高一數(shù)學(xué)圓與圓的位置關(guān)系 新課標(biāo) 人教版

1、高一數(shù)學(xué)圓與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)主要概念：圓與圓的位置關(guān)系-外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。教材分析一、重點(diǎn)難點(diǎn) 本節(jié)教材的教學(xué)重點(diǎn)是能根據(jù)給定兩圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系，以及求相交兩圓的公共弦所在直線的方程及弦長。難點(diǎn)是判斷兩圓的位置關(guān)系和對相交兩圓的公共弦所在直線方程的理解。二、教材解讀 本節(jié)教材的理論知識有問題提出、探索求解、思考交流三個(gè)板塊組成。教材在引入知識內(nèi)容時(shí)，設(shè)置了兩個(gè)問題，創(chuàng)設(shè)一種情境，一方面引起學(xué)生的興趣，另一方面引起學(xué)生解決問題的求知欲望。第一板塊 問題提出解讀圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種？如何根據(jù)圓的方程，判斷它們之間的位置關(guān)系？教材設(shè)置此兩個(gè)問題的目的在于：一是喚起學(xué)生

2、對初中所學(xué)知識的回顧；二是讓學(xué)生學(xué)會用研究直線與圓的位置關(guān)系的方法-代數(shù)法和幾何法，類比地去研究圓與圓的位置關(guān)系。第二板塊 探索求解解讀圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系的判斷1、圓與圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含五種。 2、圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法：(1)代數(shù)法：圓與圓有幾個(gè)公共點(diǎn)，由它們的方程組成的方程組有幾組實(shí)數(shù)解確定；(2)幾何法：依據(jù)連心線的長與兩圓半徑長的和或兩圓半徑長的差的絕對值的大小關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系，即 兩圓外離；= 兩圓外切；兩圓相交；=兩圓內(nèi)切；d 兩圓內(nèi)含。第三板塊 思考交流解讀課本P.137例3提出：畫出圓：與：以及方程x2y10表示的直線，你發(fā)現(xiàn)了

3、什么？你能說明為什么嗎？通過作圖，發(fā)現(xiàn)方程所表示的直線是兩圓公共弦所在的直線。這是因?yàn)橛煞匠?、組成的方程組的解必滿足方程，如果方程組有兩組實(shí)數(shù)解，即兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)公共點(diǎn)必在方程確定的直線上，兩點(diǎn)確定一條直線，方程表示的直線就是兩圓的公共弦所在的直線。據(jù)此，更進(jìn)一步地能否說要研究圓與圓的關(guān)系只要研究直線x2y10與圓（或）的關(guān)系就可以了呢？答案是肯定的。通過問題的開放性，觸類旁通地提出問題，不僅體現(xiàn)了“化歸”的思想，而且是頗具思考價(jià)值的教學(xué)中要注意“數(shù)”與“形”的結(jié)合，在通過代數(shù)方法研究幾何對象的位置關(guān)系以后，還可以畫出其圖形，驗(yàn)證代數(shù)結(jié)果；同時(shí)，通過觀察幾何圖形得到的數(shù)學(xué)結(jié)論，進(jìn)行代

4、數(shù)證明，不應(yīng)割斷它們之間的聯(lián)系，只強(qiáng)調(diào)其一方面。拓展閱讀 前面介紹了過已知直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程，那么經(jīng)過已知兩圓的交點(diǎn)有沒有圓系方程呢？其形式又是怎樣？ 經(jīng)過兩圓：，：的交點(diǎn)的圓系方程為()，其中為任意實(shí)數(shù)。 易證方程()表示的曲線經(jīng)過兩圓、的交點(diǎn)。圓系方程反映了一組圓的共性。 1、當(dāng)兩圓、相交時(shí)，方程()表示過兩圓、的交點(diǎn)的圓系 (但方程()所表示的圓不包括圓，圓系中的一切圓都和、相交)； 2、當(dāng)兩圓、相切時(shí)，方程()表示過兩圓、的切點(diǎn)的圓系 (但方程()所表示的圓不包括圓，圓系中的一切圓都和、相切)； 3、當(dāng)兩圓、不相交時(shí)，方程()表示互不相交的圓系 (但方程()所表示的圓不包括圓)。

5、 特別地，當(dāng)=1時(shí)，方程()為此時(shí)的圓系方程為直線方程，我們稱方程為兩圓、的根軸，這樣的圓系又稱為共軸圓系。當(dāng)兩圓、相交時(shí)，方程表示兩圓公共弦所在的直線方程；當(dāng)兩圓、相切時(shí)，方程表示過兩圓切點(diǎn)的圓、的公切線方程。掌握了圓系的概念后，我們可迅速地解決一些求圓的方程或相交兩圓公共弦所在的直線方程的問題。網(wǎng)站點(diǎn)擊典型例題解析例1：求圓心為（2,1），且與已知圓相交所得的公共弦所在直線過點(diǎn)（5，2）的圓的方程。點(diǎn)撥由于已知圓心坐標(biāo)，為此要求圓的方程只需求得圓的半徑即可。解答設(shè)所求圓的方程為，即已知圓方程為，得公共弦所在直線的方程為公共弦所在直線過點(diǎn)（5，2），5450，4，所求圓的方程為總結(jié)當(dāng)已知曲線

6、類型時(shí)，求其曲線方程的常用方法是待定系數(shù)法。變式題演練已知圓：，圓：（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）求公共弦所在的直線方程；（3）求公共弦的長度。答案：（1）圓的圓心為（3,0），半徑為，圓的圓心為（0，2），半徑為，又，圓與相交。（2）由，得公共弦所在的直線方程為。（3）圓心到直線的距離為，兩圓公共弦的長度為。例2：求以圓和圓：的公共弦為直徑的圓的方程點(diǎn)撥求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出圓心和半徑；或利用圓系方程求解。解答解法一：相減得公共弦所在直線方程為4x+3y-2=0再由解得兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)A（1,2）、B（5,6）所求圓以AB為直徑，所求圓的圓心是AB的中點(diǎn)M（2，2），圓的半徑為rAB5

7、于是所求圓的方程為 解法二：設(shè)所求圓的方程為：即圓心坐標(biāo)為C圓心C應(yīng)在公共弦AB所在直線上， 所求圓的方程為總結(jié)解法一體現(xiàn)了確定圓的條件，求圓心和半徑的這一基本方法；解法二采取了設(shè)所求圓的方程為圓系方程，再用求待定系數(shù)求解，解法二比較簡練變式題演練 求經(jīng)過兩圓和的交點(diǎn)，并且圓心在直線上的圓的方程。 答案：設(shè)所求圓的方程為，即則所求圓的圓心為圓心在直線上，解得 所求圓的方程為例3：求與圓相切于點(diǎn)P（3,6），且經(jīng)過點(diǎn)Q（5,6）的圓的方程。點(diǎn)撥可將點(diǎn)P看成一個(gè)特殊的圓，利用圓系方程求解。解答切點(diǎn)P（3,6）在已知圓上，將它視為“點(diǎn)圓”：，故可建立圓系方程所求圓經(jīng)過點(diǎn)Q（5，6），代入上述方程，解

8、得2故所求圓的方程為總結(jié)在求與已知直線或已知圓相切于某一已知點(diǎn)的圓的方程時(shí)，把切點(diǎn)視為“點(diǎn)圓”，并運(yùn)用圓系方程求解，是一個(gè)重要的方法和技巧。變式題演練求圓心在直線上，且與圓相切于點(diǎn)B（1,2）的圓的方程。答案：設(shè)所求圓的方程為，即則所求圓的圓心為圓心在直線上，解得 所求圓的方程為例4：求證：C：與C：在同一交點(diǎn)處的切線互相垂直。點(diǎn)撥利用圓的幾何性質(zhì)證明，即證交點(diǎn)處的一圓的半徑與另一圓在此處的半徑垂直。解答設(shè)兩圓交于點(diǎn)A、B，連CA、CA， ，|CA|=4，| CA|=2 ，即 由平面幾何知識知：CA所在直線是C的切線，CA所在直線是C的切線， C與C在交點(diǎn)A處的切線互相垂直。 同理可證：C與C在交點(diǎn)B處的切線互相垂直?？偨Y(jié)本題利用了圓的幾何性質(zhì)，思路清晰、明快。可見，認(rèn)真審題，充分利用圖形的幾何性質(zhì)，有效地實(shí)施命題轉(zhuǎn)換，尋找證題思路是十分重要的，這也是能力的體現(xiàn)。變式題演練 兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直，那么實(shí)數(shù)a的值為 .答案：2知識結(jié)構(gòu)知識點(diǎn)圖表兩圓的位置關(guān)系兩圓位置關(guān)系的判定圓系方程學(xué)法指導(dǎo)1、兩圓的位置關(guān)系有五種，在判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)，還是用幾