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1、逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,1,定理:行列式某一行(或列)的每一元素與另一行(或列)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零。,即:,2 逆矩陣,一、準(zhǔn)備知識(shí),逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,2,結(jié)合行列式的展開(kāi)定理,有:,逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,3,引例:若 ,求矩陣X,使:AX=E2,解:設(shè),解線性方程組容易得到:x1=3, x2=2 ,x3=1, x4=1.,問(wèn)題:對(duì)于矩陣A,是否存在一個(gè)矩陣A1,使得:,比較矩陣方程AX=B與數(shù)的方程ax=b.,二、逆矩陣的概念,逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,4,1.定義:對(duì)于n階方陣A,如果存在一個(gè)n階方陣B,使 AB=BA=E,則稱(chēng)A為可逆矩陣(簡(jiǎn)稱(chēng)可逆),并稱(chēng)B為A的逆矩陣。,例:對(duì)于 ,,否則稱(chēng)A
2、是不可逆的。,AB=E,=BA.,故A是可逆的,,并且B為A的逆矩陣。,A的逆矩陣記為:A1,,即: A A1= A1 A=E,2.問(wèn)題:,(1)怎么樣的方陣才可逆?,(2)若A可逆,逆陣有多少個(gè)?,(3)若A可逆,怎樣去求它的逆陣A1?,逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,5,分析:,設(shè)B和C都是A的逆矩陣, 則:,AB=BA=E, AC=CA=E,B=BE,=B (AC),= (BA) C,=EC,=C,需證明B=C,(證明唯一性常用同一法),又,注:適當(dāng)乘上單位陣E,并將E表示成一個(gè)矩陣與其逆陣乘積的形式,是一種常用的技巧。,單位陣技巧,3.定理:若A可逆,則A的逆陣唯一。,三、逆陣存在的充分必要條件,1
3、.定理:若A可逆,則 .,注:如果 ,則稱(chēng)A是非奇異的,否則稱(chēng)A是奇異的。,逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,6,2.伴隨矩陣:設(shè)An=(aij),令A(yù)ij是A的行列式|A|中元素aij的代數(shù)余子式,將這n2個(gè)數(shù)排成如下n階方陣:,(注意 中Aij 的排列),稱(chēng)之為A的伴隨矩陣。,例:求 的伴隨矩陣。,逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,7,同理可得:,解:,所以:,2,3,2,6,6,2,4,5,2,3.定理:設(shè)A為n階方陣,若 ,則A可逆,且:,逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,8,一行元素與另一行元素對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘之和,|A|,0,0,0,|A|,0,|A|,0,0,一行元素與對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘之和,同理:,證明:,逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,9
4、,例:求 的逆矩陣。,解:,A1存在,,故,注:求逆陣需注意:1.Aij的符號(hào)(-1)i+j;2. 中Aij的排列。,逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,10,4.定理:方陣A可逆,推論:若A、B都是n階矩陣,且AB=E,則BA=E,即A、B皆可逆, 且A、B互為逆矩陣。,證明:,因?yàn)锳B=E,,所以|A|B|=1,,|A|0, |B|0,故 A、B皆可逆。,BA,=EBA,=(A1A)BA,=A1(AB)A,=A1EA,=A1A,=E,注:1.判斷B是否為A的逆, 只需驗(yàn)證AB=E或BA=E的一個(gè)等式成立即可。,2.逆矩陣是相互的。,即:若A1=B,則B1=A.,(課本54頁(yè)推論1),逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,11,
5、練習(xí):1.求 的逆矩陣。,答案:1.,(其中|A|=1),2.設(shè)A、B都是n階方陣,B可逆,且A2+AB+B2=O,證明:A和A+B均可逆。,2.提示:只需證明,把A2+AB+B2=O改寫(xiě)為A(A+B)=B2,思考:,逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,12,四、逆陣的性質(zhì),1.若A可逆,則A1也可逆,且(A1)1=A.,2.若A可逆,數(shù) ,則kA也可逆,且:,3.若A可逆,則AT也可逆,且 (AT)-1= (A -1)T.,4.若A、B為同階可逆方陣,則其積AB也可逆,且: (AB)-1= B-1A-1,推廣:,5.若A可逆,|A1|=|A|1,,(AB)-1 A-1B-1,注:一般的,,(kA)-1 kA-1,逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,13,例:設(shè) 求矩陣X, 使 AX=B.,分析:法一:待定系數(shù)法,若,法二:,,則A可逆,,由 AX=B可得:,X=A1B,注:若YA=B,,則Y=BA1.,逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,14,例:矩陣A、B滿足AB=2A+B,求A,其中:,分析:, AB=2A+B, AB2A=B, A(B2E)=B,若|B2E|0,,則A=B (B2E)1,容易錯(cuò)為 A(B2)=B,A=B (B2E)1,逆矩陣重點(diǎn)和習(xí)題,15,練習(xí):用逆矩陣解線性方程
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