高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義 8.2空間幾何體的表面積與體積 理 新人教A版

1、8.2空間幾何的表面積和體積2014高考會(huì)如上所述結(jié)合1 .三視，調(diào)查幾何體積的表面積、體積2 .作為解答問題中的一個(gè)問題，結(jié)合空間線面關(guān)系調(diào)查幾何體積的修正算法復(fù)習(xí)備考必須這樣做1 .記住公式，理解公式的意義2 .結(jié)合幾何的結(jié)構(gòu)特征，用公式解決一些修正計(jì)算問題1 .柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱s側(cè)=2rhV=Sh=r2h圓錐s側(cè)=rlV=Sh=r2h=r2圓臺(tái)s側(cè)=(r1 r2)lV=(S上s下) h=(r r r1r2)h柱形垂直角s側(cè)=ChV=Sh正角錐s側(cè)=ch V=Sh正棱臺(tái)s側(cè)=(c c)h V=(S上s下) h球s球面=4R2V=R32 .幾何表面積(1)棱柱、棱錐、

2、棱錐臺(tái)的表面積為各面面積之和(2)圓柱、圓錐、圓錐臺(tái)的側(cè)面展開圖分別為矩形、扇形、扇環(huán)狀的這些個(gè)的表面積與側(cè)面積和底面面積之和相等難點(diǎn)原本疑點(diǎn)清源1 .幾何圖形的側(cè)面積和總面積此外，優(yōu)選地，相對(duì)側(cè)的面積公式的存儲(chǔ)與幾何的側(cè)面展開圖一起進(jìn)行，特別地，留心了基于幾何的側(cè)面展開圖的平面圖的特征來解決問題2 .等積法等積法是以在已知的條件下得到幾何圖形(或幾何圖形)的面積(或體積)為前提，利用等積法求出幾何圖形的高度或幾何圖形的高度，特別是求出三角形的高度和三棱錐的高度，是通過具體地繪圖而得到的三角形(或三棱錐1 .圓柱的底面積為s，側(cè)面展開圖為正方形時(shí)，該圓柱的側(cè)面積為答案4S設(shè)解析圓柱的底面半徑為

3、r，則r=、另外，側(cè)面展開圖為正方形，圓柱的高度h=2圓柱側(cè)=4S。2 .以下是幾何的三個(gè)視圖(尺寸長(zhǎng)度單位為m ) : 幾何體積為_m3。答案4解析該空間幾何為三棱錐，該三棱錐的高度為2，底面為一邊的長(zhǎng)度為4，這一邊的高度為3的二全等三角形，其體積為V=432=4。3 .表面積為3的圓錐，其側(cè)面展開圖為半圓，該圓錐的底面直徑為答案2假設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r .則分析為l2 r2=3，l=2r，r=1，即圓錐的底面直徑為2。4 .如果一個(gè)球與一個(gè)立方形的每個(gè)面接觸，并且立方形邊的長(zhǎng)度為a，則球的表面積為回答a2分析從題意可知，球的半徑R=。s球=4R2=a2。5 .如所參考的，在p

4、rism的長(zhǎng)度為4的立方形ABCD-a1b-1c-1 d 1中，p的值等于或大于A1B1另一方面，如果PB1=A1B1，則多面體PBB1C1C的體積為答案解析-四角錐PBB1C1C的底面積為16，高PB1=1，VPBB1C1C=161=。問題型空間幾何的表面積示例1如果空間幾何圖形的三個(gè)視圖如圖所示，則該幾何圖形的表面積為()A.48 B.32 8c.488足球俱樂部思考啟發(fā)：首先用三視角確定空間幾何的結(jié)構(gòu)特征，然后求表面積答案c解析3視圖中已知的該幾何的直觀圖如圖所示，該幾何的下底面是邊的長(zhǎng)度為4的正方形，上底面是長(zhǎng)度4，寬度2的矩形，兩個(gè)梯形側(cè)面與底面垂直，上底長(zhǎng)度為2，下底長(zhǎng)度為4，高度

5、為4，另一側(cè)面是矩形，寬度為4，長(zhǎng)度=.s表=4224(1)以三視點(diǎn)為載體調(diào)查幾何的表面積的研究，重要的是能恰當(dāng)?shù)胤治鼋o出的三視點(diǎn)，從三視點(diǎn)能發(fā)現(xiàn)幾何中各要素間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系(2)多面體的表面積為各面面積之和的組合體的表面積必須注意重疊部分的處理(3)圓柱、圓錐、圓錐臺(tái)的側(cè)面是曲面，修正側(cè)面積時(shí)需要將該曲面展開為平面圖形進(jìn)行修正，表面積是側(cè)面積和底面圓面積之和一個(gè)幾何的三個(gè)視圖(單位： cm )為_cm2，如圖所示?；卮? 12在分析中，該幾何是四角柱、半圓柱、半球的組合，四角柱的上表面和半球重疊的部分以外的面積是12-12=2-，四角柱不重疊的表面積是2- 122 22 2=12-，半

6、圓柱不重疊的表面積問題型雙空間幾何體積如例2圖所示，已知e、f分別為棱鏡長(zhǎng)度為a的立方形求出ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn)、四角錐C1B1EDF體積思考啟發(fā)：構(gòu)想1 :先求出四角錐C1B1EDF的高度及其底面積，再用四角錐的體積公式求出其體積構(gòu)想2 :將四角錐c1-b1edf化為兩個(gè)三棱錐B1C1EF和DC1EF，然后求四角錐c1-b1edf的體積。解法是將A1C1、B1D1與點(diǎn)O1連接，將B1D、EF連接，通過O1將O1HB1D與H.EFA1C1連接，將A1C1平面B1EDF、a1c 1平面B1EDF從c 1到平面B1EDF的距離是從A1C1到平面B1EDF的距離。平面b1

7、d平面B1EDF，平面B1D1D平面B1EDF=B1D，O1H平面B1EDF，即O1H是角錐的高度。b1o1h -b1DD 1，O1H=a。VC1B1EDF=S四邊形B1EDFO1H=EFB1DO1H=aaa=a3。方法2連接ef、B1D當(dāng)設(shè)從B1到平面C1EF的距離為h1、設(shè)從d到平面C1EF的距離為h2時(shí)，成為h1 h2=B1D1=a。從標(biāo)題的意義來看，vc1-b1edf=vb1-c1ef vd-c1ef=SC1EF(h1 h2)=a3。為了求出幾個(gè)不規(guī)則幾何體積和兩個(gè)幾何體積的比，大多需要分割法。 在求一個(gè)幾何被分割成兩部分的體積之比時(shí)，如果一部分是不規(guī)則的幾何，可以從幾何整體的體積中減

8、去規(guī)則的幾何體積來求體積(2012課標(biāo)全國(guó))已知三棱錐S-ABC的頂點(diǎn)都在球o的球面上，ABC一邊為1的正三角形，SC為球o的直徑，如果SC=2，則該角錐的體積為()甲乙丙丁。答案a由于棱鏡項(xiàng)目S-ABC和棱鏡項(xiàng)目O-ABC底面都是ABC、o是SC的中點(diǎn)，所以棱鏡項(xiàng)目S-ABC的高度是棱鏡項(xiàng)目O-ABC的高度的2倍，三棱錐S-ABC的體積也是三棱錐O-ABC的體積的2倍。在三棱錐O-ABC中，其棱長(zhǎng)都為1，如圖所示，SABC=AB2=、高OD=、VS-ABC=2VO-ABC=2=。問題類型3幾何的展開和折疊問題如例3 (1)圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD中，AC和BD相交于o，切取AO

9、B，將剩馀的部分沿著OC、OD折疊，將OA、OB重疊，則為a、b，以c、d、o為頂點(diǎn)的四面體片的體積為(2)有長(zhǎng)3 cm、底面直徑2 cm的圓柱形鐵元素管，在鐵元素管上用1根金屬絲繞2圈，將金屬絲的兩端點(diǎn)落在圓柱同一母線的兩端，金屬絲的最短長(zhǎng)度為_ cm。思考啟發(fā)： (1)考慮折疊幾何的形狀和數(shù)量的關(guān)系；(2)可以利用圓柱的側(cè)面展開圖答案(1) (2)5解析(1)折疊的四面體片如圖所示OA、OC和OD兩者都是垂直的，并且OA=OC=OD=2，體積V=SOCDOA=(2)3=。(2)展開圓柱側(cè)面和卷繞在其上的金屬絲，在平面上得到矩形ABCD (圖)，從題意來看，BC=3 cm、AB=4 cm、點(diǎn)

10、a和點(diǎn)c分別是金屬絲的起伏、停止位置，因此，線段AC的長(zhǎng)度為金屬絲的最短長(zhǎng)度.AC=5(厘米)，鐵絲的最短長(zhǎng)度是5 cm(1)為了探討有關(guān)折疊日式榻榻米的問題，必須明確折疊前后的兩圖形(折疊日式榻榻米前的平面圖形和折疊日式榻榻米后的空間圖形)的各要素間的位置和數(shù)量的關(guān)系、怎樣的變化、怎樣的不變。(2)研究幾何表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，總是選擇合適的母線或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的最短距離問題如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面展開圖由1邊長(zhǎng)為1的正方形和4邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成，該多面體的體積為答案解析圖，四角錐的高度h=、V=Sh=1=。轉(zhuǎn)換思想在立體幾何核算中的應(yīng)用典型例： (12點(diǎn))如圖所

11、示，在垂直角柱ABC-abc 中，底面是邊的長(zhǎng)度為3的等邊3方形，aa=4，m是aa的中點(diǎn)，p是BC上的點(diǎn)，從p開始沿著棱柱側(cè)面設(shè)從棱cc到m的最短路徑長(zhǎng)度為，設(shè)該最短路徑與cc的升交點(diǎn)為n，麻煩你了。(1)該三角柱側(cè)面展開圖的對(duì)折角線長(zhǎng)度(2)PC和NC的長(zhǎng)度(3)三棱錐CMNP的體積審查問題的視點(diǎn)(1)側(cè)面展開圖從哪里剪下來弄平(2)MN NP最短在展開圖上呈現(xiàn)怎樣的形狀(3)三棱錐由誰(shuí)來做到底好呢？規(guī)范解答解(1)這個(gè)三角柱的側(cè)面展開圖因?yàn)橐贿叺拈L(zhǎng)度分別是4和9的矩形，所以對(duì)折角線的長(zhǎng)度=.2點(diǎn)(2)將該三角柱的側(cè)面沿棱bb展開，如下圖所示，當(dāng)設(shè)PC=x時(shí)，則成為MP2=MA2 (AC

12、x)2。MP=、MA=2、AC=3，x=2，即PC=2。另外，因?yàn)槭荖CAM，即=。NC=.8分(3)SPCN=CPCN=2=。在三棱錐MPCN處，從m到面PCN的距離為：即，h=3=。vc-mnp=vm-pcn=hspcn=.12分溫暖注意(1)解決空間幾何表面上的最大值問題的根本思維方法是“展開”，展開空間幾何的“面”后鋪在一個(gè)平面上，將問題轉(zhuǎn)化為平面上的最大值問題(2)如果已知的空間幾何是多面體，根據(jù)問題的情況，可以將該多面體沿著有多面體的棱或兩個(gè)面的交線展開，將一個(gè)平面上不存在的問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)平面上如果是圓柱、圓錐，則沿母線展開，可以將曲面上的問題轉(zhuǎn)換為平面上的問題(3)本問題的容易出

13、錯(cuò)的點(diǎn)是，不知道從哪個(gè)側(cè)邊切離并弄平，不能正確地描繪側(cè)展開圖，缺乏的從空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)換意識(shí)方法和技巧1 .對(duì)于用基本概念和公式直接求棱柱、棱錐、棱錐臺(tái)和球表面積的問題，應(yīng)結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特征和平面幾何知識(shí)加以解決2 .應(yīng)注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題3 .要求幾何體積，注意分割和補(bǔ)形。 不規(guī)則幾何通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)換為規(guī)則幾何求解4 .有些幾何表面上的最短距離問題通常利用幾何展開圖解決失誤與防范1 .幾何的展開、折疊問題，必須抓住前后兩個(gè)圖形之間的連接，找出其中量的關(guān)系2 .與球有關(guān)的組合體的問題，一個(gè)是內(nèi)切，一個(gè)是外接，在解決問題時(shí)很好地分析圖形，明確接點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定要素間的數(shù)量關(guān)系

14、，適當(dāng)?shù)慕孛鎴D，例如球與正方形內(nèi)接，接點(diǎn)在正方形的各面的中心，正方形的棱長(zhǎng)與球的直徑相等的球與立方形外接，立方形的a組專業(yè)基礎(chǔ)培訓(xùn)(時(shí)間： 35分，滿分： 57分)一、選擇題(各問題5分，修訂20分)1. (2012課標(biāo)全國(guó))如圖所示，網(wǎng)格紙的小正方形邊長(zhǎng)為1，粗線描繪了三個(gè)視圖，因此該幾何體的體積為()A.6 B.9 C.12 D.18答案b解析結(jié)合三視知識(shí)求三棱錐的體積從題意可以看出，該幾何圖形為三棱錐，其高度為h=3，對(duì)應(yīng)的底面面積為S=63=9。V=Sh=93=9。2 .已知高度為3的垂直角柱ABC-abc 的底面是邊的長(zhǎng)度為1的正三角形(如右圖所示)三棱錐b-ABC的體積為()甲骨文

15、。C. D答案d分析vb-abc=bbsabc=312=。3 .正六角柱的高度為6、底面邊的長(zhǎng)度為4時(shí)，其總面積為()a.48 (三) b.48 (三二)C.24() D.144答案a分析s底=642=24，s側(cè)=646=144，s全=S側(cè)2S底=144 48=48(3)。4. (2012北京牌)如某三棱錐的透視圖所示，該三棱錐的表面積是(-)A.28 6 B.30 6C.56 12 D.60 12答案b解析根據(jù)幾何的3個(gè)視圖描繪其直觀圖，利用直觀圖的圖形特征求出其表面積從幾何圖形的3個(gè)視圖可以看出，該三棱錐的直觀圖如圖所示其中AE平面BCD、CDBD、CD=4、BD=5、BE=2、ED=3、AE=4。AE=4，ED=3，AD=5。再有CDBD、CDAE，CD平面ABD，已故CDAD，AC=且SACD=10。對(duì)于RtABE，AE=4并且BE=2，因此AB=2。在RtBCD中，BD=5、CD=4，因此，SBCD=10，BC=。在ABD的情況下，由于AE=4，BD=5，因此SABD=10。在ABC中，AB=2，BC=AC=、因?yàn)锳B邊緣上的高度h=6，所以SABC=26=6。因此，該三棱錐表面積為S=30 6 .二、填空問題