(第1部分)微分方程(簡單模型).ppt

1、微分方程簡單模型,重慶郵電大學 數(shù)理學院,在研究某些實際問題時，經(jīng)常無法直接得到各變量之間的聯(lián)系，問題的特性往往會給出關于變化率的一些關系。利用這些關系，我們可以建立相應的微分方程模型。在自然界以及工程技術領域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以滲透到人口問題以及商業(yè)預測等領域中去，其影響是廣泛的。,當我們描述實際對象的某些特性隨時間（空間）而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預測它的未來形態(tài)、研究它的控制手段時。通常要建立對象的動態(tài)模型。,例 （理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。,從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為mgsin，根據(jù)牛頓第二定律可得

2、：,這是理想單擺應滿足的運動方程,（3.1）是一個兩階非線性方程，不易求解。當很小時，sin，此時，可考察（3.1）的近似線性方程：,由此即可得出,（3.1）的近似方程,例 求平面上過點(1,3)且每點切線斜率為橫坐標2倍的曲線方程.,解: 設所求的曲線方程為,由導數(shù)的幾何意義, 應有,即,又由條件: 曲線過(1,3), 即,于是得,故所求的曲線方程為:,導彈追蹤問題,設位于坐標原點的甲艦向位于x軸上點A(1, 0)處的乙艦發(fā)射導彈，導彈頭始終對準乙艦如果乙艦以最大的速度v0(常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導彈的速度是5v0，求導彈運行的曲線方程乙艦行駛多遠時，導彈將它擊中？,（解析法）,由(

3、1),(2)消去t, 整理得模型:,馬爾薩斯（Malthus）模型,馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率），因而提出了著名的人口指數(shù)增長模型 。,分析與建模：,人口的凈增長率是一個常數(shù)，也就是單位時間內人口增長量與當時人口數(shù)成正比。,設t時刻人口數(shù)為N(t)，t=t0時，N(t0)=N0，,則,這個方程的解為：,馬爾薩斯模型的一個顯著特點：種群數(shù)量翻 一番所需的時間是固定的。,令種群數(shù)量翻一番所需的時間為T，則有：,故,即,Malthus模型,Malthus模型實際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體

4、的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。,所以Malthus模型假設的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應當與人口數(shù)量有關。,Logistic模型,人口凈增長率應當與人口數(shù)量有關，即： r=r(N),r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實際背景，它無法用擬合方法來求 。,為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數(shù)學模型時，總是采用盡可能簡單的方法。,r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進就是引進一次項（競爭項）,(3)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無

5、限增長的種群個體，當種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結果的支持，這就是（3）也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。,對（3）分離變量：,兩邊積分并整理得：,令N(0)=N0，求得：,N(t)的圖形請看右圖,大量實驗資料表明用Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當不錯的。例如，高斯把5只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲

6、以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線： 幾乎完全吻合，見右圖,Malthus模型和Logistic模型的總結,Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程（1）所作的模擬近似方程。前一模型假設了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內稟增長率）。后一模型則假設環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。,用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因

7、，對模型進行修改。,Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數(shù)學模型有相同的微分方程即可。,以前 ，美國原子能委員會把濃縮的放射性廢料裝入密封的圓桶里，然后仍到水深為300英尺的海里。,1 問題（這是一場筆墨官司）:,生態(tài)學家和科學家提出：圓桶是否會在運輸過程中破裂而造成放射性污染？,美國原子能委員會：不會破裂（用實驗證明）。,又有幾位工程師提出：圓桶扔到海洋中時是否會因與海底碰撞而破裂？,美國原子能委員會：決不會。,放射性核廢料處理問題,圓桶與海底的碰撞時的速度會不會超過40英 尺/秒？,若圓桶與海底碰撞時的速度超過40英尺/秒時， 就會因碰撞而破裂。,這幾位工程師通過大量的實驗證明:,通過建立數(shù)學模型來解決這一問題。,一些參數(shù)及假設：,假設圓筒下沉時，所受海水的阻力與其速度成正比，即,受力分析：,x,y,G,f,o,2 建模與求解,根據(jù)牛頓第二定理,可解得：,極限速度為：,將速度 v 看成位置 y 的函數(shù) v(y) ，由于,代入：,其解為：,仍未解出 v 是 y 的顯函數(shù)。,由近似公式,3 結論：,若圓桶與海底的碰撞速度超過40英尺/秒， 會因碰撞而