函數(shù)展開成傅里葉級數(shù).ppt

1、第七節(jié) 傅里葉級數(shù),二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),三、正弦級數(shù)或余弦級數(shù),一、三角級數(shù),三角函數(shù)系的正交性,一.三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性,在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，接觸兩類基函數(shù)： 函數(shù)在一點的性質(zhì) 周期函數(shù)(整體性質(zhì)) Fourier級數(shù) 三角級數(shù) 表達(dá)周期函數(shù),諧波分析,稱為三角級數(shù).,簡單的周期運動 :,復(fù)雜的周期運動 :,得級數(shù),(一)三角級數(shù) 表達(dá)周期函數(shù),1757年,法國數(shù)學(xué)家克萊羅在研究太陽引起的攝動時,大膽地采用了三角級數(shù)表示函數(shù):,1759年,拉格朗日在對聲學(xué)的研究中使用了三角級數(shù).,1777年,歐拉在天文學(xué)的研究中,用三角函數(shù)的正交性,得到了將函數(shù)表示成三角函數(shù)時的系數(shù).,也就是

2、現(xiàn)今教科書中傅立葉級數(shù)的系數(shù).,在歷史上,三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解微分方程,1753年.丹貝努利首先提出將弦振動方程的解表示為,是分不開的.,三角級數(shù)的形式,這為傅立葉級數(shù)題奠定了物理基礎(chǔ),促進(jìn)了它的發(fā)展.,1822年,傅立葉在 熱的解析理論 一書中,對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的,特殊的情形,采用的三角級數(shù)方法進(jìn)行加工處理,發(fā)展成一般理論.,傅立葉指出:,可以展開成級數(shù),其中,證:,同理可證 :,正交 ,上的積分等于 0 .,即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(二)、三角函數(shù)系的正交性,上的積分不等于 0 .,且有,但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積

3、在,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),問題:,2. 展開的條件是什么?,且能展開成三角級數(shù),(利用正交性),(利用正交性),傅里葉系數(shù),代入傅里葉系數(shù)的三角級數(shù)稱為傅里葉級數(shù),問題:,在什么條件下函數(shù)可以展開成傅里葉級數(shù)?,狄利克雷于1829年第一次對于傅立葉級數(shù)的收斂性,給出了嚴(yán)格的證明.,得到了現(xiàn)今教科書中的所謂狄利克雷判定準(zhǔn)則.,定理(收斂定理, 展開定理),設(shè) f (x) 是周期為2的,周期函數(shù),并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件:,1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;,2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則 f (x) 的傅里葉級數(shù)收

4、斂 , 且有,x 為間斷點,其中,( 證明略 ),為 f (x) 的傅里葉系數(shù) .,x 為連續(xù)點,注意: 函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.,簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則有,則有,有,既,例1.,設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在,上的表達(dá)式為,解: 先求傅里葉系數(shù),將 f (x) 展成傅里葉級數(shù).,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,1) 根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于,2) 傅氏級數(shù)的部分和逼近,說明:,f (x) 的情況見右圖.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,不同頻率正弦波逐個疊加成方波,物理意義,傅里

5、葉級數(shù)展開式的意義函數(shù)的整體逼近.,解,所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,例2,非周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),并且滿足收斂定理的條件，,可利用周期的延拓展開成傅里葉級數(shù)，,周期延拓,傅里葉展開,上的傅里葉級數(shù),定義在 ,上的函數(shù) f (x)的傅氏級數(shù)展開法,其它,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 將函數(shù),級數(shù) .,則,解: 將 f (x)延拓成以,展成傅里葉,2為周期的函數(shù) F(x) ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,物理意義,不同頻率余弦波逐個疊加成鋸齒波,利用此傅氏展開式求幾個特殊的級數(shù)的和,例4. 將函數(shù),展成傅里葉級數(shù), 其中E 為正常數(shù)

6、.,解:,延拓成以2為周期 的函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例5,解,三、正弦級數(shù)或余弦級數(shù)1.奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù),證,奇函數(shù),同理可證(2),偶函數(shù),證畢,定義,解,所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,例,和函數(shù)圖象,觀察兩函數(shù)圖形,2. 在0,上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù),周期延拓 F (x),f (x) 在 0 , 上展成,周期延拓 F (x),余弦級數(shù),奇延拓,偶延拓,正弦級數(shù),f (x) 在 0 , 上展成,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 將函數(shù),分別展成正弦級,數(shù)與余弦級數(shù) .,解: 先求正弦級數(shù).,去掉端點, 將

7、f (x) 作奇周期延拓,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,注意:,在端點 x = 0, , 級數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因此得,f (x) = x + 1 的值不同 .,再求余弦級數(shù).,將,則有,作,偶周期延拓,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明: 令 x = 0 可得,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 周期為 2 的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理,其中,注意: 若,為間斷點,則級數(shù)收斂于,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù),奇函數(shù),正弦級數(shù),偶函數(shù),余弦級數(shù),3. 在 0 , 上函數(shù)的

8、傅里葉展開法,作奇周期延拓 ,展開為正弦級數(shù),作偶周期延拓 ,展開為余弦級數(shù),1. 在 0 , 上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎 ?,答: 不唯一 , 延拓方式不同級數(shù)就不同 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考與練習(xí),傅里葉 (1768 1830),法國數(shù)學(xué)家.,他的著作熱的解析,理論(1822) 是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性,書中系統(tǒng)的運用了三角級數(shù)和,三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅,里葉級數(shù)和傅里葉積分.,最卓越的工具.,以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來的,文獻(xiàn),他深信數(shù)學(xué)是解決實際問題,傅里葉分析對近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展,都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.,狄利克雷 (18 05 1859),德國數(shù)學(xué)家.,對數(shù)論, 數(shù)學(xué)分析和,數(shù)學(xué)物理有突出的貢獻(xiàn),是解析數(shù)論,他是最早提倡嚴(yán)格化,方法的數(shù)學(xué)