidel迭代法：每次迭代時(shí)總是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值,4-3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 及代數(shù)方程的求解,在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)采用最新值：,根據(jù)第 k 次迭代的數(shù)值：,節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法,4-3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 及代數(shù)方程的求解,節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法,判

10、斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：,or,or, 為允許的偏差，一般取10-310-6,為k次迭代得到的計(jì)算域溫度最大值,計(jì)算域溫度存在近于0的值時(shí)采用,4-3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 及代數(shù)方程的求解,節(jié)點(diǎn)離散（代數(shù)）方程的求解 Gauss-Seidel迭代法,如何判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？,如何判斷數(shù)值解的準(zhǔn)確性？ 三個(gè)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、精確分析解驗(yàn)證、特定問(wèn)題的基準(zhǔn)解驗(yàn)證 數(shù)值計(jì)算中偏差 總是存在的，增加節(jié)點(diǎn)數(shù)目可以減小誤差。 計(jì)算網(wǎng)格獨(dú)立性。,判斷迭代能否收斂的準(zhǔn)則： 如何避免迭代發(fā)散？,必須滿足對(duì)角占優(yōu)原則：每個(gè)迭代變量的系數(shù)總大于/等于該式中其它變量系數(shù) 絕對(duì)值的代數(shù)和 (參考教材例題4-1),S

11、tep-6: 解的分析,4-3 邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立 及代數(shù)方程的求解,例題,滿足對(duì)角占優(yōu)的條件：82+1；51+2；42+1，所以迭代能收斂,取初始迭代值為0，計(jì)算中間值如下表所示,例：針肋如右圖所示，碳鋼=43.2W/(m.K)，求溫度分布及換熱量。,精確解：,用數(shù)值方法求解：,微分方程,節(jié)點(diǎn)2：,節(jié)點(diǎn)3,節(jié)點(diǎn)4,網(wǎng)格劃分如右圖：,三種情況的計(jì)算結(jié)果如下溫度分布,熱量計(jì)算： 誤差 精確解 =15.06 W 四節(jié)點(diǎn) =11.94 W 21% 三節(jié)點(diǎn) =10.52 W 30% 如取5 節(jié)點(diǎn), 則 的誤差為 19%,非穩(wěn)態(tài)項(xiàng),穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）,源項(xiàng),由于非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的存在，除了對(duì)空間坐標(biāo)離散外，還

12、需要對(duì)時(shí)間坐標(biāo)進(jìn)行離散。 穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散項(xiàng)的離散格式：中心差分格式 非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式,4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法,平板加熱問(wèn)題 第三類(lèi)邊界條件,一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程及定解條件：,邊界條件,初始條件,4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法,向前差分格式,向后差分格式,中心差分格式,非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法,x 為空間步長(zhǎng) 為時(shí)間步長(zhǎng),偏微分方程,離散化代數(shù)方程,非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)向前差分,擴(kuò)散項(xiàng)中心差分,點(diǎn)（n,i）,4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法,非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法,從所有方向流入控制體的總熱量 控制體內(nèi)能的增量,內(nèi)節(jié)點(diǎn) n,4-

13、4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法,非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法,左邊對(duì)稱(chēng)絕熱邊界,4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法,非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法,右邊第三類(lèi)邊界,4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法,顯示格式存在穩(wěn)定性問(wèn)題：如果節(jié)點(diǎn) tn(i) 前面的系數(shù)小于零，則數(shù)值解出現(xiàn)不穩(wěn)定的震蕩結(jié)果。,顯示格式：格式右邊全部為第 i 時(shí)間層的溫度值，只要 i 時(shí)間層溫度已 知，即可計(jì)算得到 i+1 時(shí)間層的溫度。,非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱節(jié)點(diǎn)離散方程的兩種格式：,即：空間步長(zhǎng)x和時(shí)間步長(zhǎng)的選取有限制,顯示格式的穩(wěn)定性條件：,4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法,隱式格式,非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱節(jié)點(diǎn)離散方程的兩種格式：,隱式格式：空間離散采用（i+1）時(shí)層的值。 隱式格式不存在穩(wěn)定性問(wèn)題，對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)沒(méi)有限制，但是計(jì)算量較大。,4-4 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法,導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算上機(jī)實(shí)踐,例題4-6 無(wú)限大平板的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值計(jì)算 （1）自主編程，編程語(yǔ)言自定，最后提交源程序 （2）提交電子報(bào)告（word格式），包括： （a）給出空間離散示意圖（網(wǎng)格劃分） （b）節(jié)點(diǎn)離散方程（顯示、隱式