數(shù)值分析講義 第一章 緒論.ppt

1、數(shù)值解析、發(fā)表閻家斌、a、y、x、o、y=x、y=f(x )、第1章緒論、1數(shù)值解析研究的對象和內(nèi)容、數(shù)值解析是研究科學(xué)修正算法中的各種數(shù)學(xué)問題解決的東西，用修正算法進(jìn)行科學(xué)修正算法解決實際問題的過程如下：實際問題、數(shù)學(xué)模式建立程式設(shè)定修訂、修訂機(jī)修訂計算結(jié)果、對數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)值修訂計算方法，在程式設(shè)定機(jī)修訂結(jié)果、分析結(jié)果之前，對對方法進(jìn)行理論分析，如何評估演算法的好壞？ 好算法應(yīng)具有以下特點：好算法應(yīng)具有以下特點： (1)結(jié)構(gòu)簡單，校正機(jī)容易實現(xiàn)，(2)理論上應(yīng)保證方法的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性，(3)校正效率高：校正速度快，存儲量大在學(xué)習(xí)過程中，我們要注意把握數(shù)值方法，隨著修正機(jī)的快速發(fā)展，數(shù)

2、值分析方法已經(jīng)深入修正，的基本原理和思想，要注意方法處理技巧與修正機(jī)的結(jié)合，重視誤差分析、收斂性和穩(wěn)定性、定性的基本理論。 物理、修訂力學(xué)、修訂化學(xué)、修訂生物學(xué)、修訂經(jīng)濟(jì)學(xué)等所有領(lǐng)域。 本課只介紹最常見的數(shù)學(xué)模型的最基本的數(shù)量、值分析方法。 2誤差的來源和分類、誤差是數(shù)值校正運算中近似值的精度，在數(shù)值校正運算中非常重要，誤差根據(jù)來源可分為模型誤差、觀測誤差、截止誤差和舍入誤差4種。 1 .模型誤差數(shù)學(xué)模型通常從實際問題抽象得出，一般有誤差，這種誤差稱為模型誤差。 2 .觀測誤差數(shù)學(xué)模型中包含的一些物理殘奧儀表通常通過觀測和實驗得到，雖然不可避免地會出現(xiàn)誤差，但這種誤差稱為觀測誤差。 3 .用于

3、求解截止誤差數(shù)學(xué)模型的數(shù)值方法通常是稱為截止誤差或方法誤差的近似方法。 例如，利用ln(x 1)的Taylor式：在實際的修正運算中只能截取有限項的代數(shù)和修正運算，取上位5項的話，這里產(chǎn)生誤差(記為R5)，4 .舍入誤差的只能在修正運算機(jī)中進(jìn)行有限位運算，所以在運算中，在數(shù)值解析中等都遵循舍入的原則3絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字，x為精確值x*的近似值，e=x*-x，e稱為近似值x的絕對誤差，簡稱為誤差。 |e|稱為近似值x的絕對誤差限制，稱為誤差限制。 滿足精確值x*、近似值x和誤差限制之間的：x-x*x，通常標(biāo)記為x*=x，絕對誤差可能無法很好地反映近似度的好壞。 例如，如果滿足x*=10

4、、x=1、y*，則將er稱為近似值x的相對誤差。 由于x*是未知的，所以在實際使用時總是取x的相對誤差，將r=/|x|稱為近似值x的相對誤差限制。 將|er|r .x=1.24作為從精確值x*四舍五入得到的近似值，求出x的絕對誤差限制和相對誤差限制。 由于已知解可獲得： 1.235x*1.245，所以=0.005，r=0.0051.240.4%，例1，通過對精確值進(jìn)行四舍五入而獲得的近似值的絕對誤差等于其近似值，定義1設(shè)定數(shù)x是常數(shù)x*的近似值，其是x的絕對值。 從x左起第一個非零數(shù)，如果從字到其位共享n位，則該n個數(shù)字稱為x的有效數(shù)字，并且當(dāng)用x近似x*時，它們具有n位的有效數(shù)字。 例2，已

5、知下一個近似值的絕對誤差限制都是0.005，對它們進(jìn)行詢問，有多少個有效的數(shù)字，a=12.175，b=-0.10，c=0.1，d=0.0032，解是0.005是小數(shù)點后第二位的半單位由此可知，近似值的有效數(shù)字越多，其絕對誤差越小，因為整數(shù)x總是具有作為x=0.a1a2ak10m，x為x*的近似值的n比特(nk )的有效數(shù)字，僅此而已。 為了x*=、=例3，應(yīng)該取幾位有效的數(shù)字？ 另外，因為x=0.a1a2ak10，a1=10，所以求得n=6，即，6位的有效數(shù)字。 此時的x=1.41421。 注：準(zhǔn)確值的有效數(shù)字被認(rèn)為是無限多的。 如果、的近似值的絕對誤差小于10-5，=1.4，則近似值x是m為

6、整數(shù)，ai為0到9中的一個的數(shù)字，a-10，4在設(shè)定算法時應(yīng)遵守以下原則以降低舍入誤差的影響1 .避免兩個相近數(shù)的減法。 如果x*、y*的近似值分別為x、y，則按z=x-y是z*=x* -y*、的近似值的順序進(jìn)行單擊。 如果在數(shù)字修正運算中發(fā)現(xiàn)兩個相近數(shù)的減法，請考慮改變以下算法以避免兩個數(shù)的減法。 例如，在示例4中，求出公式x2-64x 1=0的兩根，使其至少有4位的有效數(shù)字。 ()、解是從求根式中減去2個接近的數(shù)，如果找不到合適的方法，只能在校正算機(jī)上采用2倍的字長校正算法來提高精度。 2 .為了防止“吃”數(shù)的小數(shù)，在計算機(jī)上只能采用有限位的修正，所以參加運算的話，數(shù)量的階梯差大，在它們的

7、加減法中絕對值小的數(shù)，絕對值大的數(shù)“吃”的情況多，修正結(jié)果就會歪曲。 例如，用8位十進(jìn)制浮點校正A=26358713 0.8 0.2，根據(jù)加法浮點運算的對次規(guī)則，采用a=0. 26358713108.000000081080.000000002108，8位運算，因此，有a的a=0 3 .絕對值過小的數(shù)量不應(yīng)該作為除數(shù)，因為除數(shù)小，所以商變大，有發(fā)生“溢出”現(xiàn)象的可能性。 另外，若x*、y*的近似值分別設(shè)為x、y，則z=xy為z*=x*，4 .注意簡化校正運算程序，減少校正運算次數(shù)，首先，若算法的校正運算量過大，則不能進(jìn)行實際的校正運算對于需要校正行列式，每個n階行列式需要用定義D=校正的下一次

8、乘法，Cramer定律至少需要(n2-1)n！ 次乘法，n=20時，(202-1)20！ 9.71020次乘法。 另外，若是對每秒100萬次的乘法除法進(jìn)行糾正的糾正機(jī)，則需要大約9.71020106、60、24、60、365、3000萬年，接著，即使是能夠執(zhí)行的算法，由于糾正量越大，所蓄積的誤差越大，所以也對n次多項式進(jìn)行糾正5 .如果能夠選擇數(shù)值穩(wěn)定性好的算法，并對舍入誤差的積蓄進(jìn)行校正，則被稱為數(shù)值穩(wěn)定性，相反，被稱為數(shù)值不穩(wěn)定性的數(shù)值算法。 例如，積分可以通過支持積分法獲得校正In的遞歸方程式，其中，In=1-nIn-1，n=1，2取在n=0時I0具有4位有效數(shù)字的近似值I00.6321，使得能夠獲得遞歸為：使得在這里的遞歸方程式如下其實，由于In=1-nIn-1和I*n=1-nI*n-1、n=1、2，因此in-i*n=。 根據(jù)(I0-I*0)可知，隨著修正步驟