1.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用

1、1.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用（一）,人教A版 選修2-3 第三章 統(tǒng)計(jì)案例,獨(dú)立性檢驗(yàn),本節(jié)研究,分類變量之間是否有關(guān)系,兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。,創(chuàng)設(shè)情境： 最新研究發(fā)現(xiàn)，花太多時(shí)間玩電腦游戲的兒童，患多動(dòng)癥的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)加倍。青少年的大腦會(huì)很快習(xí)慣閃爍的屏幕、變幻莫測(cè)的電腦游戲，一旦如此，他們?cè)诮淌业纫曈X刺激較少的地方，就很難集中注意力。研究人員對(duì)1323名年齡在7歲到10歲的兒童進(jìn)行調(diào)查，并在孩子父母的幫助下記錄了他們?cè)?3個(gè)月里玩電腦游戲的習(xí)慣。同時(shí)，教師記下這些孩子出現(xiàn)的注意力不集中問題。統(tǒng)計(jì)獲得下列數(shù)據(jù)： 根據(jù)這則網(wǎng)上收集到的新聞，提出問題： “從這則新聞中可以得出哪些結(jié)

2、論？有多大把握認(rèn)為你所得出結(jié)論正確？”,為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）,列聯(lián)表,在不吸煙者中患肺癌的比重是,在吸煙者中患肺癌的比重是,說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。,0.54%,2.28%,探究,等高條形圖,等高條形圖更清晰地表達(dá)了兩種情況下患肺癌的比例。,小結(jié)： 根據(jù)列聯(lián)表和等高條形圖判斷的標(biāo)準(zhǔn)是什么?,吸煙群體與不吸煙群體，患肺癌的可能性是否有差異,思考： 1：差異大到什么程度才能作出“吸煙與患肺癌有關(guān)” 的判斷? 2：能否用數(shù)量刻畫出“有關(guān)”的程度?,這就需要我們用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)來分析這個(gè)問題

3、。,引例情境如下：,現(xiàn)在想要知道吸煙與患肺癌是否真的有關(guān)以及從數(shù)量上刻畫能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，需要我們用統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)來分析。,H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系.,把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表,用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價(jià)于“吸煙與患肺癌獨(dú)立”，即假設(shè)H0等價(jià)于 P(AB)=P(A)P(B).,為此先假設(shè),在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分 別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以應(yīng)該有,在H0成立的條件下,|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱 |ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間

4、關(guān)系越強(qiáng)。,為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，統(tǒng)計(jì)學(xué)家構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量-卡方統(tǒng)計(jì)量,（1）,若 H0成立，即“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，則K2應(yīng)很小。,根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到K2的觀測(cè)值為：,那么這個(gè)值到底能告訴我們什么呢？,（2）,獨(dú)立性檢驗(yàn),統(tǒng)計(jì)學(xué)家們還得到了如下的卡方臨界值表：,以k0=6.635為例，就是說在H0成立的條件下，計(jì)算出隨機(jī)變量 的觀測(cè)值大于等于6.635的概率非常小近似0.01，也就是有99%的情況下其觀測(cè)值是小于6.635的。,分析：,判斷 是否成立的規(guī)則,如果 ，就判斷 不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷 成立，即

5、認(rèn)為吸煙與患肺癌沒有關(guān)系。,獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義,上面這種利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法，稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)。,在該規(guī)則下，把結(jié)論“ 成立”錯(cuò)判成“ 不成立”的概率不會(huì)超過,即有99%的把握認(rèn)為 不成立。,獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類似反證法）,(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即 “兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”.,(2)在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量 K2 應(yīng)該很小,如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k很大,則在一定可信程度上說明 不成立.即在一定可信程度上認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；如果k的值很小，則說明由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反對(duì) 的充分證據(jù)。,(3)根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義,借助臨界值表還可以定量評(píng)

6、價(jià)該假設(shè)不合理的程度以及我們得到“有關(guān)系”的結(jié)論成立的可信度。,反證法原理與獨(dú)立性檢驗(yàn)原理,反證法原理： 在假設(shè)H0下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了H0不成立。,獨(dú)立性檢原理 在假設(shè)H0下，如果出現(xiàn)一個(gè)與H0相矛盾的小概率事件，就推斷H0不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過這個(gè)小概率。,怎樣判斷K2的觀測(cè)值k是大還是小呢？,這僅需確定一個(gè)正數(shù)k0，當(dāng)kk0時(shí)就 認(rèn)為k2的觀測(cè)值大。如果kk0 ，就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；否則就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)系”,我們稱k0為一個(gè)判斷規(guī)則的臨界值。,臨界值又怎么確定呢？,思考： 你能從上述探究過程中總結(jié)出一種直觀判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)系的思路嗎？

7、直觀判斷有何不足？,一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：,若要判斷的結(jié)論為：H1：“X與Y有關(guān)系”，可以按如下步驟判斷H1成立的可能性：,2、可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。,1、通過列聯(lián)表和等高條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)系,但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度.,（1）在列聯(lián)表中,可以計(jì)算滿足條件X=x1的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例，也可以計(jì)算滿足條件X=x2的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例。兩個(gè)比例相差越大，H1成立的可能性就越

8、大。,（2）在等高條形圖中，比較兩個(gè)深色條的高，相差越大，H1成立的可能性就越大。,在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：,：,(1)根據(jù)實(shí)際問題需要的可信程度確定臨界值,(2)利用公式(1)，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量 K2 的觀測(cè)值k,(3)如果kk0，就以 1-p(k2k0 )的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)。,創(chuàng)設(shè)情境：（分組討論解決問題） 最新研究發(fā)現(xiàn)，花太多時(shí)間玩電腦游戲的兒童，患多動(dòng)癥的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)加倍。青少年的大腦會(huì)很快習(xí)慣閃爍的屏幕、變幻莫測(cè)的電腦游戲，一旦如此，他們?cè)诮淌业纫曈X刺激較少的地方，就很難集中注意力。研究

9、人員對(duì)1323名年齡在7歲到10歲的兒童進(jìn)行調(diào)查，并在孩子父母的幫助下記錄了他們?cè)?3個(gè)月里玩電腦游戲的習(xí)慣。同時(shí)，教師記下這些孩子出現(xiàn)的注意力不集中問題。統(tǒng)計(jì)獲得下列數(shù)據(jù)： 根據(jù)這則網(wǎng)上收集到的新聞，提出問題： “從這則新聞中可以得出哪些結(jié)論？有多大把握認(rèn)為你所得出結(jié)論正確？”,反思與補(bǔ)遺,問題 1： 2 2列聯(lián)表中的2、3行或第2、3列能交換嗎？,問題2 ： 你能聯(lián)想隨機(jī)事件概率的定義來感受卡方統(tǒng)計(jì)量公式的來之不易嗎？,問題 3 ： 你能類比方差公式理解卡方統(tǒng)計(jì)量公式結(jié)構(gòu)的合理之處嗎？,1、回憶隨機(jī)事件A：:擲一枚硬幣，正面向上，聯(lián)想其概率的確定過程。 大量的重復(fù)試驗(yàn)，頻率在常數(shù)0.5附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，確定概率。 類比卡方統(tǒng)計(jì)量公式 應(yīng)該是通過大量的觀察試驗(yàn)并結(jié)合我們現(xiàn)在未知的理論研究得來的 。,2, 類比方差公式的結(jié)構(gòu)特征理解卡方統(tǒng)計(jì)量公式。,(1)，方差公式中取每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)差取平方即 ， 這是為防止正負(fù)抵消，掩蓋真像。,(2)，公式中 的主要是協(xié)調(diào)作用：因樣本容量的不同而