經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分中值定理.ppt

1、,一、羅爾定理,二、拉格朗日中值定理,四、小結(jié) 思考題,三、柯西中值定理,第一節(jié) 中值定理,一、羅爾(Rolle)定理,例如,物理解釋:,變速直線運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處, 瞬時(shí)速度等于零.,幾何解釋:,A,B,證,注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立.,例如,又例如,例1,證:,由介值定理,即為方程的小于1的正實(shí)根.,矛盾,二、拉格朗日中值定理,(Lagranges Mean-value Theorem),幾何解釋:,證,分析:,弦AB方程為,作輔助函數(shù),拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.,拉格朗日中值定理又

2、稱有限增量定理.,拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.,微分中值定理,推論,例2,證,例3,證,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,幾何解釋:,證,作輔助函數(shù),例4,證,分析:,結(jié)論可變形為,四、小結(jié) 思考題,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；,注意定理成立的條件；,注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.,思考題,試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.,思考題解答,不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；,且,不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微的條件；,以上兩個(gè)都可說明問題.,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,二、三、四、五、六、

3、七、（略）,2.多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)擴(kuò)展的E-G檢驗(yàn),多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)要比雙變量復(fù)雜一些，主要在于協(xié)整變量間可能存在多種穩(wěn)定的線性組合。 假設(shè)有4個(gè)I(1)變量Z、X、Y、W，它們有如下的長期均衡關(guān)系：,(*),其中，非均衡誤差項(xiàng)t應(yīng)是I(0)序列：,(*),然而，如果Z與W，X與Y間分別存在長期均衡關(guān)系：,則非均衡誤差項(xiàng)v1t、v2t一定是穩(wěn)定序列I(0)。于是它們的任意線性組合也是穩(wěn)定的。例如：,(*),一定是I(0)序列。,由于vt象（*）式中的t一樣，也是Z、X、Y、W四個(gè)變量的線性組合，由此（*）式也成為該四變量的另一穩(wěn)定線性組合。 （1, -0,-1,-2,-3）是對(duì)應(yīng)于（*）

4、式的協(xié)整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是對(duì)應(yīng)于（*）式的協(xié)整向量。,對(duì)于多變量的協(xié)整檢驗(yàn)過程，基本與雙變量情形相同，即需檢驗(yàn)變量是否具有同階單整性，以及是否存在穩(wěn)定的線性組合。 在檢驗(yàn)是否存在穩(wěn)定的線性組合時(shí)，需通過設(shè)置一個(gè)變量為被解釋變量，其他變量為解釋變量，進(jìn)行OLS估計(jì)并檢驗(yàn)殘差序列是否平穩(wěn)。,檢驗(yàn)程序：,如果不平穩(wěn)，則需更換被解釋變量，進(jìn)行同樣的OLS估計(jì)及相應(yīng)的殘差項(xiàng)檢驗(yàn)。 當(dāng)所有的變量都被作為被解釋變量檢驗(yàn)之后，仍不能得到平穩(wěn)的殘差項(xiàng)序列，則認(rèn)為這些變量間不存在（d,d）階協(xié)整。,同樣地，檢驗(yàn)殘差項(xiàng)是否平穩(wěn)的DF與ADF檢驗(yàn)臨界值要比通常的DF與ADF檢驗(yàn)臨界值小，而且該臨

5、界值還受到所檢驗(yàn)的變量個(gè)數(shù)的影響。,表9.3.2給出了MacKinnon(1991)通過模擬試驗(yàn)得到的不同變量協(xié)整檢驗(yàn)的臨界值。,3、多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)JJ檢驗(yàn),Johansen于1988年，以及與Juselius于1990年提出了一種用極大或然法進(jìn)行檢驗(yàn)的方法，通常稱為JJ檢驗(yàn)。 高等計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)（清華大學(xué)出版社，2000年9月）P279-282. E-views中有JJ檢驗(yàn)的功能。,三、誤差修正模型,前文已經(jīng)提到，對(duì)于非穩(wěn)定時(shí)間序列，可通過差分的方法將其化為穩(wěn)定序列，然后才可建立經(jīng)典的回歸分析模型。 例如：建立人均消費(fèi)水平（Y）與人均可支配收入（X）之間的回歸模型：,1、誤差修正模型,式中

6、， vt= t- t-1,差分,X,Y 成為 平穩(wěn) 序列,建立差分回歸模型,如果Y與X 具有共同的 向上或向下 的變化趨勢(shì),然而，這種做法會(huì)引起兩個(gè)問題：,(1)如果X與Y間存在著長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系： Yt=0+1Xt+t 且誤差項(xiàng)t不存在序列相關(guān)，則差分式： Yt=1Xt+t 中的t是一個(gè)一階移動(dòng)平均時(shí)間序列，因而是序列相關(guān)的；,(2)如果采用差分形式進(jìn)行估計(jì)，則關(guān)于變量水平值的重要信息將被忽略，這時(shí)模型只表達(dá)了X與Y間的短期關(guān)系，而沒有揭示它們間的長期關(guān)系。 因?yàn)?，從長期均衡的觀點(diǎn)看，Y在第t期的變化不僅取決于X本身的變化，還取決于X與Y在t-1期末的狀態(tài)，尤其是X與Y在t-1期的不平衡程

7、度。,例如，使用Yt=1Xt+t回歸時(shí)，很少出現(xiàn)截距項(xiàng)顯著為零的情況，即我們常常會(huì)得到如下形式的方程：,在X保持不變時(shí)，如果模型存在靜態(tài)均衡（static equilibrium），Y也會(huì)保持它的長期均衡值不變。,(*),但如果使用（*）式，即使X保持不變，Y也會(huì)處于長期上升或下降的過程中(Why?)，這意味著X與Y間不存在靜態(tài)均衡。 這與大多數(shù)具有靜態(tài)均衡的經(jīng)濟(jì)理論假說不相符。 可見，簡單差分不一定能解決非平穩(wěn)時(shí)間序列所遇到的全部問題，因此，誤差修正模型便應(yīng)運(yùn)而生。,誤差修正模型（Error Correction Model，簡記為ECM）是一種具有特定形式的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，它的主要形式是由

8、Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。,通過一個(gè)具體的模型來介紹它的結(jié)構(gòu)。 假設(shè)兩變量X與Y的長期均衡關(guān)系為: Yt=0+1Xt+t,該模型顯示出第t期的Y值，不僅與X的變化有關(guān)，而且與t-1期X與Y的狀態(tài)值有關(guān)。,由于現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中X與Y很少處在均衡點(diǎn)上，因此實(shí)際觀測到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關(guān)系，假設(shè)具有如下(1,1)階分布滯后形式：,由于變量可能是非平穩(wěn)的，因此不能直接運(yùn)用OLS法。對(duì)上述分布滯后模型適當(dāng)變形得：,或，,式中，,（*）,如果將（*）中的參數(shù)，與Yt=0+1Xt+t中的相應(yīng)參數(shù)視為相等，則（*）式中括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)就是t-1期

9、的非均衡誤差項(xiàng)。 （*）式表明：Y的變化決定于X的變化以及前一時(shí)期的非均衡程度。同時(shí)，（*）式也彌補(bǔ)了簡單差分模型Yt=1Xt+t的不足，因?yàn)樵撌胶杏肵、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已對(duì)前期的非均衡程度作出了修正。,稱為一階誤差修正模型(first-order error correction model)。,（*）式可以寫成：,（*）,（*）,其中:ecm表示誤差修正項(xiàng)。由分布滯后模型：,知，一般情況下|1 ，由關(guān)系式=1-得：01?？梢該?jù)此分析ecm的修正作用：,(1)若(t-1)時(shí)刻Y大于其長期均衡解0+1X，ecm為正，則(-ecm)為負(fù)，使得Yt減少； (2)若(t-

10、1)時(shí)刻Y小于其長期均衡解0+1X ，ecm為負(fù)，則(-ecm)為正，使得Yt增大。 （*）體現(xiàn)了長期非均衡誤差對(duì)的控制。,其主要原因在于變量對(duì)數(shù)的差分近似地等于該變量的變化率，而經(jīng)濟(jì)變量的變化率常常是穩(wěn)定序列，因此適合于包含在經(jīng)典回歸方程中。,需要注意的是：在實(shí)際分析中，變量常以對(duì)數(shù)的形式出現(xiàn)。,于是: (1)長期均衡模型 Yt=0+1Xt+t 中的1可視為Y關(guān)于X的長期彈性（long-run elasticity）,(2)短期非均衡模型 Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t 中的1可視為Y關(guān)于X的短期彈性（short-run elasticity）。,如具有季度數(shù)據(jù)的變量，可在短期非均衡模型： Yt=0+1Xt+2Xt-1+Yt-1+t 中引入更多的滯后項(xiàng)。,更復(fù)雜的誤差修正模型可依照一階誤差修正模型類似地建立。,引入二階滯后的模型為：,經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮獾茸冃?，可得如下二階誤差修正模型：,(*),引入三階滯后項(xiàng)的誤差修正模型與（*）式相仿，只不過模型中多出差分滯后項(xiàng)Yt-2，Xt-2，。,多變量的誤差修正模型也可類似