第二節(jié) 函數(shù)的微分法.ppt

1、第二節(jié)函數(shù)的微分法,一、導數(shù)的四則運算,二、復合函數(shù)的微分法,第三章導數(shù)與微分,定理 1設函數(shù) u(x)、v(x) 在 x 處可導，,在 x 處也可導，,(u(x) v(x) = u(x) v (x);,(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x);,一、導數(shù)的四則運算,且,則它們的和、差、積與商,證上述三個公式的證明思路都類似，我們只證第二個,因為,u (x + x) - u(x) = u，,即,u (x + x) = u(x) + u，,同理有,v (x + x) = v(x) + v .,y = u(x)v(x)，,令,則,y = u(x + x) v(x + x) -

2、 u(x)v(x),= u(x) + u v(x) + v - u(x)v(x),= u(x)v + v(x)u + u v .,所以,推論 1(cu(x) = cu(x) (c 為常數(shù)).,推論 2,解根據(jù)推論 1 可得 (3x4) = 3(x4)，,(5cos x) = 5(cos x)，,(cos x) = - sin x，,(ex) = ex，,(1) = 0，,故,f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) ,= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1),= 12x3 - ex - 5sin x .,f (0) = (12x3 - ex - 5s

3、in x)|x=0 = - 1,又(x4) = 4x3，,例 1設 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).,例 2設 y = xlnx ，,求 y .,解根據(jù)乘法公式，有,y = (xlnx),= x (lnx) + (x)lnx,解根據(jù)除法公式，有,例 4 設 f (x) = tan x，,求 f (x).,即,同理可得,(tan x) = sec2x .,(cot x) = - csc2x .,解,例 5設 y = sec x，,求 y .,解根據(jù)推論 2，有,即,同理可得,(sec x) = sec x tan x .,(csc x) =

4、 - csc x cot x .,另外可求得,(以后補證),二、復合函數(shù)的微分法,定理 2設函數(shù) y = f (u)， u = (x) 均可導，,則復合函數(shù) y = f ( (x) 也可導.,且,或,或,即,證設變量 x 有增量 x，,由于 u 可導，,相應地變量 u 有增量 u，,從而 y 有增量 y.,推論設 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可導，則復合函數(shù) y = f ( (x) 也可導，,且,例 6設 y = (2x + 1)5，求 y .,解把 2x + 1 看成中間變量 u，,y = u5，u = 2x + 1,復合而成，,所以,將 y = (2x +

5、1)5看成是,由于,例 7設 y = sin2 x，求 y .,解這個函數(shù)可以看成是 y = sin x sin x, 可利用乘法的導數(shù)公式，,將 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 復合而成.,而,所以,這里，,我們用復合函數(shù)求導法.,解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 復合而成，,所以,例 9設 y = etan x，求 y .,復合函數(shù)求導數(shù)熟練后，中間變另可以不必寫出.,求 y .,解將中間變量 u = 1 - x2 記在腦子中.,這樣可以直接寫出下式,例 10,例 12設 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x).,解,解這個復合函數(shù)有三個復合步驟,把這些中間變量都記在腦子中,例 15,求 y .,解,解先用除法的導數(shù)公式，遇到復合時，再用復合函數(shù)求導法則.,例 17設 y = sin(xln x)，,求 y .,解先用復合函數(shù)求導公式， 再用乘法公式,y = cos(xln x) (xln x),= cos(xln x) (x (ln x) + x ln x ),= (1 + ln x)cos(x ln x) .,例 19,解先用復合函數(shù)求導公式，,再用加法求導公式，,然后又會遇到復合函數(shù) 的求導.,例 20設 y = sh x，,求 y