高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義 第4章 二倍角的三角函數(shù)及簡(jiǎn)單的學(xué)案 蘇教版

1、學(xué)案21二倍角的三角函數(shù)及簡(jiǎn)單的三角恒等變換導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟練應(yīng)用.2.能運(yùn)用兩角和與差的三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換自主梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2_；(2)cos 2_11_；(3)tan 2_ (且k)公式的逆向變換及有關(guān)變形(1)sin cos _cos ；(2)降冪公式：sin2_，cos2_；升冪公式：1cos _，1cos _；變形：1sin 2sin2cos22sin cos _.自我檢測(cè)1已知sin ，則sin4cos4的值為_2已知x(，0)，cos x，則tan 2x_.3函數(shù)y(sin xcos x)21的最小正

2、周期為_4.2的化簡(jiǎn)結(jié)果是_5函數(shù)f(x)cos 2x2sin x的最小值和最大值分別為_和_探究點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)例1求函數(shù)y74sin xcos x4cos2x4cos4x的最大值和最小值變式遷移1(2010泰安一模)已知函數(shù)f(x).(1)求f的值；(2)當(dāng)x時(shí)，求g(x)f(x)sin 2x的最大值和最小值探究點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值例2已知sin(2)sin(2)，(，)，求2sin2tan 1的值變式遷移2(1)已知是第一象限角，且cos ，求的值(2)已知cos()，求cos(2)的值探究點(diǎn)三三角恒等式的證明例3(2010蘇北四市模擬)已知sin(2)3sin ，設(shè)tan x，ta

3、n y，記yf(x)(1)求證：tan()2tan ；(2)求f(x)的解析式；(3)若角是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f(x)的值域變式遷移3求證：.轉(zhuǎn)化與化歸思想例(14分)(2010江西)已知函數(shù)f(x)sin2xmsinsin.(1)當(dāng)m0時(shí)，求f(x)在區(qū)間上的取值范圍；(2)當(dāng)tan 2時(shí)，f()，求m的值【答題模板】解(1)當(dāng)m0時(shí)，f(x)sin2xsin2xsin xcos x，3分由已知x，得2x，4分所以sin，5分從而得f(x)的值域?yàn)?7分(2)f(x)sin2xsin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin 2x(1m)cos 2x，9分由tan

4、2，得sin 2，cos 2.11分所以，12分解得m2.14分【突破思維障礙】三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)是指利用誘導(dǎo)公式、同角基本關(guān)系式、和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等，將較復(fù)雜的三角函數(shù)式化得更簡(jiǎn)潔、更清楚地顯示出式子的結(jié)果化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的基本要求是：(1)能求出數(shù)值的要求出數(shù)值；(2)使三角函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)的種類最少；(3)分式中的分母盡量不含根式等1求值中主要有三類求值問題：(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解(2)“給

5、值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角2三角恒等變換的常用方法、技巧和原則：(1)在化簡(jiǎn)求值和證明時(shí)常用如下方法：切割化弦法，升冪降冪法，輔助元素法，“1”的代換法等(2)常用的拆角、拼角技巧如：2()()，()，()，是的二倍角等(3)化繁為簡(jiǎn)：變復(fù)角為單角，變不同角為同角，化非同名函數(shù)為同名函數(shù)，化高次為低次，化多項(xiàng)式為單項(xiàng)式，化無理式為有理式消除差異：消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端

6、以及各項(xiàng)的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的差異(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1已知0，3sin 2sin ，則cos()_.2已知tan()，tan，那么tan_.3(2011淮安模擬)已知cos 2 (其中)，則sin 的值為_4若f(x)2tan x，則f的值為_5(2010福建廈門外國(guó)語學(xué)校高三第二次月考)在ABC中，若cos 2B3cos(AC)20，則sin B的值是_6(2011鎮(zhèn)江模擬)已知sin()，則cos(2)的值是_7函數(shù)y2cos2xsin 2x的最小值是_8若，則cos sin 的值為_二、解答題(共42分)9(14分)化簡(jiǎn)：(1)cos 20co

7、s 40cos 60cos 80；(2).10(14分)(2010南京一模)設(shè)函數(shù)f(x)sin xcos xcos xsin.(1)求f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值11(14分)(2010北京)已知函數(shù)f(x)2cos 2xsin2x4cos x.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值答案 自主梳理(1)2sin cos (2)cos2sin22cos22sin2(3)(1)sin 2(2)2cos22sin2(sin cos )2自我檢測(cè)1解析原式(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos22sin21.2解析x(，0)，cos

8、x，sin x，tan x，tan 2x.3解析ysin2x2sin xcos xcos2x1sin 2x，T.42sin 4解析原式22|cos 4|2|sin 4cos 4|2sin 4.53解析f(x)cos 2x2sin x12sin2x2sin x22，則sin x時(shí)，f(x)最大；sin x1時(shí)，f(x)最小3.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引化簡(jiǎn)的原則是形式簡(jiǎn)單，三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值本題要充分利用倍角公式進(jìn)行降冪，利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵解y74sin xcos x4cos2x4cos4x72sin 2x4cos2x(

9、1cos2x)72sin 2x4cos2xsin2x72sin 2xsin22x(1sin 2x)26，由于函數(shù)z(u1)26在1,1中的最大值為zmax(11)2610，最小值為zmin(11)266，故當(dāng)sin 2x1時(shí)，y取得最大值10，當(dāng)sin 2x1時(shí)，y取得最小值6.變式遷移1解(1)f(x)2cos 2x，f2cos2cos .(2)g(x)cos 2xsin 2xsin.x，2x，當(dāng)x時(shí)，g(x)max，當(dāng)x0時(shí)，g(x)min1.例2解題導(dǎo)引(1)這類問題一般是先化簡(jiǎn)再求值；化簡(jiǎn)后目標(biāo)更明確；(2)如果能從已知條件中求出特殊值，應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角，可簡(jiǎn)化運(yùn)算，對(duì)切函數(shù)通?；癁橄液?/p>

10、數(shù)解由sin(2)sin(2)sin(2)cos(2)sin(4)cos 4，cos 4，又(，)，故，2sin2tan 1cos 2cos 2cos.變式遷移2解(1)是第一象限角，cos ，sin .(2)cos(2)cos 2cossin 2sin(cos 2sin 2)，0，故可知，sin()，從而cos 2sin(2)2sin()cos()2().sin 2cos(2)12cos2()12()2.cos(2)(cos 2sin 2)().例3解題導(dǎo)引本題的關(guān)鍵是第(1)小題的恒等式證明，對(duì)于三角條件恒等式的證明，我們要注意觀察、分析條件恒等式與目標(biāo)恒等式的異同，特別是分析已知和要求的

11、角之間的關(guān)系，再分析函數(shù)名之間的關(guān)系，則容易找到思路證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡(jiǎn)，左右歸一或變更論證對(duì)于第(2)小題同樣要從角的關(guān)系入手，利用兩角和的正切公式可得關(guān)系第(3)小題則利用基本不等式求解即可解(1)由sin(2)3sin ，得sin()3sin()，即sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ，sin()cos 2cos()sin ，tan()2tan .(2)由(1)得2tan ，即2x，y，即f(x).(3)角是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角，0，0x，設(shè)g(x)2x，則g(x)2x2(當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取“”)故函數(shù)f(x)的

12、值域?yàn)?0，變式遷移3證明因?yàn)樽筮呌疫吽栽仁匠闪⒄n后練習(xí)區(qū)1解析0，3sin 2sin ，6sin cos sin ，又sin 0，cos ，cos()cos()cos .2.解析因?yàn)?，所?).所以tantan.3解析cos 212sin2，sin2.又，sin .48解析f(x)2tan x2tan x，f8.5.解析由cos 2B3cos(AC)20化簡(jiǎn)變形，得2cos2B3cos B10，cos B或cos B1(舍)sin B.6解析cos(2)cos(2)cos2()12sin2().71解析y2cos2xsin 2xsin 2x1cos 2xsin 2xcos 2x1sin1，當(dāng)sin(2x)1時(shí)，函數(shù)取得最小值1.8.解析(sin cos )，cos sin .9解(1)sin 22sin cos ，cos ，(3分)原式.(7分)(2)原式(9分)tan4.(14分)10解f(x)sin xcos xcos xsinsin 2xcos 2x1sin1.(4分)(1)T，故f(x)的最小正周期為.(6分)(2)因?yàn)?x，所以