九年級數(shù)學上冊 24.1 圓的有關性質教案 （新版）新人教版

1、24.1圓的有關性質24.1.1圓教學內容圓的有關概念.教學目標1.知識與技能:了解圓的有關概念,理解垂徑定理并靈活運用垂徑定理及圓的概念解決一些實際問題.2.過程與方法從感受圓在生活中大量存在到圓及圓的形成過程,講授圓的有關概念.教學重難點掌握弦、直徑、弧、等弧等概念教學過程一、教師導學(學生活動)請同學口答下面兩個問題(提問一、兩個同學)1.舉出生活中的圓三、四個.2.你能講出形成圓的方法有多少種?老師點評(口答):(1)如車輪、杯口、時針等.(2)圓規(guī);固定一個定點,固定一個長度,用細繩繞定點拉緊運動就形成一個圓.二、合作與探究從以上圓的形成過程,我們可以得出:在一個平面內,線段OA繞它

2、固定的一個端點O旋轉一周,另一個端點所形成的圖形叫做圓.固定的端點O叫做圓心,線段OA叫做半徑.以點O為圓心的圓,記作“O”,讀作“圓O”.學生四人一組討論下面的兩個問題:問題1:圖上各點到定點(圓心O)的距離有什么規(guī)律?問題2:到定點的距離等于定長的點又有什么特點?老師提問幾名學生并點評總結.(1)圖上各點到定點(圓心O)的距離都等于定長(半徑r);(2)到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上.因此,我們可以得到圓的新定義:圓心為O,半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形.同時,我們又把:連接圓上任意兩點的線段叫做弦,如圖線段AC,AB;經過圓心的弦叫做直徑,如圖線

3、段AB;圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧,“以A、C為端點的弧記作”,讀作“圓弧AC或“弧AC”.大于半圓的弧(如圖所示弧ACB)叫做優(yōu)弧,小于半圓的弧(如圖所示,弧AB或弧BC叫做劣弧)圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧,每一條弧都相等;等圓、等弧:能夠重合的兩個圓叫等圓;在同圓或等圓中,能夠完全重合的弧叫等弧.【例】如圖所示,在O中,AB、CD為直徑,判斷AD與BC的位置關系.解:ADBC.AB、CD為O的直徑,OA=OD=OC=OB.又AOD=BOC,AODBOC.AD=BC,A=B.ADBC;即AD與BC的位置關系為平行.三、鞏固練習教材P81練習1、2四、能力展示如圖,已知

4、CD是O的直徑,EOD=78,AE交O于點B,且AB=OC,求A的度數(shù).分析:連接BO;由AB=OC;可得AB=OB;從而得出A=BOA,又E=OBE;最終利用角之間的關系求出A的度數(shù).學生自主解答.五、總結提升本節(jié)課應掌握圓的有關概念,會利用半徑、直徑之間的關系解題.六、作業(yè)布置教材P89習題24.1124.1.2垂直于弦的直徑教學目標1.知識與技能:理解圓的軸對稱性,掌握垂徑定理及其推論.2.過程與方法:通過折疊等方法理解圓是軸對稱圖形,從而進一步理解垂徑定理及其推論.教學重難點垂徑定理及其運用教學過程一、教師導學(學生活動)請同學按要求完成下題:此圖,AB是O的一條弦,作直徑CD,使CD

5、AB,垂足為M.(1)此圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關系?說一說你的理由.(老師點評)(1)是軸對稱圖形,其對稱軸是CD所在的直線.(2)AM=BM,即直徑CD平分弦AB,并且平分弧AB、弧ADB,即=,=.二、合作與探究這樣,我們就得到下面的定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.下面我們用邏輯思維證明一下:已知:直徑CD、弦AB且CDAB,垂足為M.求證:AM=BM,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.分析:要證AM=BM,只要證AM、BM構成的兩個三角形全等.因此,只要連接OA、OB或AC、BC即可.證明:如圖,連接OA、OB,則OA=O

6、B.在RtOAM和RtOBM中,RtOAMRtOBM.AM=BM.點A和點B關于CD對稱.O關于直徑CD對稱,當圓沿著直線CD對折時,點A與點B重合,弧AC與弧BC重合,弧AD與弧BD重合.弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.進一步,我們還可以得到結論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.(本題的證明作為課后練習)【例】如圖,一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中,點O是的圓心,其中CD=600m,E為上一點,且OECD,垂足為F,EF=90m,求這段彎路的半徑.分析:例題是垂徑定理的應用,解題過程中使用了列方程的方法,這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學思想方法一定要掌

7、握.解:如圖,連接OC.設彎路的半徑為R,則OF=(R-90)m,OECD,CF=1/2CD=1/2600=300(m).根據勾股定理,得:OC2=CF2+OF2,即R2=3002+(R-90)2解得R=545.這段彎路的半徑為545m.三、鞏固練習教材P83練習四、能力展示有一石拱橋的橋拱是圓弧形,如圖所示,正常水位下水面寬AB=60m,水面到拱頂距離CD=18m,當洪水泛濫,水面寬MN=32m時是否需要采取緊急措施?請說明理由.五、總結提升(學生歸納,老師點評)本節(jié)課應掌握:1.圓是軸對稱圖形,任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.2.垂徑定理及其推論以及它們的應用.六、布置作業(yè)1.教材P8

8、9習題24.12、9、10.2.車輪為什么是圓的呢?3.垂徑定理推論的證明.24.1.3弧、弦、圓心角教學目標1.知識與技能:了解圓心角的概念:掌握在同圓或等圓中,圓心角、弦、弧中有一個量的兩個相等就可以推出其它兩個量的相對應的兩個值相等,及其它們在解題中的應用.2.過程與方法:通過復習旋轉的知識,產生圓心角的概念,然后用圓心角和旋轉的知識探索在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等,最后應用它解決一些具體問題.教學重難點重難點:探索定理和推導及其應用.教學過程一、教師導學(學生活動)請同學們完成下題.已知OAB,如圖所示,作出繞O點旋

9、轉30、45、60的圖形.老師點評:繞O點旋轉,O點就是固定點,旋轉30,就是旋轉角BOB=30.二、合作與探究如圖所示,AOB的頂點在圓心,像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角.(學生活動)請同學們按下列要求作圖并回答問題:如圖所示的O中,分別作相等的圓心角AOB和AOB,將圓心角AOB繞圓心O旋轉到AOB的位置,你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系?為什么?通過探究發(fā)現(xiàn):在同一個圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等.在等圓中,相等的圓心角是否也有所對的弧相等、所對的弦相等呢?請同學們現(xiàn)在動手做一做.你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系?說一說你的理由?我能發(fā)現(xiàn):弧AB=弧AB,AB=AB.因此,我們可以得到下面的定理

10、:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等.同樣,還可以得到:在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的弦也相等.在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對的圓心角相等,所對的弧也相等.(學生活動)請三位同學到黑板板書,老師點評.【例】如圖,在O中,AB、CD是兩條弦,OEAB,OFCD,垂足分別為E,F.(1)如果AOB=COD,那么OE與OF的大小有什么關系?為什么?(2)如果OE=OF,那么弧AB與弧CD的大小有什么關系?AB與CD的大小有什么關系?為什么?AOB與COD呢?解:(1)如果AOB=COD,那么OE=OF.理由是:AOB=COD,AB

11、=CD.OEAB,OFCD,AE=1/2AB,CF=1/2CD.AE=CF.又OA=OC,RtOAERtOCF.OE=OF.(2)如果OE=OF,那么AB=CD,=,AOB=COD理由是:OA=OC,OE=OFRtOAERtOCFAE=CF又OEAB,OFCDAE=1/2AB,CF=1/2CDAB=2AE,CD=2CFAB=CD弧AB=弧CD,AOB=COD三、鞏固練習教材P85練習.四、能力展示如圖(1)和圖(2),MN是O的直徑,弦AB、CD相交于MN上的一點P,APM=CPM.(1)(2)(1)由以上條件,你認為AB和CD大小關系是什么,請說明理由.(2)若交點P在O的外部,上述結論是否

12、成立?若成立,加以證明;若不成立,請說明理由.五、總結提升(學生歸納,老師點評)本節(jié)課應掌握:1.圓心角概念.2.在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別相等,及其它們的應用.六、布置作業(yè)教材P89習題24.14、5、13.24.1.4圓周角第1課時圓周角定理及推論教學目標1.了解圓周角的概念.2.理解圓周角的定理及其推論設置情景,給出圓周角的概念,探究這些圓周角與圓心角的關系,運用數(shù)學分類思想給予邏輯證明定理,得出推導,讓學生活動證明定理推論的正確性,最后運用定理及其推導解決一些實際問題.教學重難點圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它

13、們解題.教學過程一、教師導學(學生活動)請同學們口答下面兩個問題.1.什么叫圓心角?2.圓心角、弦、弧之間有什么內在聯(lián)系呢?老師點評:頂點在圓心上的角,有一組等量的關系,如果頂點不在圓心上,在其它的位置上呢?如果在圓周上,是否還存在一些等量關系呢?這就是我們今天要探討,要研究,要解決的問題.二、合作與探究問題:如圖所示的O,我們在射門游戲中,設E、F是球門,設球員們只能在所在的O其它位置射門,如圖所示的A、B、C點.通過觀察,我們可以發(fā)現(xiàn)像EAF、EBF、ECF這樣的角,它們的頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題.1.一段弧所對的圓周角的

14、個數(shù)有多少個?2.同弧所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化?3.同弧上的圓周角與圓心角有什么關系?(學生分組討論)提問二到三位同學代表發(fā)言.老師點評:1.一段弧所對的圓周角的個數(shù)有無數(shù)多個.2.通過度量,我們可以發(fā)現(xiàn),同弧所對的圓周角是沒有變化的.3.通過度量,我們可以得出,同弧上的圓周角是圓心角的一半.下面,我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數(shù)沒有變化,并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)的一半.”(1)設圓周角ABC的一邊BC是O的直徑,如圖所示AOC是ABO的外角,AOC=ABO+BAO.OA=OB,ABO=BAO.AOC=2ABO.ABC=1/2AOC.(2)如圖,圓周角A

15、BC的兩邊AB、BC在一條直徑OD的兩側,那么ABC=1/2AOC嗎?請同學們獨立完成這道題的說明過程.第(2)題圖第(3)題圖(3)如圖,圓周角ABC的兩邊AB、BC在一條直徑OD的同側,那么ABC=1/2AOC嗎?請同學們獨立完成證明.現(xiàn)在,如果再畫一個任意的圓周角ABC,同樣可證得它等于同弧上圓心角的一半,因此,同弧上的圓周角是相等的.從(1)、(2)、(3)我們可以總結歸納出圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半.進一步,我們還可以得到下面的推導:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90的圓周角所對的弦是直徑.下面,我們通過這個定理和推論來

16、解一些題目.【例】如圖,AB是O的直徑,BD是O的弦,延長BD到C,使AC=AB,BD與CD的大小有什么關系?為什么?分析:BD=CD,因為AB=AC,所以這個ABC是等腰三角形,要證明D是BC的中點,只要連接AD,證明AD是高或是BAC的平分線即可.解:BD=CD.理由是:連接ADAB是O的直徑,ADB=90,即ADBC.又AC=AB,BD=CD.三、鞏固練習教材P88練習1、2、3、4、5四、總結提升(學生歸納,老師點評)本節(jié)課應掌握:1.圓周角的概念;2.圓周角的定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半;3.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90的

17、圓周角所對的弦是直徑.4.應用圓周角的定理及其推導解決一些具體問題.五、布置作業(yè)教材P89習題24.16、7、14、17.第2課時圓內接四邊形教學內容圓的內接四邊形教學目標掌握圓內接四邊形的相關概念以及圓內接四邊形的性質定理.教學重難點重點:圓內接四邊形的性質定理.難點:圓內接四邊形性質定理的準確、靈活應用.教學過程一、教師導學由圓內接三角形及三角形的外接圓的概念引出圓內接四邊形及四邊形的外接圓的定義.如果一個四邊形的所有頂點都在同一個圓上,這個多邊形叫做圓內接四邊形.這個圓叫做這個四邊形的外接圓.二、合作與探究了解了圓內接四邊形的定義,下面我們來研究圓內接四邊形的性質,先從圓內接特殊四邊形看

18、,如矩形、正方形、等腰梯形.如圖,在矩形中,外接圓心即為它的對角線的交點,A與C均為平角BOD的一半,在一般的圓內接四邊形中,如果把圓心O與一組相對的頂點B、D分別相連,能得到什么結果呢?解:由圖可知A+C=180.圖圖如圖,在正方形中,外接圓心即為它的對角線的交點.把圓心與各頂點相連,與各邊所成的角均為45的角.在一般的圓內接四邊形中,把圓心與各頂點相連,能得到什么結果呢?解:由圖可知2(1+2+3+4)=360,從而1+2+3+4=180.而1+2=A,3+4=C,即A+C=180,即圓內接四邊形內對角互補.因此,我們可以得出下面的定理:圓內接四邊形的對角互補.三、鞏固練習如圖,在圓內接四邊形ABCD中,CD為BCA的外角的平分線,F為上一點,BC=AF,延長DF與BA的延長線交于E.求證:A