2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第二單元 圓錐曲線與方程 2.2.2 雙曲線的幾何性質(zhì)教學(xué)案 新人教B版選修1-1

1、22.2雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的幾何性質(zhì)，如范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率等.2.能用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.3.能區(qū)別橢圓與雙曲線的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的幾何性質(zhì)類(lèi)比橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合圖象得到雙曲線的幾何性質(zhì)如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：_對(duì)稱(chēng)中心：_對(duì)稱(chēng)軸：_對(duì)稱(chēng)中心：_頂點(diǎn)坐標(biāo)漸近線yxyx離心率e，e(1，)知識(shí)點(diǎn)二雙曲線的離心率思考1如何求雙曲線的漸近線方程？思考2橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫(huà)橢圓的扁平程度，在雙曲線中，雙曲線的“張口”大小是圖象的一個(gè)重要特征，怎樣描述雙曲線的“張口”大小呢？梳理雙曲線的半焦距

2、c與實(shí)半軸a的比叫做雙曲線的，其取值范圍是_e越大，雙曲線的開(kāi)口_類(lèi)型一已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其簡(jiǎn)單性質(zhì)例1求雙曲線9y24x236的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程反思與感悟由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值(3)由c2a2b2求出c值，從而寫(xiě)出雙曲線的幾何性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練1求雙曲線9y216x2144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程類(lèi)型二由雙曲線的幾何性質(zhì)確定標(biāo)準(zhǔn)方程例2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)虛軸長(zhǎng)為12，離心率為；(2)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程

3、為yx；(3)求與雙曲線x22y22有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)M(2，2)的雙曲線方程反思與感悟(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：確定或分類(lèi)討論雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；根據(jù)已知條件或幾何性質(zhì)列方程，求待定系數(shù)；求出a，b，寫(xiě)出方程(2)與雙曲線1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(0，b2a2)與雙曲線1具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(0)漸近線為axby0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2b2y2(0)跟蹤訓(xùn)練2求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)一個(gè)焦點(diǎn)為(0,13)，且離心率為；(2)雙曲線過(guò)點(diǎn)(3,9)，離心率e；(3)漸近線方程為yx，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，3)類(lèi)型三與雙曲線有關(guān)的離心率

4、問(wèn)題例3分別求適合下列條件的雙曲線的離心率(1)雙曲線的漸近線方程為yx；(2)雙曲線1(0ab)的半焦距為c，直線l過(guò)(a,0)，(0，b)兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為c.反思與感悟求雙曲線的離心率，通常先由題設(shè)條件得到a，b，c的關(guān)系式，再根據(jù)c2a2b2，直接求a，c的值而在解題時(shí)常把或視為整體，把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的方程，解方程求之，從而得到離心率的值在本題的(2)中，要注意條件0a0，b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，PQ是經(jīng)過(guò)F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，如果PF2Q90，求雙曲線的離心率類(lèi)型四直線與雙曲線的位置關(guān)系例4已知直線yax1與雙曲線3x2y21.(1)如果直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a

5、的取值范圍；(2)如果直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍；(3)如果直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍反思與感悟直線與雙曲線的位置關(guān)系問(wèn)題的求解要注意常用方法的應(yīng)用，即將直線方程代入雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到一元二次方程，這個(gè)方程的根就是直線與雙曲線交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)利用根與系數(shù)的關(guān)系可以解決有關(guān)弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、軌跡等問(wèn)題(1)直線與雙曲線的位置的判斷方法直線與雙曲線位置關(guān)系的判定有時(shí)通過(guò)聯(lián)立方程組求解，有時(shí)也要結(jié)合圖形進(jìn)行求解聯(lián)立消去y，得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.當(dāng)b2a2k20時(shí)，式為一次方程，僅有一解，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，

6、相交；當(dāng)b2a2k20時(shí)，若0，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交；若0，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，相切；若0)與直線l：xy1相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求雙曲線C的離心率e的取值范圍1雙曲線2x2y28的實(shí)軸長(zhǎng)是()A2 B2C4 D42設(shè)雙曲線1的漸近線方程為3x2y0，則a的值為()A4 B3C2 D13已知雙曲線1(a0)的右焦點(diǎn)為(3,0)，則雙曲線的離心率等于()A. B.C. D.4設(shè)雙曲線1(a0，b0)的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)5若雙曲線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，兩頂點(diǎn)的距離為8，離心率是，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，兩方程聯(lián)系密切，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

7、程1(a0，b0)右邊的常數(shù)“1”換為“0”，就是漸近線方程反之由漸近線方程axby0變?yōu)閍2x2b2y2，再結(jié)合其他條件求得就可得雙曲線方程2準(zhǔn)確畫(huà)出幾何圖形是解決解析幾何問(wèn)題的第一突破口對(duì)圓錐曲線來(lái)說(shuō)，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)利用雙曲線的漸近線來(lái)畫(huà)雙曲線特別方便，而且較為精確，只要作出雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)和兩條漸近線，就能畫(huà)出它的近似圖形答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一xa或xaya或ya坐標(biāo)軸原點(diǎn)坐標(biāo)軸原點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)知識(shí)點(diǎn)二思考1將方程1(a0，b0)右邊的“1”換成“0”，即由0得0，如圖，作直線0，在雙曲線1的各支向外延伸時(shí)，與兩直線逐漸接近，把

8、這兩條直線叫做雙曲線的漸近線思考2雙曲線1的各支向外延伸逐漸接近漸近線，所以雙曲線的“張口”大小取決于的值，設(shè)e，則.當(dāng)e的值逐漸增大時(shí)，的值增大，雙曲線的“張口”逐漸增大梳理離心率(1，)越開(kāi)闊題型探究例1解將9y24x236變形為1，即1，所以a3，b2，c，因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，(3,0)；焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)；實(shí)軸長(zhǎng)是2a6，虛軸長(zhǎng)是2b4；離心率e；漸近線方程為yxx.跟蹤訓(xùn)練1解把方程9y216x2144化為標(biāo)準(zhǔn)方程1.由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a4，虛半軸長(zhǎng)b3；c5，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，5)，(0,5)；離心率e；漸近線方程為yx.例2解(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(a0，

9、b0)由題意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)設(shè)以yx為漸近線的雙曲線方程為(0)當(dāng)0時(shí)，a24，2a26；當(dāng)0)，則c210k，b2c2a2k.設(shè)所求雙曲線方程為1或1.將(3,9)代入，得k161，與k0矛盾，無(wú)解；將(3,9)代入，得k9.故所求雙曲線方程為1.(3)方法一雙曲線的漸近線方程為yx，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則.A(2，3)在雙曲線上，1.聯(lián)立，無(wú)解若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，則.A(2，3)在雙曲線上，1.聯(lián)立，解得a28，b232.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二由雙曲線的漸近線方程為yx，可設(shè)雙曲線方程為y2(0)A(2，3)在雙曲線上，(3)2，即8.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.例3解(1)若焦點(diǎn)在x軸上，則，e ；若焦點(diǎn)在y軸上，則，即，e .綜上可知，雙曲線的離心率為或.(2)依題意，直線l：bxayab0.由原點(diǎn)到l的距離為c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，3()21030.解得或3.又0a0，且3a20，得a且a.故當(dāng)a或a或a0)中，得(1a2)x22a2x2a20.因?yàn)殡p曲線C與直線l相交于不同兩點(diǎn)，所以解得0a且e