2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第6節(jié)空間向量及其運算學(xué)案理北師大版

1、第六節(jié)空間向量及其運算考綱傳真1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直(對應(yīng)學(xué)生用書第120頁)基礎(chǔ)知識填充1空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量自由向量數(shù)學(xué)中所討論的向量與向量的起點無關(guān)，我們稱之為自由向量方向向量A、B是空間直線l上任意兩點，則稱為直線l的方向向量法向量如果直線l垂直于平面，那么把直線l的方向向量n叫作平面的法向量2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：空間兩個向量a，b(b0)，

2、共線的充要條件是存在實數(shù)，使得ab.(2)空間向量基本定理：如果向量e1，e2，e3是空間三個不共面的向量a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數(shù)1，2，3，使得a1e12e23e3，其中e1，e2，e3叫作這個空間的一個基底3兩個向量的數(shù)量積及運算律(1)非零向量a，b的數(shù)量積ab|a|b|cosa，b(2)空間向量數(shù)量積的運算律：交換律：abba；分配律：a(bc)abac；(a)b(ab)4空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積aba1b1a2b2a3b3共線ab(b0，R)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b

3、1a2b2a3b30模|a|夾角cosa，b(a0，b0)基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面()(2)對任意兩個空間向量a，b，若ab0，則ab.()(3)若ab0，則a，b是鈍角()(4)若A，B，C，D是空間任意四點，則有0.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)如圖761所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()圖761AabcBabcCabcDabcA()c(ba)abc.3若向量c垂直于不共線的向量a和b，dab(、R，且0)

4、，則()AcdBcdCc不平行于d，c也不垂直于dD以上三種情況均有可能B由題意得，c垂直于由a，b確定的平面dab，d與a，b共面cd.4已知a(2,3,1)，b(4,2，x)，且ab，則|b|_.2ab，ab2(4)321x0，x2，|b|2.5已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，則(ab)(ab)的值為_13(ab)(ab)a2b242(2)2(4)262(3)22213.(對應(yīng)學(xué)生用書第121頁)空間向量的線性運算如圖762所示，在空間幾何體ABCDA1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：圖

5、762(1)；(2).解(1)因為P是C1D1的中點，所以aacacb.(2)因為M是AA1的中點，所以aabc.因為N是BC的中點，則ca，所以abc.規(guī)律方法用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.跟蹤訓(xùn)練如圖763所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC的中點，點G在線段MN上，且2，若xyz，則xyz_.圖763連接ON，設(shè)a，b，c，則()bca，aabc.又xyz，所以x，y，z，因此xyz.共線、共面向

6、量定理的應(yīng)用(1)(2017佛山模擬)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，且a與b反向，則_. 【導(dǎo)學(xué)號：】(2)已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量方法求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；BD平面EFGH.(1)ab，且a與b反向，(6,21,2)k(1,0,2)，k0.解得或當(dāng)2，時，k2不合題意，舍去當(dāng)3，時，a與b反向因此3.(2)證明連接BG，則()，由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點共面因為()，因為E，H，D，B四點不共線，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH.所以BD平面EFGH.規(guī)律方法1.證明點共線的方法,

7、證明點共線問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線問題，如證明A，B，C三點共線，即證明，共線，亦即證明(0).2.證明點共面的方法,證明點共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題，如要證明P，A，B，C四點共面，證明xy，或?qū)臻g任一點O，有xy，或xyz(xyz1)即可.跟蹤訓(xùn)練已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿足()(1)判斷，三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi)解(1)由已知3，()()即，共面(2)由(1)知，共面且過同一點M.四點M，A，B，C共面，從而點M在平面ABC內(nèi)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用如圖764所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M，N分

8、別是AB，CD的中點圖764(1)求證：MNAB，MNCD；(2)求異面直線AN與CM所成角的余弦值解(1)證明：設(shè)p，q，r.由題意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三個向量兩兩夾角均為60.()(qrp)，(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.，即MNAB.同理可證MNCD.(2)設(shè)向量與的夾角為.()(qr)，qp，(qr).又|a，|cos aacos .cos .向量與的夾角的余弦值為，從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為.規(guī)律方法1.空間向量數(shù)量積計算的兩種方法(1)基向量法：ab|a|b|cosa，b(2)坐標(biāo)法：設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則abx1x2y1y2z1z2.2利用數(shù)量積可解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題(1)abab0.(2)|a|.(3)cosa，b.易錯警示：空間向量的坐標(biāo)(x，y，z)有三個，在進行運算時千萬別看串了跟蹤訓(xùn)練如圖765，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60.圖765(1)求AC1的長；(2)求AC與BD1夾角的余弦值. 【