2017-2018版高中數(shù)學第一章數(shù)列3.2等比數(shù)列的前n項和(二)學案北師大版必修5

1、3.2等比數(shù)列的前n項和(二)學習目標1.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式的有關(guān)性質(zhì)解題.2.會用錯位相減法求和知識點一等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征思考若數(shù)列an的前n項和Sn2n1，那么數(shù)列an是不是等比數(shù)列？若數(shù)列an的前n項和Sn2n11呢？梳理當公比q1時，設(shè)A，等比數(shù)列的前n項和公式是SnA(qn1)當公比q1時，因為a10，所以Snna1，Sn是n的正比例函數(shù)知識點二等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)思考若等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列嗎？梳理等比數(shù)列an前n項和的三個常用性質(zhì)(1)數(shù)列an為公比不為1的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，則Sn，S2nSn，S

2、3nS2n仍構(gòu)成等比數(shù)列(2)若an是公比為q的等比數(shù)列，則SnmSnqnSm(n，mN)(3)若an是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則在其前2n項中，q；在其前2n1項中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1)知識點三錯位相減法思考在上一節(jié)，我們是如何求公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和Sna1a2an的？梳理如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是公比不為1的等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和時，一般使用如下方法：Sna1b1a2b2anbn，qSna1b1qa2b2qanbnq a1b2a2b3anbn1，得(1q)Sna1b1(a2a1)b2(a3a2)b

3、3(anan1)bnanbn1a1b1d(b2b3bn)anbn1a1b1danbn1，Snd.上述方法稱為“錯位相減法”類型一等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征應(yīng)用例1已知數(shù)列an的前n項和Snan1(a是不為零且不等于1的常數(shù))，則數(shù)列an()A一定是等差數(shù)列B一定是等比數(shù)列C是等差數(shù)列或等比數(shù)列D既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列反思與感悟(1)已知Sn，通過an求通項an，應(yīng)特別注意n2時，anSnSn1.(2)若數(shù)列an的前n項和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，則an是等比數(shù)列跟蹤訓練1若an是等比數(shù)列，且前n項和為Sn3n1t，則t_.類型二等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)命題角度1連續(xù)n項之和

4、問題例2已知等比數(shù)列前n項，前2n項，前3n項的和分別為Sn，S2n，S3n，求證：SSSn(S2nS3n)反思與感悟處理等比數(shù)列前n項和有關(guān)問題的常用方法：(1)運用等比數(shù)列的前n項和公式，要注意公比q1和q1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元(2)靈活運用等比數(shù)列前n項和的有關(guān)性質(zhì)跟蹤訓練2在等比數(shù)列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.命題角度2不連續(xù)n項之和問題例3已知等比數(shù)列an的公比q，則等于()A3 BC3 D.反思與感悟注意觀察序號之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)解題契機；整體思想能使問題解決過程變得簡潔明快跟蹤訓練3設(shè)數(shù)列an是以2為首項，1為公差的等

5、差數(shù)列；數(shù)列bn是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則ba1ba2ba3ba6_.類型三錯位相減法求和例4求數(shù)列的前n項和反思與感悟一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和時，可采用錯位相減法跟蹤訓練4求和：Snx2x23x3nxn (x0)1一個七層的塔，每層所點的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點381盞燈，則底層所點燈的盞數(shù)是()A190 B191 C192 D1932已知等比數(shù)列an的前n項和為Snx3n1，則x的值為()A. B C. D3一個等比數(shù)列的前7項和為48，前14項和為60，則前21項和為()A180 B108 C75 D634在數(shù)列an中

6、，an1can(c為非零常數(shù))，且前n項和為Sn3nk，則實數(shù)k_.1一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列anbn的前n項和時，可采用錯位相減的方法求和2等比數(shù)列中用到的數(shù)學思想：(1)分類討論的思想：利用等比數(shù)列前n項和公式時要分公比q1和q1兩種情況討論；研究等比數(shù)列的單調(diào)性時應(yīng)進行討論：當a10，q1或a10,0q1時為遞增數(shù)列；當a11或a10,0q1時為遞減數(shù)列；當q0且q1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系；等比數(shù)列前n項和Sn(qn1)(q1)設(shè)A，則SnA(qn1)也與指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，常把qn，當成整體求解答案精析問題導學

7、知識點一思考當Sn2n1時，annN，是等比數(shù)列；當Sn2n11時，annN，不是等比數(shù)列知識點二思考設(shè)an的公比為q，則Sna1a2an，S2nSnan1an2a2na1qna2qnanqnqnSn，S3nS2na2n1a2n2a3nan1qnan2qna2nqnqn(S2nSn)，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列，公比為qn.知識點三思考在等式兩端乘以公比，兩式會出現(xiàn)大量的公共項，通過相減消去即可題型探究例1B當n2時，anSnSn1(a1)an1；當n1時，a1a1，滿足上式，an(a1)an1，nN.a，數(shù)列an是等比數(shù)列跟蹤訓練1解析顯然q1，此時應(yīng)有SnA(qn1)，又Sn

8、3nt，t.例2證明方法一設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，首項為a1，當q1時，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)當q1時，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS3n)跟蹤訓練2解因為S2n2Sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn.將代入得64，所以S3n6463.例3Aa2a4a6a8a1qa3qa5qa7qq(a1a3a5a7)3.跟蹤訓練3126解析qan1an2，ban是首項為b2，公比為2的等比數(shù)列ba1ba2ba6272126.例4解