微分與差分.ppt

1、一、微分的概念,實際工作中，常要計算y=f (x+ x)f (x).,f (x)的表達(dá)式復(fù)雜時, y的計算也較復(fù)雜, 不好算.,但當(dāng),要找y的近似公式.,這一近似公式應(yīng)滿足(i),好算, (ii)具有起碼的精度.,34 微分與差分,例1. 一正方形金屬薄片受溫度影響, 其邊長由x0變到x0+x, 求此薄片面積改變了多少？,解：如圖,因此,面積的改變量為,當(dāng)正方形邊長為x時,面積A=x2.,1. 定義. 設(shè)y=f (x)在 x0 的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義.,如果 y = f (x0+ x)f (x0)可表示成,y = A x+o ( x),其中A為只與x0有關(guān)而與x無關(guān)的常數(shù). 則稱,y=f

2、(x)在點x0處可微.,稱A x 為f (x)在x0點相應(yīng)于, x 的微分. 記作d y，即dy = A x,注1. 若y=f (x)在x0可微，則微分d y= A x是x的線性函數(shù).,另外, 當(dāng)A0, x0時, y dy.,這是因為,注2. 當(dāng)y = f (x)在x0可微時，ydy = o(x),(x0),(x0),2. 可微與可導(dǎo)的關(guān)系,定理1. y=f (x)在x0可微的充要條件是y=f (x)在x0可導(dǎo). 且當(dāng)y在x0可微時. dy=f (x0)x.,證： 必要性. 若y=f (x)在x0可微.,由定義,y=A x+o ( x),從而,故 y = f (x)在x0可導(dǎo).,且,即,充分性

3、，若y=f (x)在x0可導(dǎo).,故,或,由于,故y=f (x)在 x0可微. 且dy=f (x0)x.,定理1告訴我們，對于一元函數(shù)y=f (x)而言,可微與可導(dǎo)是等價的.,3. 若y=f (x)在(a, b)內(nèi)每一點處均可微(可導(dǎo)),則稱f (x)在(a, b)內(nèi)可微.這時, 對x(a, b), 有dy=f (x)x, 稱為函數(shù)y(在x點)的微分. dy=f (x)x是一個既與x又x與有關(guān)的量. 這里x 與x是獨立變化的.,4. 記dx=x. 稱為自變量x的微分.,即, 自變量x的微分就等于自變量的增量.,上述定義是合理的.,例2. 設(shè)y=x，求y的微分dy=dx.,解： dy = f (x

4、)x=(x) x=x,即 dx = x,由于有3、4中記號，從而dy = f (x)dx.,同除以dx, 及,即 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就等于函數(shù)的微分與自變量的微分之比.,5. 微分的幾何意義,如圖,過M作切線MT, 傾角為,給x=dx0. 得點x0+ x,以及點N, P, Q.,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,同乘以x=dx, 得 dy=PQ.,y = NQ 表示曲線y = f (x)上縱坐標(biāo)的增量，,dy =PQ 表示切線MT 上縱坐標(biāo)的增量,ydy = NP= o(x),在PMQ中, MQ=dx, PQ=dy.,而,二、微分公式及運算法則,由于dy=f (x)dx. 因此，微分公式及運算法則與導(dǎo)數(shù)公式及運算法則

5、完全類似.如 (sinx)=cosx.從而d(sinx)=cosxdx. 等等.,1. 四則運算法則：設(shè)u = u(x), v = v(x)均可微.,則,2. 復(fù)合函數(shù)的微分,我們知道當(dāng)x為自變量時, 有dy=f (x)d x.,若y=f (u), u不是自變量, 是否仍然有dy=f (u)du?,設(shè)u= (x), 在x點可導(dǎo), 而y=f (u)在相應(yīng)的點u=(x)處可導(dǎo). 求復(fù)合函數(shù) y=f (x)的微分.,從而,即,可見，不論u是自變量還是中間變量, 總有,這一性質(zhì)，稱為一階微分形式的,不變性.,由于復(fù)合函數(shù)y 的導(dǎo)數(shù),例3. 設(shè)y = sin(2x+x2), 求dy.,解：,例4. 設(shè)y

6、 = e3vcos2v. 求dy.,解：不論v是否為自變量, 由一階微分形式不變性.,有,例5. 設(shè),x =acos t,y =a sin t, 求,解： dx = d(acost),dy = d(asint),從而,= ad(cost),= asintdt,= acostdt,= ad(sint),例6. 填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立,(1) d( )= xdx,(2) d( )= exdx,(4) d( )= sinxdx,解：(1) 由于d(x2)=2xdx.,其中C為任意常數(shù).,(2),(3),(4),三、高階微分,設(shè) y = f (x)有直到n階導(dǎo)數(shù). 其中x為自變量.我們知道, 當(dāng)x

7、為自變量時, dx=x, 從而dy=f (x)dx = f (x)x.這里 x 和 dx = x是兩個獨立的變量.當(dāng)dx=x固定不變時, dy是x的函數(shù), 可考慮dy的微分.,一般, 記 d2y = d(dy), 稱為y的二階微分.,當(dāng)x為自變量時, 有, d2y = d(dy) =d(f (x)dx) = (f (x)dx)dx = f (x)(dx)2 = f (x)dx2,其中dx2 = (dx)2 .,類似, 記d3y = d(d2y), 稱為y的三階微分.,當(dāng)x為自變量時, 有, d3y = d(d2y) = ( f (x)dx2)dx = f (3)(x)(dx)3 = f (3)(x)dx3 .,其中dx3 = (dx)3 .,一般, 記 dny = d(dn1y), 稱為y的n階微分.,當(dāng)x為自變量時, dny = f (n)(x)dxn.其中dxn = (dx)n,注1. 符號 dnu 和 dun 有不同含意.,注2. 對復(fù)合函數(shù)而言, 二階以上的微分不再具有微分形式不變性.,例如. 設(shè) y = f (u), u = f ()均二階可微.,則,dy = f (u)du, 其中du = (x)dx,而d2y = d(f