2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)疑難規(guī)律方法學(xué)案北師大版選修1

1、第一章 常用邏輯用語(yǔ)1解邏輯用語(yǔ)問(wèn)題的三絕招1化為集合理清關(guān)系 充分(必要)條件是高中學(xué)段的一個(gè)重要概念，并且是理解上的一個(gè)難點(diǎn)要解決這個(gè)難點(diǎn)，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來(lái)，看得見(jiàn)、想得通，才是最好的方法本節(jié)使用集合模型對(duì)充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋?zhuān)瑢?shí)踐證明效果較好集合模型解釋如下：A是B的充分條件，即AB.(如圖1)A是B的必要條件，即BA.(如圖2)A是B的充要條件，即AB.(如圖3)圖1 圖2圖3A是B的既不充分又不必要條件，即AB或A、B既有公共元素也有非公共元素或例1“x23x20”是“x1”的_條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必

2、要”)解析設(shè)命題p：“x23x20”，q：“x1”對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，則Ax|x1或x2，Bx|x1，顯然“AB，BA”，因此“x23x20”是“x1”的既不充分又不必要條件答案既不充分又不必要2抓住量詞對(duì)癥下藥全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題是兩類(lèi)特殊的命題，這兩類(lèi)命題的否定又是這部分內(nèi)容中的重要概念，解決有關(guān)此類(lèi)命題的題目時(shí)一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，理解其相應(yīng)的含義，從而對(duì)癥下藥例2(1)已知命題p：“任意x1,2，x2a0”，與命題q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)(2)已知命題p：“存在x1,2，x2a0”與命題q：“存在xR，x22ax2a0”都是真命題，

3、則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析(1)將命題p轉(zhuǎn)化為“當(dāng)x1,2時(shí)，(x2a)min0”，即1a0，即a1.命題q：即方程有解，(2a)24(2a)0，解得a1或a2.綜上所述，a1.(2)將命題p轉(zhuǎn)化為當(dāng)x1,2時(shí)，(x2a)max0，即4a0，即a4.命題q同(1)綜上所述a1或2a4.答案(1)(，1(2)(，12,4點(diǎn)評(píng)認(rèn)真比較兩題就會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩題形似而神異，所謂失之毫厘，謬之千里，需要我們抓住這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)量詞，有的放矢3等價(jià)轉(zhuǎn)化提高速度在四種命題的關(guān)系、充要條件、簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱(chēng)量詞與存在量詞中，時(shí)時(shí)刻刻滲透著等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，例如互為逆否命題的兩個(gè)命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題

4、)一定同真或同假，它們就是等價(jià)的；但原命題與逆命題不等價(jià)，即原命題為真，其逆命題不一定為真例3設(shè)p：q：x2y2r2 (r0)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍分析“q是綈p的充分不必要條件”等價(jià)于“p是綈q的充分不必要條件”設(shè)p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，則可由ARB出發(fā)解題解設(shè)p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標(biāo)系中，則點(diǎn)集A表示平面區(qū)域，點(diǎn)集RB表示到原點(diǎn)距離大于r的點(diǎn)的集合，即圓x2y2r2外的點(diǎn)的集合ARB表示區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于r，直線3x4y120上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于r，原點(diǎn)O到直線3x4y120的距離d，r的取值范圍為0r0)在p：所

5、對(duì)應(yīng)的區(qū)域的外部，也是可以解決的但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法2命題的否定與否命題辨與析否命題與命題的否定是邏輯關(guān)系中的兩個(gè)相似知識(shí)點(diǎn)，但又有著本質(zhì)的區(qū)別，應(yīng)注意弄清它們的區(qū)別和正確表述，下面從以下兩個(gè)方面來(lái)看一下它們的區(qū)別1否命題與命題的否定的概念設(shè)命題“若A，則B”為原命題，那么“若綈A，則綈B”為原命題的否命題，“若A，則綈B”為原命題的否定所以從概念上看“否命題”是對(duì)原命題的條件和結(jié)論同時(shí)否定后得到的新命題，而且否定的條件仍為條件，否定的結(jié)論仍為結(jié)論“命題的否定”是對(duì)原命題結(jié)論的全盤(pán)否定，即“命題的否定”與

6、原命題的條件相同，結(jié)論相反例1寫(xiě)出下列命題的否命題及否定：(1)若|x|y|0，則x，y全為0；(2)函數(shù)yxb的值隨x的增加而增加分析問(wèn)題(1)直接依據(jù)格式寫(xiě)出相應(yīng)的命題；問(wèn)題(2)先改寫(xiě)成“若A，則B”的形式，然后再寫(xiě)出相應(yīng)的命題解(1)原命題的條件為“|x|y|0”，結(jié)論為“x，y全為0”寫(xiě)原命題的否命題需同時(shí)否定條件和結(jié)論，所以原命題的否命題為“若|x|y|0，則x，y不全為0”寫(xiě)原命題的否定只需否定結(jié)論，所以原命題的否定為“若|x|y|0，則x，y不全為0”(2)原命題可以改寫(xiě)為“若x增加，則函數(shù)yxb的值也隨之增加”否命題為“若x不增加，則函數(shù)yxb的值也不增加”；命題的否定為“若

7、x增加，則函數(shù)yxb的值不增加”2否命題與命題的否定的真假?gòu)拿}的真假上看，原命題與其否命題的真假?zèng)]有必然的關(guān)系，原命題為真，其否命題可能為真，也可能為假；原命題為假，其否命題可能為真，也可能為假但是原命題與其否定的真假必相反，原命題為真，則其否定為假；原命題為假，則其否定為真這也可以作為檢驗(yàn)寫(xiě)出的命題是否正確的標(biāo)準(zhǔn)例2寫(xiě)出下列命題的否命題與命題的否定，并判斷原命題、否命題和命題的否定的真假：(1)若x24，則2x0且n0，則mn0.分析依據(jù)定義分別寫(xiě)出否命題與命題的否定根據(jù)不等式及方程的性質(zhì)逐個(gè)判斷其真假解(1)否命題：“若x24，則x2或x2”命題的否定：“若x20且n0，則mn0”由不等

8、式的性質(zhì)可以知道，原命題為真，否命題為假，命題的否定為假.3走出邏輯用語(yǔ)中的誤區(qū)誤區(qū)1所有不等式、集合運(yùn)算式都不是命題例1判斷下列語(yǔ)句是不是命題，若是命題，判斷其真假(1)x20；(2)x220；(3)ABAB；(4)AAB.錯(cuò)解(1)、(2)、(3)、(4)都不是命題剖析(1)中含有未知數(shù)x，且x不定，所以x2的值也不定，故無(wú)法判斷x20是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題；(2)x雖為未知數(shù)，但x20，所以x222，故可判斷x220成立，故(2)為真命題(3)若AB，則ABABAB；若AB，則ABAABB.由于A，B的關(guān)系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題(4)A為AB的子集

9、，故AAB成立，故(4)為真命題正解(2)、(4)是命題，且都為真命題誤區(qū)2原命題為真，其否命題必為假例2判斷下列命題的否命題的真假：(1)若a0，則ab0；(2)若a2b2，則ab.錯(cuò)解(1)因?yàn)樵}為真命題，故其否命題是假命題；(2)因?yàn)樵}為假命題，故其否命題為真命題剖析否命題的真假與原命題的真假?zèng)]有關(guān)系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來(lái)判斷，應(yīng)先寫(xiě)出命題的否命題，再判斷正解(1)否命題為：若a0，則ab0，是假命題；(2)否命題為：若a2b2，則ab，是假命題誤區(qū)3搞不清誰(shuí)是誰(shuí)的條件例3使不等式x30成立的一個(gè)充分不必要條件是()Ax3 Bx4Cx2 Dx1,2,3錯(cuò)解由不等式x

10、30成立，得x3，顯然x3x2，又x2D/x3，因此選C.剖析若p的一個(gè)充分不必要條件是q，則qp，pD/q.本題要求使不等式x30成立的一個(gè)充分不必要條件，又x4x30，而x30D/x4，所以使不等式x30成立的一個(gè)充分不必要條件為x4.正解B誤區(qū)4用“且”“或”聯(lián)結(jié)命題時(shí)只聯(lián)結(jié)條件或結(jié)論例4(1)已知p：方程(x11)(x2)0的根是x11；q：方程(x11)(x2)0的根是x2，試寫(xiě)出“p或q”(2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個(gè)角相等的四邊形是正方形，試寫(xiě)出“p且q”錯(cuò)解(1)p或q：方程(x11)(x2)0的根是x11或x2.(2)p且q：四條邊相等且四個(gè)角相等的四邊形是正

11、方形剖析(1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“p或q”，“p且q”也都應(yīng)是假命題而上述解答中寫(xiě)出的兩命題卻都是真命題錯(cuò)誤原因是：(1)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的結(jié)論；(2)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的條件正解(1)p或q：方程(x11)(x2)0的根是x11或方程(x11)(x2)0的根是x2.(2)p且q：四條邊相等的四邊形是正方形且四個(gè)角相等的四邊形是正方形誤區(qū)5不能正確否定結(jié)論例5p：方程x25x60有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試寫(xiě)出“綈p”錯(cuò)解綈p：方程x25x60有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根剖析命題p的結(jié)論為“有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，所以“綈p”應(yīng)否定“有”，而不能否定“相等”正解綈p：方程x25x60沒(méi)有兩個(gè)相等

12、的實(shí)數(shù)根誤區(qū)6對(duì)含有一個(gè)量詞的命題否定不完全例6已知命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2x20，寫(xiě)出綈p.錯(cuò)解一綈p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2x20.錯(cuò)解二綈p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有x2x20，q：x22x1a20，若p是q的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍分析將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為集合運(yùn)算問(wèn)題解解不等式x28x200，得p：Ax|x10或x0，得q：Bx|x1a或x0依題意pq，但qD/p，說(shuō)明AB.于是有或，解得01a2，即q真a2.由p或q為真命題，p且q為假命題，知命題p，q中必有一真一假若p真q假，則無(wú)解；若p假q真，則1a2.故滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2)答案(1,2)點(diǎn)評(píng)若命題“p或q”“p且q”中含有參數(shù)，求解時(shí)，可以先等價(jià)轉(zhuǎn)化命題p，q，直至求出這兩個(gè)命題為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，再依據(jù)“p或q”“p且q”的真假情況確定參數(shù)的取值范圍3反例意識(shí)在“邏輯”中，經(jīng)常要對(duì)一個(gè)命題的真假(尤其是假)作出判斷，若直接從正面判斷一個(gè)命題是假命題不