ch6 Bézier曲線與曲面

1、計(jì)算機(jī)圖形學(xué),曲線和曲面,1：曲線、曲面研究的發(fā)展過程 2：曲線、曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識 3：Bzier曲線與曲面,1：曲線、曲面研究的發(fā)展過程,曲線和曲面是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中研究的重要內(nèi)容之一，它們在實(shí)體造型技術(shù)、幾何造型設(shè)計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用。近二十年來，曲線、曲面的發(fā)展層出不窮。 1963年，波音(Boeing)公司的佛格森(Ferguson)將曲線曲面表示成參數(shù)矢量形式； 1964年，麻省理工學(xué)院(MIT)的孔斯(Coons)用封閉曲線的四條邊界定義一塊曲面； 1964年，舍恩伯格(Schoenberg)提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的定義； 1971年，法國雷諾(Renault)公司的貝塞爾(B

2、zier)發(fā)明了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法；,1972年，德布爾(de Boor)給出了B樣條的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算方法； 1974年，通用汽車公司的戈登(Gordon)和里森費(fèi)爾德(Riesenfeld)在B樣條理論的基礎(chǔ)上，提出了B樣條曲線、曲面； 1975年，美國的佛斯普里爾(Versprill)提出了有理B樣條方法； 80年代后期，美國的皮格爾(Piegl)和蒂勒(Tiller)將有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條(NURBS)方法；,2. 曲線、曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識,顯示、隱式和參數(shù)表示； 參數(shù)曲線的定義及切矢量、曲率； 插值、逼近、擬合和光順； 參數(shù)曲線的代數(shù)形式和幾何形式； 調(diào)和函

3、數(shù)； 曲線段的連續(xù)性定義；,2.1 顯式、隱式和參數(shù)表示,曲線和曲面均有參數(shù)表示和非參數(shù)表示之分，在非參數(shù)表示中又分為顯式表示和隱式表示。 顯式表示 對于一條平面曲線，非參數(shù)方程的顯式表示一般為 y=f(x)。在顯式表示中，每一個(gè)x值只對應(yīng)一個(gè)y值，所以用顯式方程不能表示封閉或多值曲線；,隱式表示 隱式的非參數(shù)方程一般形式為：f(x,y)=0；如二階隱式方程的一般式可寫成： 通過定義不同的方程系數(shù)a,b,c,d,e,f，即可得到不同的圓錐曲線，如拋物線，雙曲線和橢圓等。,參數(shù)表示 在平面曲線的參數(shù)表示中，曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)均要表示成一個(gè)參數(shù)式。如用參數(shù)t表示，則曲線上每一點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)形式是：

4、曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)的矢量表示是： 如用表示對參數(shù)的求導(dǎo)，則參數(shù)曲線的切矢量或?qū)Ш瘮?shù)是：,y,x,o,顯示方式表示的圓弧,1.0,1.0,參數(shù)方式表示的圓弧,y,x,o,1.0,1.0,參數(shù)方式表示的圓弧,y,x,o,1.0,1.0,參數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn),滿足幾何不變性的要求； 有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀； 對曲線、曲面進(jìn)行變換，可對其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換； 便于處理斜率為無窮大的情形，不會因此而中斷計(jì)算； 變量分離的特點(diǎn)使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量，便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去； 規(guī)格化的參數(shù)變量t0, 1，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界；

5、易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計(jì)算；,2.2 參數(shù)曲線的定義及切矢量、曲率,一條用參數(shù)表示的三維曲線是一個(gè)有界的點(diǎn)集，可寫成一個(gè)帶參數(shù)的、連續(xù)的、單值的數(shù)學(xué)函數(shù)，其形式為：,位置矢量：該曲線的端點(diǎn)在 t=0和t=1處，曲線上任何一點(diǎn)的位置矢量可用矢量p(t)表示：,切矢量,選擇弧長s作為參數(shù)，則 是單位切矢量； 根據(jù)弧長微分公式，有 所以，單位切矢量為：,y,x,o,P0,P1,Q,R,P,C,曲率,設(shè)以弧長c為參數(shù)，弧RQ的彎曲程度一方面與的大小有關(guān)，一方面又與弧長C有關(guān)； 我們用與C比的絕對值 來度量弧RQ的彎曲程度，稱為弧RQ的平均曲率； 當(dāng)Q點(diǎn)趨近于R點(diǎn)時(shí)，曲線在R點(diǎn)的曲率為：

6、曲率半徑,R,Q,T(c),T(c+c),c,T(c),T(c+c),2.3 插值、逼近、擬合和光順,(1)：插值 插值是函數(shù)逼近的重要方法。給定函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b中互異的n個(gè)點(diǎn)f(xi) i=1,2,n，基于這個(gè)列表數(shù)據(jù)，尋找某一個(gè)函數(shù)k(x)去逼近f(x)。若要求k(x)在xi處與f(xi)相等，就稱這樣的函數(shù)逼近問題為插值問題，稱k(x)為f(x)的插值函數(shù)，xi稱為插值節(jié)點(diǎn)。也就是說，k(x)在n個(gè)插值節(jié)點(diǎn)xi處與f(xi)相等，而在別處就用k(x)近似的代替f(x)。在曲線曲面中最常用到的是線性插值和拋物線插值。,線性插值,給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2的值，y1=f(

7、x1)，y2=f(x2)，現(xiàn)要求用一線性函數(shù)：y=k(x)=ax+b，近似替代y=f(x)。,x1,y,o,x,x2,y2,y1,y=f(x),y=k(x),線性插值,選擇線性函數(shù)的系數(shù)a,b，使得k(x1)=y1，k(x2)=y2，稱k(x)為f(x)的線性插值函數(shù)；,Q01,s,r,t,P00,x,P01,P10,Q11,拋物線插值,拋物線插值又稱為二次插值。設(shè)已知f(x)在三個(gè)互異點(diǎn)x1,x2,x3的函數(shù)值為y1,y2,y3，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù) ，使k(x)在節(jié)點(diǎn)xi處與f(x)相等。根據(jù)x1,x2,x3求出a,b,c，便構(gòu)造了k(x)插值函數(shù)。,x,x1,x3,x2,y1,y1,y1,o,y,

8、y=f(x),y=k(x),(2) 逼近,當(dāng)型值點(diǎn)太多時(shí)，構(gòu)造插值函數(shù)使其通過所有的型值點(diǎn)是相當(dāng)困難的；同時(shí)，也沒有必要尋找一個(gè) 插值函數(shù)通過所有的型值點(diǎn)； 解決的辦法通常是尋找一個(gè)次數(shù)較低的函數(shù)，從某種意義上最佳的逼近這些型值點(diǎn)； 逼近的方法有很多，最常采用的有最小二乘法；,最小二乘法解決逼近問題,設(shè)已知型值點(diǎn)為(xi,yi)(i=1,2,n)，現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)m(mn-1)次多項(xiàng)式函數(shù)y=F(x)逼近這些型值點(diǎn)； 逼近的好壞可用各點(diǎn)偏差的加權(quán)平方和衡量：,令F(x)為一個(gè)m次多項(xiàng)式， 使得偏差平方和 達(dá)到最小；,最小二乘法解決逼近問題,根據(jù)求極值問題的方法可知，使 達(dá)到極小的 (j=0,1,m)

9、必須滿足下列方程組：,若令 ；則可得方程組：,這里有m+1個(gè)方程，可以解出m+1個(gè)系數(shù)未知數(shù)a0,a1,am，代入定義即可求出多項(xiàng)式F(x)逼近已知的n個(gè)型值點(diǎn)；,(3) 光順,光順通俗的幾何含義是曲線的拐點(diǎn)不能太多，曲線拐來拐去，就會不順眼； 對于平面曲線，相對光順的條件是： 曲線具有二階幾何連續(xù)性 ； 不存在多余拐點(diǎn)； 曲線的曲率變化較??；,注： 拐點(diǎn)：曲線由增變減或由減變增的轉(zhuǎn)折點(diǎn)；,(4) 擬合,擬合不象插值、逼近、光順那樣有完整的數(shù)學(xué)和公式定義； 擬合是指在曲線、曲面的設(shè)計(jì)過程中，用插值、逼近的辦法，使生成的曲線、曲面達(dá)到某些設(shè)計(jì)的要求，如使曲線通過型值點(diǎn)、控制點(diǎn)，使曲線“光滑”，“

10、光順”等；,2.4 參數(shù)曲線的代數(shù)形式和幾何形式,參數(shù)曲線的表示有代數(shù)形式和幾何形式兩種； 考慮一條三次參數(shù)曲線，代數(shù)形式表示如下：,也可以將上述代數(shù)式寫成矢量的形式：,在上式中，P(t)表示曲線上任意一點(diǎn)的位置矢量，ai (i=0,3)是代數(shù)系統(tǒng)矢量,幾何形式表示,對于空間曲線，可用于描述曲線的信息有：端點(diǎn)坐標(biāo)、切矢量、曲率等，用這些幾何信息描述的參數(shù)曲線稱為參數(shù)曲線的幾何形式； 對三次參數(shù)曲線，用其端點(diǎn)位置矢量P(0)、P(1)和切矢量P(0)、P(1)描述，簡記為：P0、P1、P0和P1 ，得,幾何形式表示,現(xiàn)令：,則上式可以簡化為：,上式是三次Hermite曲線的幾何形式，P0、P1、

11、P0和P1稱為幾何系數(shù)， 稱為調(diào)和函數(shù)（或混合函數(shù)）,2.5 調(diào)和函數(shù),構(gòu)造參數(shù)曲線的不同已知條件，可以得到不同的調(diào)和函數(shù)； 對于Hermite參數(shù)曲線，調(diào)和函數(shù)的作用是通過端點(diǎn)及其切矢量產(chǎn)生整個(gè)t值范圍內(nèi)的其余各點(diǎn)列的坐標(biāo)，并且只與參數(shù)t有關(guān)；,2.6曲線段的連續(xù)性定義,曲線間連接的光滑度的度量有兩種： 函數(shù)的可微性：組合參數(shù)曲線在連接處具有直到n階連續(xù)導(dǎo)矢，即n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為 或 n階參數(shù)連續(xù)性。 幾何連續(xù)性：組合曲線在連接處滿足不同于的某一組約束條件，稱為具有n階幾何連續(xù)性，簡記為 ;,曲線光滑度的兩種方法并不矛盾，參數(shù)連續(xù)性 包含在幾何連續(xù)性 當(dāng)中；,曲線段的連續(xù)性,設(shè)有

12、兩條曲線P(t)和Q(t), 若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)或 連續(xù)，即兩曲線在結(jié)合處位置連續(xù)： 若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)，就是說兩條曲線在結(jié)合處在滿足 連續(xù)的條件下，并有公共的切矢量 當(dāng)a1時(shí)， 連續(xù)就成為 連續(xù)；,曲線段的連續(xù)性,若P和Q在連接處已有 連續(xù)性且曲率的大小和方向均相等，及 ，則P和Q在連接處具有 連續(xù)；推廣之，若 ，則P和Q在連接處具有 連續(xù)； 若P和Q在連接處已有 連續(xù)性且曲率的方向相等、大小不相等，則說P和Q在連接處具有 連續(xù)；,3. Bzier曲線和曲面,由于幾何外形設(shè)計(jì)的要求越來越高,傳統(tǒng)的曲線曲面表示方法, 已不能滿足用戶的需求。1962年，法國雷諾汽車公司的P.E.Be

13、zier構(gòu)造了一種以逼近為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線和曲面的設(shè)計(jì)方法，并用這種方法完成了一種稱為UNISURF的曲線和曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)，1972年，該系統(tǒng)被投入了應(yīng)用。Bezier方法將函數(shù)逼近同幾何表示結(jié)合起來，使得設(shè)計(jì)師在計(jì)算機(jī)上就象使用作圖工具一樣得心應(yīng)手。,Bzier曲線的定義和性質(zhì),定義 給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），則下列參數(shù)曲線稱為n次Bezier曲線： Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)，定義為： 其中，Pi構(gòu)成該Bezier曲線P(t)的特征多邊形，P0,P1.Pn稱為P(t)的控制頂點(diǎn)；,Bezier曲線示例,Bezier曲線P(t)與其控制多邊形的關(guān)系

14、可以這樣認(rèn)為：控制多邊形P0P1Pn是P(t)的大致形狀的勾畫；P(t)是對P0P1Pn的逼近；,Bernstein基函數(shù)性質(zhì),1：正性 2：端點(diǎn)性質(zhì) 3：權(quán)性,Bernstein基函數(shù)性質(zhì),4：對稱性 這是因?yàn)椋?5：遞推性 即高一次的Bernstein基函數(shù)可由兩個(gè)低一次的Bernstein調(diào)和函數(shù)線性組合而成。這是因?yàn)椋?Bernstein基函數(shù)性質(zhì),6：導(dǎo)函數(shù),Bezier曲線的性質(zhì),1.端點(diǎn)的位置： 由Bernstein基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)可以推得，當(dāng)t=0時(shí)，P(0)=P0 ；當(dāng)t=1時(shí)，P(1)=Pn。由此可見，Bezier曲線的起點(diǎn)、終點(diǎn)與相應(yīng)的特征多邊形的起點(diǎn)、終點(diǎn)重合。,Bez

15、ier曲線的性質(zhì),2：端點(diǎn)的切向量 所以當(dāng)t=0時(shí)，P(0)=n(P1-P0)， 當(dāng)t=1時(shí)，P(1)=n(Pn-Pn-1)， 這說明Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。,Bezier曲線的性質(zhì),3：端點(diǎn)的曲率 當(dāng)t=0時(shí)， 當(dāng)t=1時(shí)， 上式表明：2階導(dǎo)矢只與相鄰的3個(gè)頂點(diǎn)有關(guān)，事實(shí)上，r階導(dǎo)矢只與（r+1）個(gè)相鄰點(diǎn)有關(guān)，與更遠(yuǎn)點(diǎn)無關(guān)。 根據(jù)曲率公式： 得,Bezier曲線的性質(zhì),4：凸包性 由于 所以當(dāng)t在0，1區(qū)間變化時(shí)，對某一個(gè)t值，P(t)是特 征多邊形各頂點(diǎn)的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是 。在 幾何圖形上，意味著Bezier曲線P(t)在 中各點(diǎn)是 控制點(diǎn)Pi的凸線性組合，即曲線落在Pi構(gòu)成的凸包之 中，,Bezier曲線的性質(zhì),5：幾何不變性 這是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn)Pi (i=0,1n) 的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇，即有： （變量u是t的置換）,事實(shí)上， 上式的力學(xué)意義是P(t)可作為各點(diǎn)Pi處的重量為 的力學(xué)系統(tǒng)的中心。中心的位置是不依賴于任何坐標(biāo)系的。,Bezier曲線的性質(zhì),6：保凸性 如果平面上的凸控制多邊形能導(dǎo)致所產(chǎn)生的曲線為凸曲