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1、此幻燈片可在網(wǎng)址上下載,第9講,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)講義,第三章 多維隨機(jī)變量及其分布,前面所討論的隨機(jī)變量都是一維的，但在實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)于某些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果往往需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來(lái)描述。例如，考慮一個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況，有兩個(gè)重要指標(biāo)：國(guó)民生產(chǎn)總值（GNP）和人均國(guó)民生產(chǎn)總值。又如，考慮飛機(jī)在飛行過(guò)程中的空間位置，需要知道其經(jīng)度、緯度以及地面高度。本章將主要討論二維隨機(jī)變量及其分布，然后推廣到n維隨機(jī)變量的情況。,第一節(jié) 二維隨機(jī)變量,定義 設(shè)X, Y是定義在樣本空間W上的兩個(gè)隨機(jī)變量, 則(X,Y)稱(chēng)為二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量.二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X及Y有關(guān),

2、而且還依賴(lài)于這兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相互關(guān)系. 因此, 逐個(gè)地研究X或Y的性質(zhì)是不夠的, 還需要將(X,Y)作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行研究.,類(lèi)似于一維隨機(jī)變量的情況, 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y, 函數(shù),稱(chēng)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù), 或稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù).,若將二維隨機(jī)變量(X,Y)看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)的坐標(biāo), 則分布函數(shù)F(x,y)就表示隨機(jī)點(diǎn)落在以點(diǎn)(x,y)為頂點(diǎn)的左下方的無(wú)限矩形域內(nèi)的概率.這時(shí), 點(diǎn)(X,Y)落入任一矩形G=(x,y)|x1xx2, y1yy2的概率, 即可由概率的加法性質(zhì)求得：Px1Xx2, y1Yy2=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y

3、1)+F(x1,y1).(1),(x,y),x1,x2,y1,y2,分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì):1 0F(x,y)1, F(-,y)=0, F(x,-)=0 F(-,-)=0, F(+,+)=1.2 F(x,y)分別是x和y的不減函數(shù).3 F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y), 即F(x,y)關(guān)于x或y均右連續(xù).4 對(duì)于任意的(x1,y1),(x2,y2),x1x2,y1y2有F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)0,這一性質(zhì)由(1)式及概率的非負(fù)性即可得.,如果二維隨機(jī)變量(X,Y)可能取的值(xi,yj)只有有限對(duì)或可列無(wú)限對(duì), 則

4、稱(chēng)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量.為簡(jiǎn)單起見(jiàn), 記 PX=xi, Y=yj=pij, i,j=1,2,.(2)(2)式稱(chēng)為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律, 或稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律.容易看出, 其中pij滿(mǎn)足下列條件:1 pij0;2,離散型隨機(jī)變量X和Y, 它們的聯(lián)合分布律可用如下表格表示:,它們的聯(lián)合分布函數(shù)由下面式子求出:,其中和式是對(duì)一切滿(mǎn)足xix, yjy的i,j來(lái)求和的.,例1 一箱子裝有5件產(chǎn)品, 其中2件正品, 3件次品. 每次從中取1件產(chǎn)品檢驗(yàn)質(zhì)量, 不放回地抽取, 連續(xù)抽取兩次. 定義隨機(jī)變量X和Y如下:,試求(X,Y)的分布律.,解 (X,Y)可能取的值只有

5、4對(duì): (0,0),(0,1),(1,0)及(1,1), 按概率的乘法公式計(jì)算得:,(X,Y)的分布律用表格表示為:,仿一維隨機(jī)變量, 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)是F(x,y), 如果存在非負(fù)的函數(shù)f(x,y), 使得對(duì)于任意的x,y有,則稱(chēng)(X,Y)是連續(xù)型二維隨機(jī)變量, 函數(shù)f(x,y)稱(chēng)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度, 或稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度.,按定義, 概率密度f(wàn)(x,y)具有以下性質(zhì):,例2 設(shè)G是平面上的一個(gè)有界區(qū)域, 其面積為A. 二維隨機(jī)變量(X,Y)只在G中取值, 并且取G中的每一個(gè)點(diǎn)都是“等可能的”, 即(X,Y)的概率密度為,由概率密度的性質(zhì),可得

6、,故,如果一個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)以(3)式為概率密度, 則稱(chēng)(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布.,例3 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度,試求: (1)分布函數(shù)F(x,y);(2)PXY 解 (1),即有,(2) 把位于xOy平面的直線(xiàn)y=x上方的區(qū)域記為G, 如上圖所示. 于是,以上關(guān)于二維隨機(jī)變量的討論，不難推廣到n維隨機(jī)變量的情況.定義 設(shè)X1,X2,Xn是定義在樣本空間W上的n個(gè)隨機(jī)變量, 則(X1,X2,Xn)稱(chēng)為n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量.對(duì)于任意n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,xn, 函數(shù) F(x1,x2,xn)=PX1x1,X2x2,Xnxn稱(chēng)為n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的聯(lián)合

7、分布函數(shù).,第二節(jié) 邊緣分布,對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y), 隨機(jī)變量X和Y各自的分布函數(shù)稱(chēng)為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù), 分別記為FX(x),FY(y).如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)已知, 那么FX(x)=PXx=PXx,Y+=F(x,),設(shè)離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為pij (i=1, 2, , j=1,2,), 則有,分別稱(chēng)pi(i=1,2,), pj(j=1,2,)為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。,考慮連續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè)X,Y的概率密度為f(x,y), 于是,例1 把兩封信隨機(jī)地投入已經(jīng)編好號(hào)的3個(gè)郵筒內(nèi)，設(shè)X,Y分別表示投入第1,2個(gè)郵筒內(nèi)信的數(shù)目，求(X,Y)的分布律及邊緣分布律.解 X,Y各自可能的取值為0,1,2. 由題設(shè), (X,Y)取(1,2),(2,1),(2,2)均不可能, 因而相應(yīng)的概率均為0. 再由古典概率計(jì)算得,PX=1,Y=0,PX=2,Y=0可由對(duì)稱(chēng)性求得. 所有計(jì)算結(jié)果列表如下:,例3 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域G