機(jī)器視覺(jué)應(yīng)用實(shí)例第二章.ppt

1、第二章 空間幾何變換與攝像機(jī)模型,2.1 空間幾何變換 2.2 幾何變換的不變量 2.3 歐式空間的剛體變換 2.4 攝像機(jī)透視投影模型 2.5 攝像機(jī)透視投影近似模型,空間幾何變換與計(jì)算機(jī)視覺(jué)有著密切的關(guān)系，是計(jì)算機(jī)視覺(jué)的重要數(shù)學(xué)工具之一！,2.1 空間幾何變換,空間幾何變換描述的是空間幾何從一種狀態(tài)按照一定的原則轉(zhuǎn)換到另一種狀態(tài),2.1.1 齊次坐標(biāo),齊次坐標(biāo)：所謂齊次坐標(biāo)就是用n+1維矢量表示一個(gè)n維矢量。n維空間中點(diǎn)的位置矢量用非齊次坐標(biāo)表示時(shí)，具有n個(gè)坐標(biāo)分（P1,P2,.,Pn)，且是唯一的。若用齊次坐標(biāo)表示時(shí)，此矢量有n+1個(gè)坐標(biāo)矢量（hP1,hP2,.,hPn,h)，且不是唯一

2、。,例：若二維點(diǎn)（x,y）的齊次坐標(biāo)表示為（hx,hy,h）,則（h1x,h1y,h1)，(h2x,h2y,h2)，.，（hmx,hmy,hm)都表示二維空間中同一點(diǎn)（x,y)的齊次坐標(biāo)。,為什么要使用齊次坐標(biāo)？,齊次坐標(biāo)的優(yōu)越性有以下兩點(diǎn)：,1、提供了用矩陣運(yùn)算二維、三維甚至高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效方法。,2、可以表示無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。,例：n+1維中，h=0的齊次坐標(biāo)實(shí)際上表示了一個(gè)n維的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。,2.1.2 射影變換（projective transformation),射影變換是一個(gè)最為廣義的線性變換,一維射影變換如右圖所示：過(guò)O點(diǎn)的直線束分別交直線L1與L2于

3、A,B,C,D和A,B,C,D。對(duì)于L1上的任意一點(diǎn)，例如，點(diǎn)A，總可以在L2上找到與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，A為OA射線與L2的交點(diǎn)。當(dāng)OA與L2平行時(shí)，則定義OA與 L2的交點(diǎn)A為L(zhǎng)2上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。,實(shí)際上這種幾何關(guān)系給出了L1與L2之間的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的變換，稱之為一維中心射影變換。,以上兩個(gè)中心射影變換的積就表示了L1到L3之間的變換關(guān)系，于是我們就稱由有限次中心射影變換的積定義的兩條直線間的一一對(duì)應(yīng)變換為一維射影變換。,同樣，L2上的點(diǎn)列A,B,C,D又可以通過(guò)以另一點(diǎn)O為中心的一維中心射影變換為L(zhǎng)3上的點(diǎn)列A,B,C,D。,n維射影空間的射影變換可以用代數(shù)式表示為y=TPx，其中，為一比例因子

4、，x與y分別為變換前后空間店的齊次坐標(biāo)，x=(x1,x2,.,xn+1)T，y=(y1,y2,.,yn+1)T,TP為滿秩的（n+1)(n+1)矩陣。攝影變換由TP矩陣決定，矩陣TP有（n+1)2個(gè)參數(shù)，但TP與kTP表示同一變換（因等式兩邊都是齊次坐標(biāo)），故TP的獨(dú)立參數(shù)為（n+1)21。,以一維射影變換為例寫出上述變換：,由該式得：,射影變換中用非齊次坐標(biāo)表示的關(guān)系是非線性的。,如右圖所示,在三維射影空間，射影變換矩陣Tp可以表示為：,式中，Tp為44可逆矩陣，它有16個(gè)參數(shù)，但可以用一個(gè)非零的比例因子歸一，因此有15個(gè)自由度。,仿射變換是射影變換的特例，在射影變換中，當(dāng)射影中心平面變?yōu)闊o(wú)

5、限遠(yuǎn)處時(shí)，射影變換就變成了仿射變換。如圖所示：,2.1.3 仿射變換（affine transformation),同樣，以一維仿射變換為例寫出上述變換,將以上兩式相除得到變化前后點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)關(guān)系：,由上式得：,可以看出用非齊次坐標(biāo)表示的射影變換為非線性變換，而仿射變換為線性變換。,三維仿射空間，仿射變換矩陣可以表示為：,用其次坐標(biāo)，上式可重新寫成y=TAx，其中仿射變換矩陣TA可以表示為：,仿射變換有12個(gè)自由度。,2.1.4 比例變換（metric transformation),比例變換是帶有一比例因子的歐氏變換。比例變換不改變物體空間的形狀，只是改變大小，所以有時(shí)將比例變換稱為相似變

6、換。,在三維比例空間中其變換形式可表示為：,是比例因子，稱為縮放因子。,用齊次坐標(biāo)，上式可重新寫成y=TMx，其中比例變換矩陣TM可以表示為：,rij組成了一個(gè)正交矩陣。它是一旋轉(zhuǎn)矩陣，該旋轉(zhuǎn)矩陣有3個(gè)自由度。,比例變換有7個(gè)自由度，其中3個(gè)旋轉(zhuǎn)，3個(gè)平移和1個(gè)比例因子。,2.1.5 歐氏變換（Euclidean transformation),歐氏變換是在歐式空間進(jìn)行的變換，與比例變換很類似，只是比例因子取為1。歐氏變換代表了在歐式空間中的剛體運(yùn)動(dòng)或剛體變換。,在三維歐式空間其變換形式為：,rij組成了一個(gè)正交矩陣。它是一旋轉(zhuǎn)矩陣，該旋轉(zhuǎn)矩陣有3個(gè)自由度。,用齊次坐標(biāo)，上式可重新寫成y=TE

7、x，其中歐氏變換矩陣TE可以表示為：,歐氏變換有6個(gè)自由度，其中3個(gè)旋轉(zhuǎn)，3個(gè)平移。,2.1 幾何變換的不變量,上節(jié)所講的空間幾何變換中，某些幾何特性在變換前后具有不變化的特性，這樣的特性或特征量稱為不變特性或不變量。不變量廣泛用于計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的特征點(diǎn)的提取及模式識(shí)別等，在計(jì)算機(jī)視覺(jué)中起著重要作用。,2.2.1 簡(jiǎn)比（simple ratio)與交比(cross ratio),如圖，直線L上三個(gè)點(diǎn)A、B、C，以A、B為基礎(chǔ)點(diǎn)，點(diǎn)C為分點(diǎn)（該點(diǎn)C為內(nèi)分點(diǎn)或外分點(diǎn)），由分點(diǎn)與基礎(chǔ)點(diǎn)所確定的兩個(gè)有向線段之比稱為簡(jiǎn)比，記為 SR(A,B;C)=,一條直線上四個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)簡(jiǎn)比的比值稱為交比，如圖直線L上

8、的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D的交比為：,CR(A,B;C,D)=,對(duì)于上圖中，線束O中任意4條直線的交比稱為線束交比CR(l1,l2;l3,l4),既有：,CR(l1,l2;l3,l4)=,2.2.2 不變量,下面給出各種幾何變換的一些基本且重要的不變形和不變量，在此不做證明。,射影變換不變量和不變性如下：,1、同素性（幾何元素點(diǎn)、線、面等變換后仍保持原先的種類）和接合性是射影不變換性質(zhì)； 2、保持直線上點(diǎn)列的交比不變； 3、保持線束的交比不變； 4、如果平面內(nèi)有一線束的四直線被任一直線所截，則截點(diǎn)列的交比和線束的交比相等； 5、點(diǎn)列交比是射影變換的基本不變量，是射影變換的充分必要條件，且共線四點(diǎn)交

9、比具有如下特性：（如前頁(yè)圖所示）,1) CR(A,B;C,D)=CR(C,D;A,B); 2) CR(A,B;C,D)=CR(B,A;D,C); 3) CR(A,B;C,D)=1/CR(A,B;D,C)=1/CR(B,A;C,D); 4) CR(A,B;C,D)=1CR(A,C;B,D)=1CR(D,B;C,A)。,仿射變換除具有以上射影變換不變性外，還具有如下特性：,仿射變換是攝影變換的特例,1、兩條直線間的平行性是仿射變換的不變換； 2、共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比是仿射變換的基本不變量； 3、兩個(gè)三角形的面積之比是仿射不變量； 4、兩條封閉曲線所圍成的面積之比是仿射不變量。,比例變換不變性：,比例變換

10、除具有仿射變換的不變性外，還保持兩條相交直線的夾角不變，因此，其形狀保持不變。,歐氏變換不變性：,歐氏變換不僅保持兩條相交直線的夾角不變，而且還保持任意兩點(diǎn)的距離不變，因此其形狀和大小均保持不變。,不變量在計(jì)算機(jī)視覺(jué)中有著廣泛應(yīng)用，下面我們來(lái)看一個(gè)交比應(yīng)用于空間平面多邊形識(shí)別的例子：,右圖示出了空間平面多邊形的一種攝影關(guān)系，為清晰起見(jiàn)，空間平面多邊形ABCDEF及其射影多邊形ABCDEF分別重繪如下：,由交比的不變性，有：,CR(P1,P2;P3,P4)=CR(P1,P2;P3,P4),在空間平面中有：,CR(P1,P2;P3,P4)=CR(AB,AE;AC,AD),類似地，在投影平面中，也可

11、以得到：,CR(P1,P2;P3,P4)=CR(AB,AE;AC,AD),于是對(duì)于頂點(diǎn)A及其投影點(diǎn)A，有：,CR(AB,AE;AC,AD)=CR(AB,AE;AC,AD),即由頂點(diǎn)的其他四個(gè)相鄰頂點(diǎn)連線計(jì)算的交比是射影不變的。同理，對(duì)其他頂點(diǎn)也可分別計(jì)算出其交比值，于是得到一個(gè)交比序列。因此，對(duì)于平面多邊形的頂點(diǎn)A,B,C,D,E,F,得到交比序列：,CR=(CRA,CRB,CRC,CRD,CRE,CRF),其維數(shù)為多邊形的頂點(diǎn)數(shù)。另外，多邊形各頂點(diǎn)的凹凸性在射影變換中是不變的。于是，可以把各頂點(diǎn)凹凸性加入到交比序列中，如以正值表示凸頂點(diǎn)，以負(fù)值表示凹頂點(diǎn)，形成該平面多邊形的一個(gè)特征矢量CR。

12、,特征矢量CR反映了空間平面多邊形的結(jié)構(gòu)和形狀，可由投影圖像精確獲得其與視點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，可以作為平面多邊形的一個(gè)不變形狀描述子，能定量地區(qū)分兩個(gè)相似形狀的細(xì)微差別。,2.3 歐氏空間的剛體變換,計(jì)算機(jī)視覺(jué)中，剛體變換通常用于兩個(gè)方面：一是計(jì)算一個(gè)剛體經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移后的新坐標(biāo)，另一是計(jì)算同一個(gè)剛體在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。本節(jié)介紹剛體變換的過(guò)程和旋轉(zhuǎn)矩陣的表示形式。,2.3.1 剛體變換過(guò)程,在歐氏空間當(dāng)物體被看做理想的剛體時(shí)，無(wú)論該物體的位置和方向發(fā)生任意變化，或者是在不同的坐標(biāo)系觀察同一物體，物體的形狀和大小均保持不變，并且都可看成是剛體坐標(biāo)的變換。,如圖，在歐氏空間有一點(diǎn)P，P點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的

13、坐標(biāo)分別是p=(x,y,z)T和p=(x,y,z)T,則有下列變換公式：,p=Rp+t,t=(tx,ty,tz)T是一個(gè)三維向量，稱為平移向量，表示第一個(gè)坐標(biāo)系遠(yuǎn)點(diǎn)在第二個(gè)坐標(biāo)系上的坐標(biāo)。,R是一個(gè)33的正交矩陣且它的行列式值等于一，表示旋轉(zhuǎn)變換。,且有：,該式表明P點(diǎn)在第二個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)p是由其在第一個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)p通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移變換得到的。,旋轉(zhuǎn)矩R有9個(gè)參數(shù)，但并不是互相獨(dú)立的，具有如下特性：,1、RRT=RTR=I,因此R-1=RT; 2、|RU|=|U|; 3、RURV=UV; 4、RURV=R(UV)。,其中，I是33單位矩陣，U和V為兩個(gè)任意的三維向量，| |為向量的模。,因

14、此，R只有3個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即R的9個(gè)元素滿足以下六個(gè)約束條件：,實(shí)際上，式p=Rp+t描述了第一個(gè)坐標(biāo)系到第二個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換過(guò)程，即旋轉(zhuǎn)第一個(gè)坐標(biāo)系，使其方向與第二個(gè)坐標(biāo)系完全一致，然后再將第一個(gè)坐標(biāo)系平移到第二個(gè)坐標(biāo)系的位置上，則兩個(gè)坐標(biāo)系完全重合。,2.3.2 旋轉(zhuǎn)矩陣的表示形式,比較常用的旋轉(zhuǎn)矩陣的表示形式有三種：歐拉角表示法、四元數(shù)表示法和旋轉(zhuǎn)軸表示法，本節(jié)主要介紹前兩種表示法。,1、歐拉角表示法：,如圖：被稱為歐拉角的三個(gè)角度、和能很好描述剛體的旋轉(zhuǎn)變換：繞x軸旋轉(zhuǎn)角（偏轉(zhuǎn)）；繞y軸旋轉(zhuǎn)角（俯仰），繞z軸旋轉(zhuǎn)角（側(cè)傾）。各角度旋轉(zhuǎn)正方向定義為從坐標(biāo)系原點(diǎn)沿各軸正方向觀察時(shí)的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方

15、向。且對(duì)應(yīng)上節(jié)定義的旋轉(zhuǎn)矩陣R，有如下關(guān)系：,用旋轉(zhuǎn)矩陣表示剛體的旋轉(zhuǎn)變換簡(jiǎn)化了許多運(yùn)算，但它需要9個(gè)元素來(lái)完全描述這種旋轉(zhuǎn)變換，比較麻煩。,2、四元數(shù)表示法：,四元數(shù)是一個(gè)四元矢量q=(q1,q2,q3,q4),可用來(lái)描述坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。,如圖所示，對(duì)于二維平面上的單位圓，單位圓的任何一個(gè)位置對(duì)應(yīng)于一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，即極角。聯(lián)想三維空間中的單位球體，任意一個(gè)位置對(duì)應(yīng)于繞x軸和繞y軸旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)角、，但是繞z軸的旋轉(zhuǎn)角卻無(wú)法描述。這時(shí)考慮如果再增加一個(gè)自由度就可以表示所有三個(gè)旋轉(zhuǎn)角，這樣就產(chǎn)生了四維空間的單位球，且定義如下：,三維空間中的所有三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度可以通過(guò)四維單位球上的點(diǎn)來(lái)表示，四維單位球上點(diǎn)的四元坐

16、標(biāo)構(gòu)成了單位四元數(shù)。,一個(gè)旋轉(zhuǎn)可以用兩個(gè)單位四元數(shù)來(lái)表示（q和-q），但是，給定一個(gè)四元數(shù)只對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)旋轉(zhuǎn)。針對(duì)計(jì)算機(jī)視覺(jué)，旋轉(zhuǎn)角一般不超過(guò)，所以可附加條件，保證一個(gè)四元數(shù)的第一個(gè)元素為正。這樣，旋轉(zhuǎn)和四元數(shù)之間就有了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。,用單位四元數(shù)表示剛體變換的旋轉(zhuǎn)矩陣（即上節(jié)定義矩陣R）如下：,其中：,所以：在計(jì)算出單位四元數(shù)之后，就可以利用上式計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣。,剛體變換可以很方便的用七個(gè)元素(q0,q1,q2,q3,q4,q5,q6)表示 ，前四個(gè)量是單位四元數(shù)，后三個(gè)量是平移量。若用R(q)表示對(duì)應(yīng)于單位四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣，則剛體變換式為：,p=R(q)p+(q4,q5,q6)T,2.4 攝

17、像機(jī)透視投影模型,攝像機(jī)通過(guò)成像透鏡將三維場(chǎng)景投影到攝像機(jī)二維平面上，這個(gè)投影可用成像變換描述，即攝像機(jī)成像模型。,2.4.1 圖像坐標(biāo)系、攝像機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系,1、圖像坐標(biāo)系：,攝像機(jī)采集的圖像以標(biāo)準(zhǔn)電視信號(hào)的形式經(jīng)高速圖像采集系統(tǒng)變換為數(shù)字圖像，并輸入計(jì)算機(jī)。,每幅數(shù)字圖像在計(jì)算機(jī)內(nèi)為MN數(shù)組，M行N列的圖像中的每一個(gè)元素(稱為像素，pixel)的數(shù)值即是圖像點(diǎn)的亮度(或稱灰度)。,如圖，在圖像上定義直角坐標(biāo)系u,v，每一像素的坐標(biāo)(u,v)分別是該像素在數(shù)組中的列數(shù)與行數(shù)，所以，(u,v)是以像素為單位的圖像坐標(biāo)系坐標(biāo)。,由于(u,v)只表示像素位于數(shù)組中的列數(shù)與行數(shù)，并沒(méi)有用物理單

18、位表示出該像素在圖像中的位置，因此，需要再建立以物理單位（如mm)表示的圖像坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系以圖像內(nèi)某一點(diǎn)O1為原點(diǎn)，X軸Y軸分別于u,v平行。,原點(diǎn)O1定義在攝像機(jī)光軸與圖像平面的交點(diǎn)，一般位于圖像中心。,其中，(u,v)表示以像素為單位的圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)，(X,Y)表示以mm為單位的圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)。如若O1在u,v坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（u0,v0)，每一個(gè)像素在X軸與Y軸方向上的物理尺寸為dX,dY,則圖像中任意一個(gè)像素在兩個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)有如下關(guān)系：,為使用方便，用齊次坐標(biāo)與矩陣形式將上式表示為：,逆關(guān)系為：,2、攝像機(jī)坐標(biāo)系：,攝像機(jī)幾何關(guān)系如右圖所示，其中O點(diǎn)稱為攝像機(jī)光心，x軸和y軸

19、與圖像的X軸和Y軸平行，z軸為攝像機(jī)光軸，它與圖像平面垂直。光軸與圖像平面的交點(diǎn)，記為圖像坐標(biāo)系的原點(diǎn)，由點(diǎn)O與x,y,z軸組成的直角坐標(biāo)系為攝像機(jī)坐標(biāo)系。OO1為攝像機(jī)焦距。,由于攝像機(jī)可安放在環(huán)境中的任意位置，在環(huán)境中選擇一個(gè)基準(zhǔn)坐標(biāo)系來(lái)描述攝像機(jī)的位置，并用它描述環(huán)境中任何物體的位置，該坐標(biāo)系稱為世界坐標(biāo)系，它由Xw,Yw,Zw軸組成（如上圖）。攝像機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系之間的關(guān)系可以用旋轉(zhuǎn)矩陣R與平移向量t來(lái)描述：,3、世界坐標(biāo)系：,其中Xw=(Xw,Yw,Zw,1)T與x=(x,y,z,1)T分別為空間中某一點(diǎn)P在世界坐標(biāo)系和攝像機(jī)坐標(biāo)系下得齊次坐標(biāo)。,R為33正交單位矩陣；t為三維平

20、移向量；0=(0,0,0,)T;M1為44矩陣。,2.4.2 針孔成像模型（線性攝像機(jī)模型）,空間任何一點(diǎn)P在圖像中的成像位置可以用針孔成像模型近似表示。,即，任何點(diǎn)P在圖像中的投影位置p，為光心O與P點(diǎn)的連線OP與圖像平面的交點(diǎn)。這種關(guān)系也稱為中心射影或透視投影。,由比例關(guān)系有如下關(guān)系式：,(X,Y)為p點(diǎn)的圖像坐標(biāo);(x,y,z)為空間點(diǎn)P在攝像機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。,用齊次坐標(biāo)和矩陣表示上述透視投影關(guān)系為：,s為一比例因子，P為透視投影矩陣。,將前面所得式子整合，得到一世界坐標(biāo)系表示的P點(diǎn)坐標(biāo)與其投影點(diǎn)p的坐標(biāo)(u,v)的關(guān)系：,且令：M1M2Xw=MXw,其中，x=f/dX為u軸上尺度因子

21、，或稱為u軸上歸一化焦距；y=f/dY，為v軸上尺度因子，或稱為v軸上歸一化焦距；M為33矩陣，稱為投影矩陣；M1由x、y、u0、v0決定，由于x、y、u0、v0只與攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù)有關(guān)，稱這些參數(shù)為攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù)；M2由攝像機(jī)相對(duì)與世界坐標(biāo)系的方位決定，稱為攝像機(jī)外部參數(shù)。確定某一攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，成為攝像機(jī)定標(biāo)。,有如下結(jié)論：,1、如果已知攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，就知道投影矩陣M； 2、這時(shí)，對(duì)于任何空間點(diǎn)P，如已知它的坐標(biāo)Xw=(Xw,Yw,Zw,1)T，就可以 求出它的圖像點(diǎn)p的位置(u,v)。 3、反之，如果已知某空間點(diǎn)P的圖像坐標(biāo)p的位置(u,v)，即使知道攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，Xw也是不能唯

22、一確定的。,2.4.3 非線性模型,實(shí)際上，由于實(shí)際的鏡頭并不是理想的透視成像，而是帶有不同程度的畸變，使得空間點(diǎn)所成的像并不在線性模型所描述的位置(X,Y)，而是在受到鏡頭失 真影響而偏移的實(shí)際像平面坐標(biāo)(X,Y)處，有：,x和y是線性畸變值，他與圖像點(diǎn)在圖像中的位置有關(guān)。,理論上鏡頭會(huì)同時(shí)存在徑向畸變和切向畸變。但一般來(lái)講切向畸變比較小，徑向畸變的修正量距圖像中心的徑向距離的偶次冪多項(xiàng)式模型來(lái)表示，即：,其中,(u0,v0)是主點(diǎn)位置坐標(biāo)的精確值，而：,上式表明，X方向和Y方向的畸變相對(duì)值(x/X,y/Y)與徑向半徑的平方成正比，即在圖像邊緣處的畸變較大。對(duì)一般計(jì)算機(jī)視覺(jué)，一階徑向畸變已足

23、夠描述非線性畸變，這是可寫成：,線性模型參數(shù)x、y、u0、v0與非線性畸變參數(shù)k1和k2一起構(gòu)成了非線性模型的攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù)。,2.4 攝像機(jī)透視投影近似模型,在某些條件下，透視模型可以很好地用線性模型近似。這種近似可大大簡(jiǎn)化推導(dǎo)和計(jì)算。,例如：攝像機(jī)的視場(chǎng)很小，并且物體的尺寸相對(duì)于到攝像機(jī)的距離也很小。,2.5.1 正投影(orthographic projection),特點(diǎn)：完全忽略了深度信息。,適用情況：當(dāng)物體到攝像機(jī)的垂直距離（深度信息）和物體到光軸的距離 （位置信息）都可以忽略時(shí)。,最簡(jiǎn)單的線性近似稱為正投影。,正投影公式為：x=X,y=Y。這里,(x,y,z)是三維點(diǎn)在攝像機(jī)坐標(biāo)

24、系中的坐標(biāo)，(X,Y)是三維點(diǎn)像點(diǎn)的圖像坐標(biāo)。,2.5.2 弱透視(weak projective),如果攝像機(jī)的視場(chǎng)比較小，而且物體表面深度拜變化相對(duì)其到攝像機(jī)機(jī)的距離很小的話，物體上各點(diǎn)的深度可以用以固定的深度值z(mì)0近似，這個(gè)值一般取物體質(zhì)心的深度。這樣的透視稱為弱透視，其模型近似為：,這種近似可以看作是兩次投影的合成。首先，整個(gè)物體按平行于光軸的方向正投影到經(jīng)過(guò)物體質(zhì)心并與圖像平面平行的平面上；然后，再按透視模型將上述物平面的圖形投影到攝像機(jī)的圖像平面上，這一步實(shí)際是全局的放縮。因此，弱透視也稱為放縮正投影。,弱透視模型可寫成與透視投影類似的形式：,其中：,弱透視模型中，猶豫物體上各點(diǎn)的

25、深度使用一固定值z(mì)0來(lái)近似，因此二維點(diǎn)像和三維點(diǎn)像具有線性對(duì)應(yīng)關(guān)系。,下面來(lái)推導(dǎo)這種近似帶來(lái)的成像誤差。設(shè)三維物點(diǎn)M的實(shí)際深度值為z=z0+z。該點(diǎn)按透視模型投影為mp,而弱透視的結(jié)果為mwp,merror為成像誤差，運(yùn)用泰勒公式得到：,merror=mpmwp,1、弱透視模型不僅與物體的深度變化(z)有關(guān)，而且還與物體的位置信息(x,y,z)有關(guān)系； 2、誤差對(duì)物體的不同部分是不同的； 3、在實(shí)際中使用弱透視模型一般要求物體到攝像機(jī)的距離大于10倍物體表面深度變化。,結(jié)論：,2.5.3 平行透視(paraperspective projective),在平行透視中，投影過(guò)程仍分為兩個(gè)過(guò)程：首先仍是把物體平行投影到過(guò)質(zhì)心且與像平面平行的平面上，不過(guò)這次的投影線不是平行于光軸，而是平行于質(zhì)心G和攝像機(jī)光心O點(diǎn)的連線OG。這克服了物體離光軸較遠(yuǎn)，弱透視帶來(lái)的大誤差。另一過(guò)程與弱透視相同。平行透視公式為：,(x