概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差

1、,我們已經(jīng)介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.,但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.,例如，某零件的真實長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量結(jié)果X用坐標上的點表示如圖：,若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認為哪臺儀器好一些呢？,測量結(jié)果的均值都是 a,因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近,又如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標的位置如圖：,你認為哪門炮射擊效果好一些呢?,甲炮射擊結(jié)果,乙炮射擊結(jié)果,因為乙炮的彈著點較集中在中心附近 .,為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機變量取值在其中心附近的

2、離散程度.,這個數(shù)字特征就是我們要介紹的,方差,一、方差的定義,采用平方是為了保證一切 差值X-E(X)都起正面的作用,由于它與X具有相同的度量單位，在實際問題中經(jīng)常使用.,方差的算術(shù)平方根 稱為標準差,若X的取值比較分散，則方差較大 .,若方差D(X)=0,則r.v X 以概率1取常數(shù)值 .,方差刻劃了隨機變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度 .,若X的取值比較集中，則方差較?。?D(X)=EX-E(X)2,X為離散型， P(X=xk)=pk,由定義知，方差是隨機變量X的函數(shù) g(X)=X-E(X)2的數(shù)學(xué)期望 .,X為連續(xù)型， Xf(x),二、計算方差的一個簡化公式,D(X)=E(X2)-E

3、(X)2,展開,證：D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望 性質(zhì),請自己用此公式計算常見分布的方差.,例1 設(shè)r.v X服從幾何分布，概率函數(shù)為,P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,，n,其中0p1,求D(X),解：,記q=1-p,求和與求導(dǎo) 交換次序,無窮遞縮等比 級數(shù)求和公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,+E(X),三、方差的性質(zhì),1. 設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;,2. 若C是常數(shù),則D(CX)=C2 D(X);,3. 若X1與X2 獨立，則 D(X1+X2)= D(X1

4、)+D(X2);,可推廣為：若X1,X2,Xn相互獨立,則,X1 與X2不一定獨立時， D(X1 +X2 )=？ 請思考,4. D(X)=0 P(X= C)=1， 這里C=E(X),下面我們用一例說明方差性質(zhì)的應(yīng)用 .,例2 二項分布的方差,設(shè)XB(n,p), 則X表示n重貝努里試驗中的 “成功” 次數(shù) .,故 D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2,E(Xi)=P(Xi=1)= p,E(Xi2)= p,則 是n次試驗中“成功” 的次數(shù),= p- p2= p(1- p),于是,i=1,2，n,D(Xi)= E(Xi2)-E(Xi)2 = p- p2= p(1- p),由于X1,X2,Xn相互

5、獨立,= np(1- p),四、切比雪夫不等式,設(shè)隨機變量X有期望E(X)和方差 ，則對于 任給 0,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則事件|X-E(X)| 的概率越大，即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.,由此可體會方差的概率意義： 它刻劃了隨機變量取值的離散程度.,如圖所示,當方差已知時，切比雪夫不等式給出了r.v X與它的期望的偏差不小于 的概率的估計式 .,如取,可見，對任給的分布，只要期望和方差 存在，則 r.v X取值偏離E(X)超過 3 的概率小于0.111 .,例3 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計每

6、毫升白細胞數(shù)在52009400之間的概率 .,解：設(shè)每毫升白細胞數(shù)為X,依題意，E(X)=7300,D(X)=7002,所求為 P(5200 X 9400),P(5200 X 9400),=P(5200-7300 X-7300 9400-7300),= P(-2100 X-E(X) 2100),= P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100,即估計每毫升白細胞數(shù)在52009400之間的概率不小于8/9 .,例4 在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多大時，才能使得在n次獨立重復(fù)試驗中, 事件A出現(xiàn)的頻率在0.740.76之間的概率至少為0.90?,解：設(shè)X為n 次試驗中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，,E(X)=0.75n,的最小的n .,則 XB(n, 0.75),所求為滿足,D(X)=0.75*0.25n=0.1875n,=P(-0.01nX-0.75n 0.01n),= P |X-E(X)| 0.01n,P(0.74n X0.76n ),可改寫為,= P |X-E(X)| 0.01n,解得,依題意，取,即n 取18750時，可以使得在n次獨立重復(fù) 試驗中, 事件A出現(xiàn)的頻率