復(fù)變函數(shù)---第一章.ppt

1、場論與復(fù)變函數(shù),主講教師：張靜 Email:,復(fù)變函數(shù) 1.復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 2.解析函數(shù) 3.復(fù)變函數(shù)的積分 4.級數(shù) 5.留數(shù) 6.共形映射,簡介,場論 1.矢量分析 2.場論 3.哈密頓算子,簡介,第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),第一、二、三節(jié) 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算,第四、五、六節(jié) 復(fù)變函數(shù)（概念、極限、連續(xù)）,1-3 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算,一、復(fù)數(shù)的概念,注意 :,復(fù)數(shù)不能比較大小.,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,二、復(fù)數(shù)的幾種表示方法,1. 代數(shù)法:,2. 幾何法:,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,r,3. 向量法:,復(fù)數(shù)的模,三角不等式,幾何上,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其

2、代 數(shù) 運 算,復(fù)數(shù)的輻角:,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,4. 三角法:,5. 指數(shù)法:,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,三、復(fù)數(shù)的運算,（指集合相等）,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,特別的,幾何意義:,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,（指集合相等）,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,4. 共軛復(fù)數(shù)的運算,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,5. 冪與根,冪:,（德摩佛公式De Moivre,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,方根:,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,四、曲線的復(fù)數(shù)方程,第 一 節(jié) 復(fù)

3、數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,例1 指出下列方程表示的曲線,解:法 1.,法 2.,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,解:,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,解:,解:,由向量的性質(zhì),第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,解:,由幾何意義，圓的方程為,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,例4 指出滿足下列條件的點 z 的全體所構(gòu)成的圖形.,解:,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,解:,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,解:,如圖:,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,另解:,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,五、復(fù)球面,作一

4、球面與復(fù)平面在坐標(biāo)圓點相切,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,規(guī)定:,稱球面為復(fù)球面,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,第 一 節(jié) 復(fù) 數(shù) 及 其 代 數(shù) 運 算,4 -6 復(fù)變函數(shù)（極限、概念、連續(xù)）,一、區(qū)域,1. 鄰域:,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,2. 內(nèi)點:,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,3. 開集:,若G內(nèi)每一點都是內(nèi)點，稱G是開集,4. 區(qū)域:,連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域,（連通集是指集合內(nèi)任何兩點可用完全屬于,5. 邊界點:,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,集合的折線連接起來）

5、,的點，也有不屬于D中的點，稱P為D的邊界點。,有屬于D,6. 閉區(qū)域:,7. 有界區(qū)域:,稱D為有界區(qū)域，否則，為無界區(qū)域.,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,二、單連通與復(fù)連通域,1. 平面曲線的幾個概念,（1）連續(xù)曲線:,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,稱為復(fù)變量實參數(shù)曲線方程。,（2）光滑曲線:,（3）簡單曲線:,(直觀上為無重點曲線);,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,則稱曲線為簡單閉曲線.,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,2. 單連通區(qū)域:,若區(qū)域B內(nèi)任何一條簡單閉曲線，在B內(nèi)可以,經(jīng)過連

6、續(xù)的變形而縮成一點，則稱B為單連通區(qū)域.,多連通區(qū)域:,不是單連通的連通區(qū)域.,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,單連通域（無洞）,多連通域（有洞）,B,三、復(fù)變函數(shù),1. 定義:,則稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù).,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,2. 復(fù)變函數(shù)與實變函數(shù)的關(guān)系,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,例如:,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,稱函數(shù) 為映射,解:,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,解:,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,第 二 節(jié) 復(fù)

7、變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,4,u,v,例如:,注:Z平面與W平面重合.,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,解:,法 1 .,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,法 2,四、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性,1. 極限定義:,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,幾何意義:,說明:,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,定理1:,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,注:此定理的意義在于，復(fù)變量函數(shù)極限問題，可,轉(zhuǎn)化為求實變量二元函數(shù)的極限問題.,證明:書上26頁,證明:,法 1 :,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,k取不同時，極限值不相等.,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,法 2 :,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,定理2 （四則運算法則）,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,2. 連續(xù)定義:,連續(xù)的等價定義:,第 二 節(jié) 復(fù) 變 函 數(shù) （概 念、極 限、連 續(xù)）,定理 3:,第 二