北師大版初中數(shù)學(xué)7年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、七年級(jí)下冊(cè)北師大版初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第一章第一章 整式的運(yùn)算整式的運(yùn)算 一一. . 整式整式 1. 單項(xiàng)式 由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式。 單項(xiàng)式的系數(shù)是這個(gè)單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)， 作為單項(xiàng)式的系數(shù)， 必須連同數(shù)字前面的性質(zhì)符 號(hào),如果一個(gè)單項(xiàng)式只是字母的積,并非沒(méi)有系數(shù). 一個(gè)單項(xiàng)式中,所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù). 2.多項(xiàng)式 幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.在多項(xiàng)式中,每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).其中,不含字母的 項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).一個(gè)多項(xiàng)式中,次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù),叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù). 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式都有次數(shù),含有字母的單項(xiàng)式有系數(shù),多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù).多項(xiàng)式的

2、每一項(xiàng)都 是單項(xiàng)式,一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式作為加數(shù)的單項(xiàng)式的個(gè)數(shù).多項(xiàng)式中每一項(xiàng) 都有它們各自的次數(shù),但是它們的次數(shù)不可能都作是為這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù),一個(gè)多項(xiàng)式的 次數(shù)只有一個(gè),它是所含各項(xiàng)的次數(shù)中最高的那一項(xiàng)次數(shù). 3.整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式. 其他代數(shù)式 多項(xiàng)式 單項(xiàng)式 整式 代數(shù)式 二二. . 整式的加減整式的加減 1. 整式的加減實(shí)質(zhì)上就是去括號(hào)后,合并同類(lèi)項(xiàng),運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式或是單項(xiàng)式. 2. 括號(hào)前面是“”號(hào),去括號(hào)時(shí),括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào),一個(gè)數(shù)與多項(xiàng)式相乘時(shí),這個(gè)數(shù)與 括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要相乘. 三三. . 同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法 同底數(shù)冪的乘法法則: nmnm a

3、aa (m,n都是正數(shù))是冪的運(yùn)算中最基本的法則,在應(yīng) 用法則運(yùn)算時(shí),要注意以下幾點(diǎn): 法則使用的前提條件是：冪的底數(shù)相同而且是相乘時(shí)，底數(shù)a可以是一個(gè)具體的數(shù)字式字 母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)或多項(xiàng)式； 指數(shù)是1時(shí)，不要誤以為沒(méi)有指數(shù)； 不要將同底數(shù)冪的乘法與整式的加法相混淆，對(duì)乘法，只要底數(shù)相同指數(shù)就可以相加；而 對(duì)于加法，不僅底數(shù)相同，還要求指數(shù)相同才能相加； 當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，法則可推廣為 pnmpnm aaaa （其中m、n、p 均為正數(shù)）； 公式還可以逆用： nmnm aaa （m、n均為正整數(shù)） 四冪的乘方與積的乘方四冪的乘方與積的乘方 1. 冪的乘方法則： mnnm a

4、a)( (m,n都是正數(shù))是冪的乘法法則為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來(lái)的,但兩 者不能混淆. 2. ),()()(都為正數(shù)nmaaa mnmnnm . 3. 底數(shù)有負(fù)號(hào)時(shí),運(yùn)算時(shí)要注意,底數(shù)是a與(-a)時(shí)不是同底， 但可以利用乘方法則化成同 底， 如將（-a） 3化成-a3 ).( ),( )( , 為奇數(shù)時(shí)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)當(dāng) 一般地 na na a n n n 4底數(shù)有時(shí)形式不同，但可以化成相同。 5要注意區(qū)別（ab） n與（a+b）n意義是不同的，不要誤以為（a+b）n=an+bn（a、b均不為 零）。 6積的乘方法則：積的乘方，等于把積每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即 nnn baab)( （n為

5、正整數(shù)）。 7冪的乘方與積乘方法則均可逆向運(yùn)用。 五五. . 同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法 1. 同底數(shù)冪的除法法則:同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減,即 nmnm aaa (a 0,m、n都是正數(shù),且mn). 2. 在應(yīng)用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn): 法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù),所以法則中a0. 任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1,即 )0( 1 0 aa ,如 1100 ,(-2.5 0=1),則00無(wú)意 義. 任何不等于0的數(shù)的-p次冪(p是正整數(shù)),等于這個(gè)數(shù)的p的次冪的倒數(shù),即 p p a a 1 ( a 0,p是正整數(shù)), 而0 -1,0-3都是無(wú)意義的;當(dāng)a0時(shí),a

6、-p的值一定是正的; 當(dāng)a0時(shí),a-p的值可 能是正也可能是負(fù)的,如 4 1 (-2) 2- , 8 1 )2( 3 運(yùn)算要注意運(yùn)算順序. 六六. . 整式的乘法整式的乘法 1. 單項(xiàng)式乘法法則:單項(xiàng)式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng) 式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。 單項(xiàng)式乘法法則在運(yùn)用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。這時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤的是，將 系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆； 相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)的乘法法則； 只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式； 單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用；

7、 單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。 2單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是通過(guò)乘法對(duì)加法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，即單項(xiàng)式 與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同； 運(yùn)算時(shí)要注意積的符號(hào)，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)； 在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序。 3多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘， 先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)， 再把所得的 積相加。 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘要防止漏項(xiàng)，檢查的方法

8、是：在沒(méi)有合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng) 數(shù)應(yīng)等于原兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積； 多項(xiàng)式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類(lèi)項(xiàng)； 對(duì)含有同一個(gè)字母的一次項(xiàng)系數(shù)是1的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘 abxbaxbxax)()( 2 ，其二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)因式中 常數(shù)項(xiàng)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積。對(duì)于一次項(xiàng)系數(shù)不為1的兩個(gè)一次二項(xiàng) 式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到 abxmambmnxbnxamx)()( 2 七平方差公式七平方差公式 1平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差， 即 22 )(bababa 。 其結(jié)構(gòu)特征是： 公式左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，兩個(gè)二項(xiàng)式中第一項(xiàng)相同，第二項(xiàng)互為相反數(shù)；

9、 公式右邊是兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方與相反項(xiàng)的平方之差。 八完全平方公式八完全平方公式 1 完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的 積的2倍， 即 222 2)(bababa ； 口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央； 2結(jié)構(gòu)特征： 公式左邊是二項(xiàng)式的完全平方； 公式右邊共有三項(xiàng)，是二項(xiàng)式中二項(xiàng)的平方和，再加上或減去這兩項(xiàng)乘積的2倍。 3在運(yùn)用完全平方公式時(shí)，要注意公式右邊中間項(xiàng)的符號(hào)，以及避免出現(xiàn) 222 )(baba 這樣的錯(cuò)誤。 九整式的除法九整式的除法 1單項(xiàng)式除法單項(xiàng)式 單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的

10、 字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式； 2多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加，其特 點(diǎn)是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式， 所得商的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù) 相同，另外還要特別注意符號(hào)。 第二章第二章 平行線與相交線平行線與相交線 一臺(tái)球桌面上的角一臺(tái)球桌面上的角 1互為余角和互為補(bǔ)角的有關(guān)概念與性質(zhì) 如果兩個(gè)角的和為90（或直角），那么這兩個(gè)角互為余角； 如果兩個(gè)角的和為180（或平角），那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角； 注意：這兩個(gè)概念都是對(duì)于兩個(gè)角而言的，而且兩個(gè)概念強(qiáng)調(diào)的是兩個(gè)角的數(shù) 量關(guān)系，與兩個(gè)角的相互位置沒(méi)有關(guān)系。 它們的主要性質(zhì)：

11、同角或等角的余角相等； 同角或等角的補(bǔ)角相等。 二探索直線平行的條件二探索直線平行的條件 兩條直線互相平行的條件即兩條直線互相平行的判定定理，共有三條： 同位角相等，兩直線平行； 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行； 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。 三平行線的特征三平行線的特征 平行線的特征即平行線的性質(zhì)定理，共有三條： 兩直線平行，同位角相等； 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等； 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 四用尺規(guī)作線段和角四用尺規(guī)作線段和角 1關(guān)于尺規(guī)作圖 尺規(guī)作圖是指只用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺來(lái)作圖。 2關(guān)于尺規(guī)的功能 直尺的功能是：在兩點(diǎn)間連接一條線段；將線段向兩方向延長(zhǎng)。 圓規(guī)的功能是：以任意一點(diǎn)為圓心，任意

12、長(zhǎng)度為半徑作一個(gè)圓；以任 意一點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)一段弧。 第三章第三章 生活中的數(shù)據(jù)生活中的數(shù)據(jù) 1科學(xué)記數(shù)法：對(duì)任意一個(gè)正數(shù)可能寫(xiě)成a10 n的形式，其中1a10，n是整數(shù)，這種 記數(shù)的方法稱(chēng)為科學(xué)記數(shù)法。 2利用四舍五入法取一個(gè)數(shù)的近似數(shù)時(shí)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪 一位；對(duì)于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都 叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。 3統(tǒng)計(jì)工作包括： 設(shè)定目標(biāo)；收集數(shù)據(jù)；整理數(shù)據(jù)；表達(dá)與描述數(shù)據(jù)；分析結(jié)果。 第四章第四章 概率概率 1隨機(jī)事件發(fā)生與不發(fā)生的可能性不總是各占一半，都為50%。 2現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的不確定事件，而

13、概率正是研究不確定事件的一門(mén)學(xué)科。 3了解必然事件和不可能事件發(fā)生的概率。 必然事件發(fā)生的概率為1，即P（必然事件）=1；不可能事件發(fā)生的概率為0，即P（不可 能事件）=0；如果A為不確定事件，那么0P(A)1 4.了解幾何概率這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算方法 事件發(fā)生概率= 圖形面積所有可能結(jié)果所組成的 成的圖形面積事件所有可能結(jié)果所組 第五章第五章 三角形三角形 一認(rèn)識(shí)三角形一認(rèn)識(shí)三角形 1關(guān)于三角形的概念及其按角的分類(lèi) 由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 這里要注意兩點(diǎn)： 組成三角形的三條線段要“不在同一直線上”；如果在同一直線上，三角形就不存 在； 三條線段“首尾是順次相

14、接”，是指三條線段兩兩之間有一個(gè)公共端點(diǎn)，這個(gè)公共 端點(diǎn)就是三角形的頂點(diǎn)。 三角形按內(nèi)角的大小可以分為三類(lèi)：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。 2關(guān)于三角形三條邊的關(guān)系 根據(jù)公理“連結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短”可得三角形三邊關(guān)系的一個(gè)性質(zhì)定理，即三 角形任意兩邊之和大于第三邊。 三角形三邊關(guān)系的另一個(gè)性質(zhì)：三角形任意兩邊之差小于第三邊。 對(duì)于這兩個(gè)性質(zhì)，要全面理解，掌握其實(shí)質(zhì)，應(yīng)用時(shí)才不會(huì)出錯(cuò)。 設(shè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為a、b、c則： 一般地， 對(duì)于三角形的某一條邊a來(lái)說(shuō)， 一定有|b-c|ab+c成立； 反之， 只有|b-c| ab+c成立，a、b、c三條線段才能構(gòu)成三角形； 特殊地，如果已知線

15、段a最大，只要滿足b+ca，那么a、b、c三條線段就能構(gòu)成三 角形；如果已知線段a最小，只要滿足|b-c|a，那么這三條線段就能構(gòu)成三角形。 3關(guān)于三角形的內(nèi)角和 三角形三個(gè)內(nèi)角的和為180 直角三角形的兩個(gè)銳角互余； 一個(gè)三角形中至多有一個(gè)直角或一個(gè)鈍角； 一個(gè)三角中至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角。 4關(guān)于三角形的中線、高和中線 三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線； 任意一個(gè)三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高； 1 2 必然發(fā)生不可能發(fā)生 10 任意一個(gè)三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內(nèi)部。但三角形的高卻有 不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部，如圖1；

16、直角三角形有一條高在 三角形的內(nèi)部， 另兩條高恰好是它兩條邊， 如圖2； 鈍角三角形一條高在三角形的內(nèi)部， 另兩條高在三角形的外部，如圖3。 一個(gè)三角形中，三條中線交于一點(diǎn)，三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高所在的直線交 于一點(diǎn)。 二圖形的全等二圖形的全等 能夠完全重合的圖形稱(chēng)為全等形。 全等圖形的形狀和大小都相同。 只是形狀相同而大小不 同，或者說(shuō)只是滿足面積相同但形狀不同的兩個(gè)圖形都不是全等的圖形。 三全等三角形三全等三角形 1關(guān)于全等三角形的概念 能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。 互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)， 互相重合的邊叫 做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角 所謂“完全重合”，就是各條邊

17、對(duì)應(yīng)相等，各個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等。因此也可以這樣說(shuō)，各條邊 對(duì)應(yīng)相等，各個(gè)角也對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。 2全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。 3全等三角形的性質(zhì)經(jīng)常用來(lái)證明兩條線段相等和兩個(gè)角相等。 四探三角形全等的條件四探三角形全等的條件 1三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS” 2有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS” 3兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA” 4兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS” 五作三角形五作三角形 1已知兩個(gè)角及其夾邊，求作三角形，是

18、利用三角形全等條件“角邊角”即（“ASA”）來(lái) 作圖的。 2已知兩條邊及其夾角，求作三角形，是利用三角形全等條件“邊角邊”即（“SAS”）來(lái) 作圖的。 3已知三條邊，求作三角形，是利用三角形全等條件“邊邊邊”即（“SSS”）來(lái)作圖的。 六探索直三角形全等的條件六探索直三角形全等的條件 1 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。 簡(jiǎn)稱(chēng)為“斜邊、 直角邊”或“HL”。 這只對(duì)直角三角形成立。 2 直角三角形是三角形中的一類(lèi)， 它具有一般三角形的性質(zhì)， 因而也可用“SAS”、 “ASA”、 “AAS”、“SSS”來(lái)判定。 直角三角形的其他判定方法可以歸納如下： 兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等； 有一個(gè)銳角和一條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。 三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。 第七章第七章 生活中的軸對(duì)稱(chēng)生活中的軸對(duì)稱(chēng) 1如果一個(gè)圖形沿某條