二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系

1、,1.4 二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系,湘教版 九年級下冊,第1章 二次函數(shù),畫出二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象，你能從圖象中看出 它與x軸的交點嗎？,二次函數(shù)y=x2-2x-3與一 元二次方程x2-2x-3=0有怎樣的關系？,x,y,o,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,2,-1,3,-2,4,1,-3,-4,y=x2-2x-3,如圖，二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸的交點坐標分別是： （-1，0），（3，0）.,由交點坐標可知： 當x=-1時，y=0, 即x2-2x-3=0，也就是說x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一個根；,同理： 當x=3時，y=0, 即x2-2x

2、-3=0，也就是說x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一個根；,y=ax2+bx+c,A,x,o,(x1,0),(x2,0),B,y,一般地，如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個不同的交點 (x1,0) ，(x2,0) ，那么對應的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實根x=x1, x=x2.,求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標,求一元二次方程ax2+bx+c=0的根,y=x2-2x+2,y=x2-6x+9,觀察二次函數(shù)y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的圖象，分別說出對應的一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+2=0的根的情況.,y=

3、x2-2x+2,y=x2-6x+9,二次函數(shù)y=x2-6x+9的圖象與x軸有重合的兩個交點，其坐標都是(3,0),而一元二次方程x2-6x+9=0有兩個相等的實數(shù)根： x1=3, x2=3.,二次函數(shù)y=x2-2x+2的圖象與x軸沒有交點，而一元二次方程x2-2x+2=0沒有實數(shù)根.,一般地二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像與x軸的位置 關系有三種： 有兩個不同的交點，有兩個重復的交點，沒有交點。 這對應著一元二次方程ax+bx+c=0的根的三種情況： 有兩個不相等的實根，有兩個相等的實根，沒有實根。 因此可通過方程的根的判別式=b-4ac來判別拋物線 與x軸的交點的個數(shù)（其中a、b、c為拋物線

4、表達式中二次 項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項）,b2-4ac的取值,b2-4ac0,b2-4ac=0,b2-4ac0,有兩個不同的交點,有兩個重合的交點,沒有交點,有兩個不同的交點,有兩個重合的交點,沒有交點,有兩個不相等的 實數(shù)根x=x1,x=x2,有兩個相等的實 數(shù)根x=x1=x2,沒有實數(shù)根,a0,a0,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的位置關系,一元二次方程x2+bx+c=0的實數(shù)根,二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系,舉 例,例1 判斷下列拋物線與x軸的交點情況:,(1)y=4x2+12x+5;,(2)y=x2+2x+1;,解： b2-4ac=122-445=640,拋物線與x軸的有兩

5、個不同的交點.,解： b2-4ac=22-411=0,拋物線與x軸的有兩個重合的交點.,例2 求拋物線y=4x2+12x+5與x軸的交點的橫坐標.,解: 令 y=0, 則 4x2+12x+5=0，,a=4，b=12，c=5，,b2-4ac =122-445=144-80=64.,即,拋物線y=4x2+12x+5與x軸的交點的 橫坐標為 或,注意：求拋物線與x軸的交點的橫坐標需要令y=0,再解關于自變量x的一元二次方程.,隨堂練習,1.試判斷下列拋物線與x軸的交點情況:,(1)y=x2-3x+1;,(2)y=2x2+3x+2;,2.若拋物線y= -mx-x+1與x軸沒有公共點，求m的取值范圍.

6、3.求證：拋物線y=x+ax+a-2與x軸總有兩個交點。,4.求拋物線y=x2+2x+1與x軸的交點的橫坐標.,從上面的分析可以看出，二次函數(shù)與一元二次方程關系密切.那么求一元二次方程能不能借助二次函數(shù)呢？求一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根就是求二次函數(shù)y=ax2+bx+c 在 y=0時，自變量x的值，也就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，因而我們可以利用二次函數(shù)的圖象來求一元二次方程的根.由于作圖或觀察的誤差，由圖象求得的根，一般是近似的.,求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標,求一元二次方程ax2+bx+c=0的根,例3 求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近

7、似值(精確到0.1).,分析 :一元二次方程x2-2x-1=0的根就是拋物線y=x2-2x-1與x軸的交點的橫坐標.因此我們可以先畫出這條拋物線，然后從圖象上找出它與x軸的交點的橫坐標.這種解一元二次方程的方法叫作圖象法.,解: 設二次函數(shù)y =x2-2x-1,= (x2-2x+12-12)-1,= (x-1)2-2.,對稱軸是直線x=1，頂點坐標是(1, -2).,列表,描點和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.,利用對稱性畫出圖象在對稱軸左邊的部分.,y=x2-2x-1,通過觀察或測量，可得拋物線與x軸的交點的橫坐標約為-0.4或2.4，因此方程x2-2x-1=0的根的近似值為：x1-0.4

8、或x22.4。,(-0.4,0),(2.4,0),A,B,思考: (1)當 x取何值時，y0; (2)當 x取何值時，y0.,解：x2.4,解：-0.4x2.4,y=x2-2x-1,1. 試判斷下列拋物線與x軸的交點的情況：,（1） y=x2-x-2；,（2） y=9x2+12x+4；,兩個不同的交點.,（3） y=x2-2x+3.,兩個重合的交點.,沒有交點.,解: 設二次函數(shù)y =x2-2x-2,= (x2-2x+12-12)-2,= (x-1)2-3.,對稱軸是直線x=1，頂點坐標是(1, -3).,列表：,用圖象法求一元二次方程 x2-2x-2=0 根的近似值 (精確到0.1).,解：

9、 （1）x1= -1，x2= 3； （2）當x-1或x3時，x-2x-30； （3）當-1x3時，x-2x-30；,3.觀察二次函數(shù)y=x-2x-3的圖象，利用圖象回答： (1)方程x-2x-3=0的解是什么？ (2)當x取什么值時，函數(shù)值x-2x-30？ (3)當x取什么值時，函數(shù)值x-2x-30？,例4 如圖，在扔鉛球時，鉛球沿拋物線 運行，其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度.,（其中點A表示鉛球的出手點，點B表示鉛球的落地點）.,x,y,o,A,B,(1)當鉛球離地面的高度為2.1m時，它離初始位置的水平 距離是多少？,當鉛球離地面的高度為2.1m時，它離初始位置的水

10、平距離是1m或5m。,2.1,1,5,C,D,x,o,A,B,(2)鉛球離地面的高度能否達到3m，它離初始位置的水平 距離是多少？,即鉛球離地面的高度不能達到3m.,x,y,o,A,B,(3)當鉛球在空中離地面的最大高度，并求出此時它離初 始位置的水平距離是多少？,當鉛球在空中離地面的最大高度為2.5m時，此時它離 初始位置的水平距離是3m。,2.5,3,x,o,A,B,(4)求丁丁能將鉛球扔出多遠？,即丁丁能將鉛球被扔出去8m.,( ,0),8,x,o,A,B,(5)求鉛球出手點離地面的高度？,(0, ),即鉛球出手點離地面的高度為 m.,例5 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則

11、下列關系式不正確的是 （ ） A. a0 C. a+b+c0 D. b2-4ac0,C,代數(shù)式,作用,a0,開口向上,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c,a0,開口向下,a,|a|越大,開口越??；,|a|越小,開口越大；,|a|相等,形狀相同；,若a,b異號，則對稱軸在y軸右側；,若b=0，則對稱軸為y軸；,若a,b同號，則對稱軸在y軸左側；,若c0，則函數(shù)圖象交y軸于正半軸；,若c=0，則函數(shù)圖象交y軸于原點；,若c0，則函數(shù)圖象交y軸于負半軸；,若b2-4ac0,則函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點；,若b2-4ac=0,則函數(shù)圖象與x軸有兩個重合的交點；,若b2-4ac0,則函數(shù)圖象與x軸無交點.,表示二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當x=1時的函數(shù)值的大??；,表示二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當x= -1時的函數(shù)值的大??；,二次函數(shù)y=ax2+bx+c常見代數(shù)式的作用,隨堂練習,1.,2.,3.,4.,5.,6.,1.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到贏利的過程.如圖，已知 刻畫了該公司年初以來累積利潤y(萬元)與銷售時間x(月份)之間